Тема МКТ. Газовые законы

01 Барометрическая формула

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мкт. газовые законы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#100265

$N0$ молекул идеального газа находятся при температуре $\text{[math]}$ в закрытом вертикальном цилиндрическом сосуде в поле силы тяжести. Высота цилиндра $\text{[math]}$ , площадь основания $S$ , масса одной молекулы $\text{[math]}$ . На вебинары был рассмотрен случай изотермической модели. Начнем изменять температуру (то есть $T ⁄= const$ ).
1. Как в таком случае выглядит закон изменения концентрации от координаты $z$ ?
2. Как в таком случае будет выглядеть выражение для координаты центра масс газа?
3. Определите удельную потенциальную энергию (то есть потенциальную энергию на одну молекулу).

Показать ответ и решение

Проанализируем изменение концентрации у дна сосуда при изменении температуры в двух предельных случаях.

При низких температурах $a = mgH- = M-gH-≫ 1 kBT RT$ и

n(0) ≈ ⟨n⟩⋅ mgH-→ ∞, kBT

то есть все молекулы собираются на дне сосуда.

При высоких температурах $a = mgH--<< 1 kBT$ и

[ ( )]−1 ( mgH ) n(0) ≈ ⟨n⟩a 1− 1− a + a2∕2 − ... ≈ ⟨n⟩(1+ a∕2) = ⟨n⟩ 1 +----- , 2kBT

т.е. плотность молекул на дне приближается к среднему значению.

В случае высоких температур плотность молекул на высоте $z$ :

[ mgH--] ( mgz) n(z;T ≫ mgH ∕kB) ≈ ⟨n ⟩ 1+ 2kBT exp − kBT ≈ [ mgH ][ mgz ] ≈ ⟨n⟩ 1 + ----- 1− ---- . 2kBT kBT

На рис.3.2 представлены зависимости $n(z)$ для трех температур: $T1 < T2 < T3,(T1 → 0,T2 > mgH ∕kB,T3 > > mgH ∕kB)$ .

При $T → ∞ 3$ концентрация $n (z) → ⟨n⟩ 3$ , что соответствует равномерному распределению частиц по высоте. Заметим, что площадь под кривой $n(z)$ есть константа, равная $∫H N0 0 n(z)dz = S-$ .

Координата $zc$ центра масс по определению равна

$∫ ∫ zρ(z)dτ 0H z ⋅mn (z) ⋅Sdz ∫H n(z) zc = ∫-ρ(z)dτ-= -----mN0--------= 0 zN0-Sdz =$

n(0) H ∫ a = ⟨z⟩ = ⟨n⟩-a2 y exp(− y)dy 0

где $mgz y = kBT$ . Учитывая, что $∫a 0 yexp(− y)dy = 1− (1+ a)exp(− a)$ , и используя выражение для концентрации, для координаты центра масс получаем:

-----a----- H- ea-−-(1-+-a) zc = 1 − exp(− a) ⋅a2[1− (1+ a)exp(− a)] = H ⋅ a (ea − 1) .

В предельных случаях:

1) низких температур ( $mgH- T → 0,a = kBT ≫ 1$ ):

z ≈ H-= kBT-→ 0 c a mg

2) высоких температур ( $T → ∞,a = mkgBHT-≪ 1$ ):

$zc ≈ H a2∕2+-a32∕6 = H-(1+-a∕3) ≈ a (a + a ∕2) 2(1+ a∕2)$

H H ( mgH ) ≈ 2-(1+ a∕3)(1 − a∕2) ≈ 2- 1− 6kBT- .

Средняя потенциальная энергия в расчете на одну молекулу газа связана с координатой центра масс $z с$ соотношением:

⟨𝜀пот ⟩ = ⟨mgz⟩ = mg⟨z⟩ = mgzc

Таким образом,

a exp (MgH-)− [1 + MgH-] ⟨𝜀пот ⟩ = mgH e-−-(1+-a) = kBT-----RT(----)----RT--. a(ea − 1) exp MgRHT- − 1

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#100268

Идеальный газ, имеющий температуру $T,$ находится в цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $ω$ (см. рис.). Радиус цилиндра $R,$ высота $H.$ Найти распределение давления газа вдоль радиуса цилиндрического сосуда, а также давление газа на боковую стенку цилиндра. Число молекул газа в сосуде $N0.$ Маса одной молекулы $m.$ Силой тяжести пренебречь.

Показать ответ и решение

В неинерциальной системе отсчета, связанной с вращающимся цилиндром, на молекулу идеального газа действует центробежная сила инерции, величина которой зависит от расстояния $r$ молекулы до оси вращения:

fцб = m ω2r.

Энергия молекулы, находящейся на расстоянии $r$ от оси цилиндра, равна (по определению потенциальной энергии) работе центробежных сил при перемещении молекулы из данной точки $r$ в точку $r = 0$ , где ее потенциальная энергия равна нулю:

∫ ∫ 0 0 2 1 22 𝜀пот = r (fцбdr) = r mω r(− dr)(− 1) = −2 mω r .

Вероятность обнаружить молекулу в элементарном объеме $dV = 2πrHdr$ (тонкий цилиндрический слой с радиусами $r$ и $r+ dr$ ) определяется распределением Больцмана:

( ) ( 2 2) dP (r) = A exp − 𝜀пот dτr = Aexp m-ω-r- 2πrHdr kBT 2kBT

Константу $A$ находим из условия нормировки:

[ ∫ R (m ω2r2) ]−1 a A = 2πH exp ------ rdr = ----2--a----- 0 2kBT πHR (e − 1)

где $2 2 a = m2ωkRBT--$ . Число молекул, имеющих координаты в интервале $(r,r+ dr)$ :

dN (r) = N0dP (r)

Концентрация молекул на расстоянии $r$ от оси вращения:

( ) ( ) ( ) -dH-(r)- mω2r2- 2 mω2r2- --a--- m-ω2r2 n(r) = 2πrHdr = N0A exp 2kBT = n0(H πR A )exp 2kBT = n0 ea − 1 exp 2kBT ,

где $n0 = --N0--− H πR2$ средняя концентрация молекул в объеме циллиндра.

Давление на расстоянии $r$ от оси вращения (см. рис.):

( 2 2) 2 2 ( 2 2) p(r) = n (r)kBT = N0kBT ⋅Aexp m-ω-r- = n0---(m-ω-R-∕2)---- exp mω-r-- . 2kBT m-ω2R2- 2kBT exp 2kBT − 1

Давление на боковую стенку:

2 2 ( 2 2) p(R ) = n0m-ω-R-(1 − exp mω-R---)−1 2 2kBT

В предельных случаях имеем (см. рис.):

1) При малых скоростях вращения (или при высоких температурах) $a = m-ω2R2-≪ 1, 1 2kBT$ и можно пренебречь влиянием центробежных сил:

mω2R2-- -kBT--- p(R) ≈ n0 2 ⋅mω2R2 = n0kBT.

2) При высоких скоростях вращения (или при низких температурах), т.е. в пределе $mω2R2 a3 = -------≫ 1, 2kBT$ давление на боковую стенку сосуда создается всеми молекулами, собирающимися у стенки сосуда: