Тема Газпром

Вероятности на Газпроме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#123691

Витя и Коля бросают игральную кость до тех пор, пока не выпадет число очков равное $1.$ У кого выпало $1$ очко, тот и победитель. Начинает Коля. Во сколько раз вероятность выигрыша Коли больше вероятности выигрыша Вити?

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим через p вероятность выпадения 1, а через q — любой другой исход. Какая вероятность того, что на k-м броске Коля выиграет?

Подсказка 2

Теперь рассчитаем вероятность, что Коля выиграет на каком-то шаге. Ясно, что это сумма вероятностей, просчитанных в первой подсказке, по всем k.

Подсказка 3

Если присмотреться, можно увидеть, что вероятность победы Коли — сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Значит, можно вычислить по известной формуле её предел, посчитать вероятность победы Вити и получить ответ.

Показать ответ и решение

Вероятность выпадения 1 очка при бросании игральной кости равна $p= 1, 6$ а вероятность того, что $1$ очко не выпадет, будет равно

1 5 q =1− p= 1− 6 = 6

Рассчитаем вероятность того, что Коля выиграет:

P(K)= p+ qqp+ qqqqp+ qqqqqqp+qqqqqqqqp+...=p +q2p+ (q2)2p+ (q2)3p+...

Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $p$ и знаменателем $2 q .$

Используя формулу суммы всех членов убывающей геометрической прогрессии, найдем вероятность выигрыша Коли:

p p p 1 P(K)= 1−-q2 = (1− q)(1-+q) = p(1+q) = 1+q

Тогда вероятность выигрыша Вити равна:

P(B )=1 −--1- = 1+q-− 1-=-q-- 1 +q 1+ q 1+q

Найдем отношение вероятностей:

P(K) = -1--:-q--= 1 = 6= 1,2 P(B) 1+q 1+ q q 5

Ответ:

В $1,2$ раза

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#99230

Точку случайно бросают на отрезок $[6;11]$ и пусть $k$ — получившееся значение. Найти вероятность, что корни уравнения

( 2 ) 2 k − 2k − 15 x +(3k− 7)x+ 2= 0

удовлетворяют условию $x ≤ 2x. 1 2$

Источники: Газпром - 2023, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно как-то связать корни с коэффициентами в квадратном уравнении. Можно попытаться воспользоваться дискриминантом, но получится ли красиво выразить корни? Как тогда работать с корнями иначе?

Подсказка 2

Воспользуйтесь теоремой Виета. Можно попробовать понять,при каких k у нас один корень будет ровно в 2 раза больше второго!

Подсказка 3

Один корень в два раза больще второго при k = 23/3.

Подсказка 4

Так как мы решаем неравенство для корней, то можно воспользоваться методом интервалов для k!

Подсказка 5

Вероятность надо считать, используя подходящий отрезкок!

Показать ответ и решение

По теореме Виета:

{ x +x =--7−3k- 1 2 k2−22k−15 x1⋅x2 = k2−2k−15

Найдём значение $k$ при условии, что $x =2x 1 2$ , а затем воспользуемся методом интервалов:

{ 3x = -7−3k--, 22 k2−2k2−15 2x2 = k2−2k−15

({ x2 = --7−3k--, ( 2 3(k2−12k−15) x2 = k2−2k−15

(7− 3k)2 1 9(k2−-2k−-15)2 = k2−-2k−-15

Так как $k2− 2k− 15 >0$ для $k∈ (−∞;−3)∪ (5;+∞ )$ , умножив обе части равенства на квадрат этого выражения, получим

(7− 3k)2 2 2 2 23 ---9--- =k − 2k− 15⇔ 9k − 42k+ 49= 9k − 18k− 135⇔ 24k= 184⇔ k= -3 .

Изобразим на числовой оси полученное значение $k$ , и проверим, какая часть оси удовлетворяет условию $x1− 2x2 ≤ 0.$

Значит, условие $x1 ≤ 2x2$ выполняется для $23 k≤ -3$ . Тогда $23−6 1 P = 311−6-= 3.$

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#105888

Двухметровая газовая труба проржавела в двух местах. Определить вероятность того, что все три получившиеся части можно будет использовать в качестве отводов к газовым плитам, если по нормативам плита не должна находиться на расстоянии ближе $50$ см от магистральной газовой трубы.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы зафиксировалась картинка (то есть мы рассматриваем отдельный исход), надо выбрать x, y — длины первых двух кусков, а оставшийся будет равен 200-x-y. При этом, нам надо, чтобы каждый из них был больше или равен 50. Если у нас есть только два параметра, то как нам удобно понимать что-то про вероятности?

Подсказка 2

Нам удобно понимать это в терминах геометрической вероятности, то есть каком-то образом нарисовать множество подходящих исходов на плоскости. Для этого нам надо понять, какие вообще значения могут приниматься. После этого понять, какое множество подходит нам.

Подсказка 3

Чтобы понять какое множество нам подходит, надо понять, чему может быть равно y при фиксированном значении х, с учетом ограничений, которые накладываются на длины двух оставшихся труб, а после этого понять какие значения может принимать сам х.

Подсказка 4

Во-первых, y ≥ 50, а во вторых 200-x-y ≥ 50. То есть если х фиксирован, y может быть от 50 до 150-x. И так для каждого y. При этом сам x может лежать в пределах от 50 до 100. Значит, у нас получился прямоугольный треугольник со сторонами по 50. Осталось найти отношение площади этого треугольника к площади множества значений (x, y) без ограничений на длины отрезков!

Показать ответ и решение

Обозначим размеры частей, на которые разрезали трубу $x,y$ и $200 − x− y.$

Очевидно, что величины $x$ и $y$ могут принимать любые значения из промежутка $[0;200]$ . Toгда все множество возможных сочетаний ( $x;y$ ) можно изобразить на координатной плоскости $xOy$ в виде прямоугольного треугольника со сторонами, равными 200 см:

$PIC$

Мерой этого множества можно считать площадь этого треугольника $S = 12 ⋅200⋅200 =20000$ см $2.$

Для того, чтобы использовать получившиеся части в качестве отводов для плит, размер каждой из них должен быть не менее 50 см.

Множество значений $x$ и $y$ , удовлетворяющих этим условиям, можно описать в виде системы неравенств

(|{ x≥ 50 y ≥ 50 |( 200− x− y ≥50

которая отображается на координатной плоскости также в виде прямоугольного треугольника со сторонами 25 см и площадью $S1 = 12 ⋅50⋅50= 1250$ см $2.$

Тогда, вероятность того, что размеры разрезанных частей подойдут для отводов плит составит

p = S1= 1250-= 1- S 20000 16

Замечание. При решении задачи может быть использовано подобие треугольников: коэффициент подобия прямоугольных треугольников с катетами $200$ и $50$ соответственно равен $1 4$ , значит, их площади относятся как $1- 16$ .

Ответ:

$-1 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#69861

Трехметровая газовая труба проржавела в двух местах. Определить вероятность того, что все три получившиеся части можно будет использовать в качестве отводов к газовым плитам, если по нормативам плита не должна находиться на расстоянии ближе $75$ см от магистральной газовой трубы.

Источники: Газпром - 2022, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, пусть x, y и 300-x-y - это длины наших трех кусочков. Как теперь записать наше условие?

Подсказка 2

Понятно, что все случаи задаются так: 0 <= x <= 300, 0<= y<=300 и 0 <= 300-x-y <=300. А как задать фигуру, где все случаи буду подходящими в нашей задаче?

Подсказка 3

Это просто x>=75, y>=75, 300-x-y>=75! Осталось найти площади обеих фигур и посчитать отношение)

Показать ответ и решение

Пусть длины частей это $x,y,300− x − y.$ Очевидно, что $x,y ∈ [0,300]$ и $x+ y ≤ 300.$ Также запишем ограничения, которые следуют из расстояний между ржавчиной на трубе

( x≥ 75 x ≥75 |{ ⇐ ⇒ |( y ≥75 y ≥75 300− x− y ≥ 75 x +y ≤225

Введём координаты с длиной одного деления $5,$ получим прямоугольный треугольник $KLM,$ который удовлетворяет всем условиям.

$PIC$

Длина его катета равна $75,$ а длина катета $ABC$ равна $300$ — мы равновероятно находимся в каждом точке именно $△ABC$ (вместо прямоугольников, как раньше). Отсюда вытекает

2 p = SKLM-= 752-= 1- SABC 300 16

Ответ:

$-1 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99155

Эксплуатируются $5$ скважин, каждая из которых за месяц может независимо от других выйти из строя с вероятностью $0,1.$ Необходимая подача нефти обеспечивается, если исправны, по крайней мере, $3$ скважины. Какова вероятность обеспечения необходимой подачи нефти?

Источники: Газпром - 2021, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте поймем, какие ситуации нам подходят. Нам подходит, когда не вышло скважин из строя, когда одна и когда две. Для каждой такой ситуации мы можем посчитать ее вероятность. Если никто не вышел из строя, то понятно, что 0,9⁵. А если однавышла из строя? Что мы должны учитывать помимо расстановки вероятностей и подсчета их произведения?

Подсказка 2

Мы должны учитывать, что есть 5 ситуаций, когда вышла из строя 1 скважина, потому что это могла быть каждая из 5 скважин. Значит, когда одна скважина вышла из строя вероятность 0,9⁴ * 0,1 * 5. Какова тогда вероятность для выхода из строя сразу двух скважин? А какова тогда итоговая вероятность, которую требуют найти в задаче?

Показать ответ и решение

Пусть вероятность исправной работы скважины равна $p,$ а вероятность выхода из строя равна $q.$ По условию задачи необходимая подача нефти обеспечивается, если исправны хотя бы $3$ скважины, то есть исправно работают или $3,$ или $4,$ или $5$ скважин.

Найдем вероятность исправной работы любых $3− x$ скважин.

$p⋅p⋅p⋅q ⋅q$ (работают первая, вторая и третья скважины, не работают четвертая и пятая скважины) или $p⋅p⋅q⋅p ⋅q$ (работают первая, вторая и четвертая скважины, не работают - третья и пятая) или т. д. Всего таких комбинаций 10. Следовательно, вероятность работы любых трёх скважин равна $32 10pq .$

Аналогично находим, что вероятность исправной работы четырёх скважин равна $4 5pq.$ Вероятность исправной работы пяти скважин равна $5 p .$ Тогда вероятность исправной работы по крайней мере трёх скважин равна

P =10p3q2 +5p4q+p5

По условию известно, что вероятность выхода из строя скважины равна $q = 0,1$ , тогда вероятность исправной работы скважины равна $p =1− 0,1 =0,9.$

Получим

P =10⋅0,93⋅0,12+ 5⋅0,94⋅0,1 +0,95 = 0,99144≈ 0,99.

Ответ:

$0,99$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#105072

Наудачу выбирают число $a$ из $[−6;6].$ Определите вероятность того, что уравнение

2 2 x − 2(a+ 1)x+ a − 9= 0

имеет два отрицательных корня.

Источники: Газпром - 2020, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое условие для квадратного уравнения помогает считать количество корней? Когда есть два корня? Давайте попробуем представить себе, как будет выглядеть график нашего уравнения, если у него два отрицательных корня?

Подсказка 2

Запишем условие на дискриминант! А что можно сказать про значение трёхчлена в нуле?

Подсказка 3

Значение трёхчлена в нуле должно быть больше нуля! Но ведь такое возможно и при двух положительных корнях... какое ещё условие можно записать на коэффициенты?

Подсказка 4

Можно записать условие на коэффициент при x! Тогда остается лишь решить систему из трёх уравнений относительно a ;)

Показать ответ и решение

Найдем возможные значения параметра $a$ , при котором уравнение $x2 − 2(a+1)x+ a2− 9 =0$ имеет два отрицательных корня из решения системы неравенств:

( 2 2 |{ 4(a2 +1) − 4(a − 9)> 0, |( a − 9>0, 2(a +1)< 0;

(| 8a+ 40> 0, { (a− 3)(a+ 3)>0, |( a +1 <0;

(|{ a> −5, (a− 3)(a+3)> 0,a∈[−5;−3] |( a< −1;

Вероятность того, что уравнение $x2 − 2(a+ 1)x+ a2− 9 =0$ имеет два отрицательных корня, равна отношению длины промежутка $[−5;− 3]$ к длине промежутка $[−6;6],$ т.е. вероятность равна $16.$

Ответ:

$1 6$