Тема 21. Текстовые задачи

21.03 Движение по воде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#93086

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость течения реки равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | 15+ x | -140- | 140 | |--------------|--------------|-15+-x--|--------| |П ротив течения | 15− x | -140- | 140 | --------------------------------15−-x-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 11 часов время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 32 часам. Составим уравнение:

-140-+ --140- + 11= 32 15+ x 15 − x --140- + -140-− 21= 0 15 +x 15− x 140(15−-x)+140(15+-x)− 21(15+-x)(15−-x) (15+ x)(15− x) =0 ( |{140(15 − x)+ 140(15 +x)− 21(15+ x)(15− x)= 0 |(x ⁄=− 15 x ⁄=15

Решим первое уравнение системы:

140(15− x)+140(15+ x)− 21(15+ x()(15− x))= 0 140⋅15− 140x +140 ⋅15 +140x− 21 152− x2 = 0 140⋅15⋅2− 21⋅152+ 21x2 = 0

Разделим обе части уравнения на 21:

20⋅5⋅2 − 152+ x2 = 0 2 x = 225 − 200 x2 = 25 [x= 5 x= −5

Корень $x = −5$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость течения реки равна 5 км/ч.

Ответ: 5 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#93090

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 9 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 4 | -210- | 210 | |--------------|--------------|-x-+4---|--------| |П ротив течения | x − 4 | -210- | 210 | --------------------------------x-− 4-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 9 часов время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 27 часам. Составим уравнение:

-210-+ -210--+9 = 27 x +4 x− 4 --210- + 210-− 18= 0 210+ 4 x− 4 210(x-−-4)-+210(x+-4)− 18(x−-4)(x-+4) (x− 4)(x +4) = 0 ( |{ 210(x − 4)+ 210(x + 4)− 18(x− 4)(x+ 4)= 0 |( x⁄= 4 x⁄= − 4

Решим первое уравнение системы:

210(x − 4) +210(x+ 4)− 18(x− 4)((x +4))=0 210x− 210⋅4+ 210x+ 210 ⋅4− 18 x2 − 16 = 0 210⋅2x − 18x2+ 18⋅16= 0

Разделим обе части уравнения на 6:

70x− 3x2+ 48 = 0 2 3x − 70x − 48 = 0 (x−⌊ 24)(3x+ 2) x = 24 ⌈x = − 2 3

Корень $2 x = −3$ не подходит по смыслу задачи, так как $x> 0.$ Поэтому скорость теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч.

Ответ: 24 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#54128

Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -208- | 208 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -208- | 208 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 5 часов меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-208--− 208-= 5. x− 5 x+ 5

208-− -208-− 5= 0 x− 5 x +5 208(x+-5)−-208(x−-5)−-5(x-−-5)(x+-5)- (x− 5)(x +5) = 0 ( |{208(x+ 5)− 208(x− 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 |(x ⁄= 5 x ⁄= −5

Решим первое уравнение системы:

208(x+ 5)− 208(x− 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 208x +208⋅5 − 208x+ 208⋅5− 5(x2− 52)= 0 208⋅5+ 208⋅5− 5x2+ 125 = 0 2 5x =208⋅10 +125 x2 = 208⋅2+ 25 x2 = 441 [ x = 21 x = −21

Корень $x = −21$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 21км/ч.

Ответ: 21 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#93092

Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 2 | -297- | 297 | |--------------|--------------|-x-+2---|--------| |П ротив течения | x − 2 | -297- | 297 | --------------------------------x-− 2-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 3 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-297--− 297-= 3. x− 2 x+ 2

Разделим обе части уравнения на 3:

-99--− -99--=1 x − 2 x+ 2 -99-− -99--− 1= 0 x− 2 x +2 99(x +2)− 99(x− 2)− (x − 2)(x+ 2) ---------(x−-2)(x-+2)----------= 0 ( |{ 99(x+ 2)− 99(x − 2)− (x− 2)(x +2) =0 | x⁄= 2 ( x⁄= −2

