Тема Газпром

Вероятности на Газпроме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#99230

Точку случайно бросают на отрезок $[6;11]$ и пусть $k$ — получившееся значение. Найти вероятность, что корни уравнения

( 2 ) 2 k − 2k − 15 x +(3k− 7)x+ 2= 0

удовлетворяют условию $x ≤ 2x. 1 2$

Источники: Газпром - 2023, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно как-то связать корни с коэффициентами в квадратном уравнении. Можно попытаться воспользоваться дискриминантом, но получится ли красиво выразить корни? Как тогда работать с корнями иначе?

Подсказка 2

Воспользуйтесь теоремой Виета. Можно попробовать понять,при каких k у нас один корень будет ровно в 2 раза больше второго!

Подсказка 3

Один корень в два раза больще второго при k = 23/3.

Подсказка 4

Так как мы решаем неравенство для корней, то можно воспользоваться методом интервалов для k!

Подсказка 5

Вероятность надо считать, используя подходящий отрезкок!

Показать ответ и решение

По теореме Виета:

{ x +x =--7−3k- 1 2 k2−22k−15 x1⋅x2 = k2−2k−15

Найдём значение $k$ при условии, что $x =2x 1 2$ , а затем воспользуемся методом интервалов:

{ 3x = -7−3k--, 22 k2−2k2−15 2x2 = k2−2k−15

({ x2 = --7−3k--, ( 2 3(k2−12k−15) x2 = k2−2k−15

(7− 3k)2 1 9(k2−-2k−-15)2 = k2−-2k−-15

Так как $k2− 2k− 15 >0$ для $k∈ (−∞;−3)∪ (5;+∞ )$ , умножив обе части равенства на квадрат этого выражения, получим

(7− 3k)2 2 2 2 23 ---9--- =k − 2k− 15⇔ 9k − 42k+ 49= 9k − 18k− 135⇔ 24k= 184⇔ k= -3 .

Изобразим на числовой оси полученное значение $k$ , и проверим, какая часть оси удовлетворяет условию $x1− 2x2 ≤ 0.$

Значит, условие $x1 ≤ 2x2$ выполняется для $23 k≤ -3$ . Тогда $23−6 1 P = 311−6-= 3.$

Ответ:

$1 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69861

Трехметровая газовая труба проржавела в двух местах. Определить вероятность того, что все три получившиеся части можно будет использовать в качестве отводов к газовым плитам, если по нормативам плита не должна находиться на расстоянии ближе $75$ см от магистральной газовой трубы.

Источники: Газпром - 2022, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, пусть x, y и 300-x-y - это длины наших трех кусочков. Как теперь записать наше условие?

Подсказка 2

Понятно, что все случаи задаются так: 0 <= x <= 300, 0<= y<=300 и 0 <= 300-x-y <=300. А как задать фигуру, где все случаи буду подходящими в нашей задаче?

Подсказка 3

Это просто x>=75, y>=75, 300-x-y>=75! Осталось найти площади обеих фигур и посчитать отношение)

Показать ответ и решение

Пусть длины частей это $x,y,300− x − y.$ Очевидно, что $x,y ∈ [0,300]$ и $x+ y ≤ 300.$ Также запишем ограничения, которые следуют из расстояний между ржавчиной на трубе

( x≥ 75 x ≥75 |{ ⇐ ⇒ |( y ≥75 y ≥75 300− x− y ≥ 75 x +y ≤225

Введём координаты с длиной одного деления $5,$ получим прямоугольный треугольник $KLM,$ который удовлетворяет всем условиям.

$PIC$

Длина его катета равна $75,$ а длина катета $ABC$ равна $300$ — мы равновероятно находимся в каждом точке именно $△ABC$ (вместо прямоугольников, как раньше). Отсюда вытекает

2 p = SKLM-= 752-= 1- SABC 300 16

Ответ:

$-1 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#99155

Эксплуатируются $5$ скважин, каждая из которых за месяц может независимо от других выйти из строя с вероятностью $0,1.$ Необходимая подача нефти обеспечивается, если исправны, по крайней мере, $3$ скважины. Какова вероятность обеспечения необходимой подачи нефти?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте поймем, какие ситуации нам подходят. Нам подходит, когда не вышло скважин из строя, когда одна и когда две. Для каждой такой ситуации мы можем посчитать ее вероятность. Если никто не вышел из строя, то понятно, что 0,9⁵. А если однавышла из строя? Что мы должны учитывать помимо расстановки вероятностей и подсчета их произведения?

Подсказка 2

Мы должны учитывать, что есть 5 ситуаций, когда вышла из строя 1 скважина, потому что это могла быть каждая из 5 скважин. Значит, когда одна скважина вышла из строя вероятность 0,9⁴ * 0,1 * 5. Какова тогда вероятность для выхода из строя сразу двух скважин? А какова тогда итоговая вероятность, которую требуют найти в задаче?

Показать ответ и решение

Пусть вероятность исправной работы скважины равна $p,$ а вероятность выхода из строя равна $q.$ По условию задачи необходимая подача нефти обеспечивается, если исправны хотя бы $3$ скважины, то есть исправно работают или $3,$ или $4,$ или $5$ скважин.

Найдем вероятность исправной работы любых $3− x$ скважин.

$p⋅p⋅p⋅q ⋅q$ (работают первая, вторая и третья скважины, не работают четвертая и пятая скважины) или $p⋅p⋅q⋅p ⋅q$ (работают первая, вторая и четвертая скважины, не работают - третья и пятая) или т. д. Всего таких комбинаций 10. Следовательно, вероятность работы любых трёх скважин равна $32 10pq .$

Аналогично находим, что вероятность исправной работы четырёх скважин равна $4 5pq.$ Вероятность исправной работы пяти скважин равна $5 p .$ Тогда вероятность исправной работы по крайней мере трёх скважин равна