Решим первое уравнение системы:

99(x +2)− 99(x− 2)− (x − 2)(x+ 2)= 0 99x+ 99⋅2− 99x+ 99⋅2− (x2− 22) = 0 2 99⋅2+ 99⋅2− x + 4 =0 x2 = 99⋅4+ 4 x2 = 100⋅4 [ x = 20 x = −20

Корень $x = −20$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#93097

Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -32-- | 32 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -24-- | 24 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 4 часа. Составим уравнение:

-32--+ -24-= 4. x+ 5 x− 5

Разделим обе части уравнения на 4:

--8--+ -6---=1 x +5 x− 5 -8--+ --6--− 1= 0 x+ 5 x − 5 8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5) --------(x+-5)(x-− 5)--------= 0 ( |{8(x− 5)+ 6(x+ 5)− (x− 5)(x + 5) = 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5)= 0 8x− 40+ 6x+ 30− (x2− 25) = 0 2 14x− 10− x + 25= 0 x2− 14x− 15= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = (−14)2+4 ⋅15 = 196 + 60 = 256 = 162

Тогда

⌊ |x = 14+-16- [x = 15 ⌈ 142− 16 ⇔ x = −1 x = --2---

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#93098

Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -40-- | 40 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -30-- | 30 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 5 часов. Составим уравнение:

-40--+ -30-= 5. x+ 5 x− 5

Поделим обе части уравнения на 5:

--8--+ -6---=1 x +5 x− 5 -8--+ --6--− 1= 0 x+ 5 x − 5 8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5) --------(x+-5)(x-− 5)--------= 0 ( |{8(x− 5)+ 6(x+ 5)− (x− 5)(x + 5) = 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5)= 0 8x− 40+ 6x+ 30− (x2− 25) = 0 2 14x− 10− x + 25= 0 x2− 14x− 15= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 142+ 4⋅1⋅15 =196+ 60= 256= 162

Тогда

⌊ |x = 14+-16- [x = 15 ⌈ 142− 16 ⇔ x = −1 x = --2---

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#93109

Расстояние между пристанями A и B равно 108 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 48 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу для лодки:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 3 | -108- | 108 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -108- | 108 | --------------------------------x-− 5-----------|

Плот плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью 3 км/ч. Тогда он проплывает 48 км за $48:3= 16$ часов. Исходя из того, что к этому времени лодка вернулась в пункт A, а выплыла она на час позже плота, составим уравнение:

108 108 x-+3-+ x−-3-+1 = 16 108-+ -108-= 15 x+ 3 x − 3

Разделим обе части полученного уравнения на 3:

-36--+ -36--=5 x +3 x− 3 -36-+ -36--− 5= 0 x+ 3 x − 3 36(x− 3)+ 36(x +3)− 5(x+ 3)(x− 3) ----------(x+-3)(x-− 3)---------= 0 ( |{36(x− 3)+36(x+ 3)− 5(x + 3)(x− 3)= 0 |x ⁄= −3 (x ⁄= 3

Решим первое уравнение системы:

36(x− 3)+ 36(x +3)− 5(x+ 3)(x− 3)= 0 36x− 108+ 36x+ 108 − 5 (x2 − 9) =0 2 72x− 5x + 45 = 0 5x2− 72x − 45 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = (− 72)2+ 4⋅5⋅45 =5184+ 900= 6084= 782

Тогда

⌊ ⌊ |x= 72+-78 x = 15 ⌈ 721−078 ⇔ ⌈x = − 3 x= --10-- 5

Корень $3 x = −5$ не подходит по смыслу задачи, так как $x> 0.$ Поэтому скорость лодки равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#93120

Расстояние между пристанями A и B равно 126 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 36 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу для лодки:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 4 | -126- | 126 | |--------------|--------------|-x-+4---|--------| |П ротив течения | x − 4 | -126- | 126 | --------------------------------x-− 4-----------|

Плот плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью 4 км/ч. Тогда он проплывает 36 км за $36:4= 9$ часов. Исходя из того, что к этому времени лодка вернулась в пункт A, а выплыла она на час позже плота, составим уравнение:

126 126 x+-4 + x-− 4-+ 1= 9 -126-+ -126--=8 x +4 x− 4

Разделим обе части уравнения на 2:

-63--+ -63--=4 x +4 x− 4 -63-+ -63--− 4= 0 x+ 4 x − 4 63(x− 4)+ 63(x +4)− 4(x− 4)(x+ 4) ----------(x+-4)(x-− 4)---------= 0 ( |{63(x− 4)+63(x+ 4)− 4(x − 4)(x+ 4)= 0 |x ⁄= −4 (x ⁄= 4

Решим первое уравнение системы:

63(x− 4)+ 63(x +4)− 4(x− 4)(x+ 4)= 0 63x − 252 +63x+ 252− 4(x2− 16)= 0 2 126x − 0− 4x + 64 = 0 4x2− 126x− 64= 0 2x2− 63x− 32

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = (− 63)2+ 4⋅2⋅32 =3969+ 256= 4225= 652

Тогда

⌊ ⌊ |x= 63+-65 x = 32 ⌈ 632−⋅265 ⇔ ⌈x = − 1 x= --2⋅2- 2

Корень $1 x = −2$ не подходит по смыслу задачи, так как $x> 0.$ Поэтому скорость лодки равна 32 км/ч.

Ответ: 32 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#37866

Туристы на моторной лодке прошли два часа против течения реки, после чего повернули обратно и 12 минут шли по течению, выключив мотор. Затем они включили мотор и через один час после этого прибыли к месту старта. Во сколько раз скорость течения реки меньше собственной скорости лодки? Скорость лодки неподвижной воде (собственная скорость лодки) и скорость течения реки считаются постоянными.

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $x км/ч,$ а скорость течения реки равна $y км/ч.$ Тогда скорость лодки по течению $(x+ y) км/ч,$ а против течения — $(x− y) км/ч.$

Расстояние, которое туристы проплыли против течения равно $2⋅(x− y) км,$ обратно они проплыли столько же.

Получаем следующее уравнение:

12 ⋅y+ (x + y) ⋅1 = 2⋅(x − y) 60 12y+ 60x+ 60y = 120x− 120y 192y = 60x y = 60x 192

Найдем отношение собственной скорости лодки к скорости течения:

-192 ⋅x= 192 = 312= 31 = 3,2 60x 60 60 5

Ответ: 3,2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#37868

Теплоход идёт по течению реки в 5 раз медленнее, чем скутер против течения, а по течению скутер идёт в 9 раз быстрее, чем теплоход против течения. Во сколько раз собственная скорость скутера больше собственной скорости теплохода? (Собственная скорость — скорость в неподвижной воде).

Показать ответ и решение

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна $x км/ч,$ а скорость течения реки равна $y км/ч.$ Тогда скорость теплохода по течению $(x+ y) км/ч,$ отсюда скорость скутера против течения $5⋅(x + y) км/ч,$ а собственная скорость скутера — $(5 ⋅(x+ y)+ y) км/ ч.$

Скорость теплохода против течения $(x− y) км/ч,$ отсюда скорость скутера по течению $9⋅(x− y) км/ч,$ а собственная скорость скутера — $(9 ⋅(x− y)− y) км/ ч.$

Имеем уравнение:

5 ⋅(x +y)+ y = 9 ⋅(x − y)− y 5x+ 5y+ y = 9x − 9y − y 16y = 4x 4x x y = 16 = 4

Тогда собственная скорость скутера равна:

( x) x x 3x 10x+ 3x 13x 5⋅(x + y)+ y = 5⋅ x + 4 + 4 = 5x+ 6⋅4 = 5x+-2 =---2---= -2-км/ч.

Найдем отношение собственной скорости скутера к собственной скорости теплохода:

13x 1 13 1 2 ⋅x = 2 = 62 = 6,5

Ответ: 6,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел