Тема Ломоносов

Ломоносов - задания по годам → .01 Ломоносов до 2010

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Разделы подтемы Ломоносов - задания по годам

Ломоносов до 2010

Ломоносов 2010

Ломоносов 2011

Ломоносов 2012

Ломоносов 2013

Ломоносов 2014

Ломоносов 2015

Ломоносов 2016

Ломоносов 2017

Ломоносов 2018

Ломоносов 2019

Ломоносов 2020

Ломоносов 2021

Ломоносов 2022

Ломоносов 2023

Ломоносов 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47063

На сколько одно из двух положительных чисел больше другого, если их среднее арифметическое равно $2√3-$ , а среднее геометрическое равно $√- 3$ ?

Источники: Ломоносов-2009, 11.1

Показать ответ и решение

Пусть эти числа $a,b$ , тогда из условия

{ a+b= 2√3 √2ab= √3

{ a+ b=4√3- 2 √- √ - ab=3 ⇐⇒ a,b — корни t − 4 3t+3 =0 ⇐ ⇒ a,b= 2 3± 3

Оба числа действительно положительны и разница между ними равна $6$ .

Ответ:

$6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#77820

В свежих грибах содержание воды колеблется от $80%$ до $99%$ , а в сушёных — от $20%$ до $40%$ . В какое наибольшее число раз при этих ограничениях может уменьшиться вес грибов в результате сушки?

Источники: Ломоносов - 2009, 11 (см. olymp.msu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — вес сухой части грибов, $a%$ — содержание воды в свежих грибах, $b%$ — в сушёных.

Тогда вес грибов в обоих состояниях будет равен соответственно

x x 100⋅100− a-и 100⋅100−-b

Значит, вес грибов уменьшился на

-x-- -100x−a= 100−-b 100−b 100− a

Чтобы максимум этого значения, нужно взять наибольшее значение $a$ и наименьшее $b.$ В итоге получается

100−-20- 100− 99 = 80

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80194

Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел $m$ и $n,$ если при увеличении числа $m$ на $6$ он увеличивается в $4$ раза?

Показать ответ и решение

Пусть

Н ОД(m,n)= d, НОД (m + 6,n)= 4d

Значит, на число $d$ делятся числа $m + 6,m,$ а следовательно и их разность $m +6− m = 6.$ Поэтому возможны лишь следующие случаи: $d =1,d= 2,d =3,d= 6.$

Так как числа $m +6,n$ делятся на $4,$ то числа $m$ и $n$ — четные, значит, число $d$ тоже чётное. Следовательно, $d =2$ или $d= 6.$ Привидём примеры для этих двух случаев.

При $d= 2$ должно быть

НОД (m,n)= 2, Н ОД(m+ 6,n)=8

Этим условиям удовлетворяет, например, пара $n =8,m =10.$

При $d= 6$ должно быть

Н ОД(m,n)= 6, НОД (m + 6,n)= 24

Этим условиям удовлетворяет, например, пара $n =24,m =18.$

Ответ: 2 и 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#89919

Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке $A$ , а третьей окружности — в точках $B$ и $C$ . Продолжение хорды $AB$ первой окружности пересекает вторую окружность в точке $D$ , продолжение хорды $AC$ пересекает первую окружность в точке $E$ , а продолжения хорд $BE$ и $CD$ — третью окружность в точках $F$ и $G$ соответственно. Найдите $BG$ , если $BC = 5$ и $BF = 12.$

Показать ответ и решение

Пусть $S1,S2$ и $S3$ — первая, вторая и третья окружности соответственно. Проведём через точки $A,B$ и $C$ общие касательные $l,l,l a b c$ к окружностям $S1$ и $S2,S1$ и $S3,S2$ и $S3$ соответственно. Тогда касательные $la$ и $lb$ образуют равные углы с хордой $AB$ . Обозначим эти углы через $γ$ . Аналогично, равные углы, которые образуют касательные $la$ и $lc$ с хордой $AC$ , обозначим через $β$ , а равные углы, которые образуют касательные $lb$ и $lc$ с хордой $BC$ , — через $α.$ Тогда сумма $2α+ 2β+2γ$ - это сумма углов треугольника $ABC$ , поэтому $∘ α +β +γ =90 .$

$PIC$

На касательной $la$ отметим точку $P$ внутри угла $DAE$ и точку $Q$ внутри угла $BAC$ . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

∠BEC = ∠BEA = ∠BAQ = ∠PAD = ∠ACD = ∠ECD,

значит, $BE ∥CD$ , а т.к.

∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = α+ β+ γ = 90∘,

то $∠BCG = 90∘$ , поэтому четырёхугольник $BCGF$ — прямоугольник. Следовательно,

∘ --------- ∘--------- ∘ ------ BG = CG2+ BC2 = BF 2+BC2 = 122+ 52 = 13.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#100195

Найдите все пары $(x,y)$ , при каждой из которых для чисел

∘----3---- y y u= 4+ x − 9x− x − 3 и v = 2− x− 3

справедливы все три следующих высказывания сразу:

если $|u|>|v|,$ то $u >0,$

если $|u|<|v|,$ то $0 >v,$

а если $|u|= |v|,$ то $u> 0> v.$

Показать ответ и решение

Если $|u|>|v|$ , то $u >0 ⇐ ⇒ u >v$ ,

если $|u|<|v|$ , то $0 >v ⇐ ⇒ u >v$ ,

а если $|u|= |v|$ , то $u> 0> v ⇐⇒ u> v$ .

Поэтому одновременное выполнение всех трёх высказываний задачи равносильно следующему:

⌊ { | |u|> |v|, ||| { u> 0, || |u|< |v|, ||| { 0> v, ⌈ |u|= |v|, u> 0> v

⌊ { |u|>|v|, || || { u >v, ||| |u|<|v|, || { u >v, ⌈ |u|=|v|, u >v

u> v

∘ --------- 4+x3 − 9x> 2

4+ x3− 9x >4

[ −3< x< 0, x> 3.

Замечание. Тот же результат можно получить графически, если отдельно для каждой из трёх систем рассматриваемой совокупности изобразить на координатной плоскости множество точек ( $u,v$ ), удовлетворяющих этой системе, а затем взять объединение всех трёх построенных множеств.

Ответ:

подходят пары $(x,y),$ такие что $x ∈(−3;0)∪ (3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#114021

При каждом значении $a$ найдите все значения $x$ , удовлетворяющие уравнению

( (x +1)2 ) (x+ 1)2 log5 --x---− a = log5---x-- − log5a.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| (x+ 1)2 ||||| ---x-- − a >0 ||{ (x+-1)2 || x >0 ||||| a> 0 |( x⁄= 0

a> 0, x> 0, (x+-1)2 >1 ax

На ОДЗ по свойствам логарифмов уравнение равносильно

(x+-1)2− a= (x+-1)2 x ax

2 2 (a − 1)(x +1) = ax

Если $a= 1,$ то уравнение не имеет решений. Иначе получаем квадратное уравнение (так как $a⁄= 0),$ корни которого равны

⌊ x =a − 1 |⌈ 1 x = a− 1

Условие $x> 0$ выполняется при $a> 1$ для обоих корней. Условие $2 (x+1ax)-> 1$ тоже выполнено при $a >1,$ так как из уравнения $(a− 1)(x+ 1)2 = a2x$ получаем

(x+-1)2 = -a--= 1+ -1--> 1 ax a− 1 a− 1

Ответ:

при $a > 1:$ $a− 1, -1- a−1$

при $a≤ 1:$ решений нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31977

При каких значениях $a$ существует единственное решение системы

{ x2+ y2 = 4; (x− 3)2 +(y+ 4)2 = a?

Показать ответ и решение

При $a< 0$ второе уравнение не имеет решений. При $a =0$ второе уравнение имеет решение $x= 3,y = −4$ , которое не подходит под первое уравнение системы. Заметим, что при $a> 0$ перед нами две окружности: с центром $(0,0)$ радиусом $2$ и с центром в $(3,−4)$ радиусом $√ - a$ .

$PIC$

Нам нужно, чтобы у них была ровно одна точка пересечения, откуда две окружности касаются, то есть либо $------ √ 32+42 = 2+ √a$ (внешнее касание), либо $√32+-42-=√a − 2$ (внутреннее). Значит, $√a =3$ или $√a =7$ .

Ответ:

${9;49}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32374

Решите уравнение

√- || 4x|| 2+ cosx = ||cos3 ||sinx.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если $sinx <0$ , то равенство невозможно (область значений косинуса), потому $|| 4x|| sinx ≥ cos 3 sinx ≥0$ , откуда

√- || 4x || √- 2 =||cos3-||sinx− cosx≤ sinx − cosx= 2sin(x− π∕4)

Отсюда $sin(x− π∕4)= 1$ и $| | |cos4x3|= 1$ , то есть $x = 3π4-+ πk$ . Вспомним, что $sinx≥ 0$ , то есть $x = 3π4-+2πk$ . Далее $( ) cos4x3 = cosπ + 83πk ± 1$ . Отсюда $. k..3$ и ответ $x= 34π+ 6πk,k∈ ℤ$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

| | √2= |||cos4x|||sinx − cosx≤ |sin x|− cosx ≤|sinx|+ |cosx| 3

Если $a= |sinx|, b= |cosx|$ , то $(a+b)2 = a2+b2+ 2ab ≤2a2+ 2b2 = 2$ . Значит,

√ - ||| 4x||| √- 2= |cos3 |sinx− cosx≤ sinx − cosx≤ |sin x|+ |cosx|≤ 2

Значит, все неравенства становятся равенствами.

Значит, $2 2 a +b = 2ab$ , $− cosx= |cosx|$ и $| 4x| |cos3-|sinx= |sinx|$

Итого: $sinx = 1√2$ , $cosx= −√12$ , $cos4x3 = ±1$ . Это равносильно задаче. Осталось посчитать $x$ . Из первых 2 условия $x = 3π4-+2πk$ . Тогда $( ) cos4x3 = cosπ + 83πk ± 1$ . Отсюда $. k..3$ и ответ $x= 34π+ 6πk$ .

Ответ:

$3π +6πk,k∈ ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#91917

Лиса преследовала кролика по прямолинейной дорожке, ведущей к норе кролика. Их скорости были постоянны. В некоторый момент расстояние от кролика до норы было равно $7$ м, а до лисы – $13$ м. В некоторый следующий момент расстояние между кроликом и норой стало вдвое меньше расстояния между ним и лисой. Успела ли лиса догнать кролика, прежде чем тот юркнул в нору?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — скорость кролика, $y$ — скорость лисы. Пусть через время $t$ после первого момента настал второй момент. Получаем уравнение $20−yt 7−xt = 3$ , откуда $3xt= yt+ 1$ , то есть $3x > y$ , поэтому лиса не догонит кролика.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#115994

Какое наибольшее число раз можно последовательно взять логарифм по основанию $3$ от числа $2781$ (первый раз логарифм берётся от этого числа, а затем всякий раз — от числа, полученного в предыдущий раз)?

Показать ответ и решение

Последовательно вычисляя логарифм по основанию 3, получаем цепочку

81 27 → 3⋅81→ 5→ 1,...→ 0,...→ a< 0

А от отрицательного числа логарифм уже не берётся.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#34157

Натуральные числа $a$ , $b$ и $c$ таковы, что $НО К(a,b)= 90$ и $НОК(a,c)= 120$ . Найдите $НОК(b,c)$ .

Показать ответ и решение

Разложим все НОКи:

2 3 НОК(a,b)= 90= 2⋅3 ⋅5,НО К(a,c)= 120 =2 ⋅3⋅5.

Тогда из первого НОКа мы понимаем, что $a$ или $b$ содержит в своем разложении $32$ . Если $a$ кратно $32$ , то $НОК (a,c)=120$ должен быть тоже кратен $32$ , но это не так. Тогда именно $b$ содержит в своем разложении $32$ .

Аналогично поймем, что $23$ входит в разложение $c$ .

Теперь мы уже знаем, что $НО К(b,c)$ содержит $32$ и $23$ . $НО К(b,c)$ может содержать еще 5 (именно в первой степени).

Приведем примеры для $НОК (b,c) =23⋅32 = 72$ и $НОК (b,c)= 23⋅32⋅5= 360$ :

2 3 1)a= 5,b =2⋅3 ,c=2 ⋅3,

2 3 2)a= 1,b =2⋅3 ⋅5,c=2 ⋅3⋅5.

Ответ: 72 или 360

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#64440

Какие значения может принимать выражение

logb11b50(b1b2...b60),

где $b ,b,... 1 2$ — геометрическая прогрессия?

Источники: Ломоносов-2007

Показать ответ и решение

Пусть $b = b⋅qk−1 k$ . Тогда получается

60 60⋅59 2 5930 logb2q59(b q 2 )=logb2q59(bq ) = 30

Отсюда выражение на ОДЗ может быть равно только $30.$

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#70346

Решите неравенство

√x+-8− |2x+ 1| √7−-x−-|2x+-1| ≥ 1

Источники: Ломоносов-2007, отборочный тур, 11

Показать ответ и решение

Ограничения: $− 8≤ x≤ 7.$

√x+-8− |2x+ 1|− √7-− x+ |2x +1| -------√7−-x−-|2x+-1|-------≥ 0

√---- √---- √x-+8−--7-− x-≥ 0 7− x− |2x+ 1|

√x-+8− √7-− x √7-−-x− ∘-(2x+1)2 ≥ 0

Рассмотрим неравенство вида $√ -- √-- A− B ≥ 0$ . Домножим обе части на $(√-- √-) A + B ≥0.$ Этот переход действительно равносильный, так как $√A-+ √B-= 0 ⇐⇒ A= B =0$ — решение.

$( )( ) √A-− √B- √A-+ √B- ≥0 ⇐ ⇒ A ≥ B.$

Тогда на ОДЗ получившееся неравенство равносильно

-(x+-8)−-(7− x) (7− x)− (2x+ 1)2 ≥ 0

2x +1 [ 1 3) −4x2− 5x-+6-≥0 ⇐ ⇒ (−∞;− 2)∪ −2;4

Пересекая с $− 8≤ x≤ 7$ получаем ответ.

Ответ:

$[−8;−2)∪[− 1;3) 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#83947

Найдите $sin 2α$ , если известно, что $sinα +cosα= 1,3$ .

Показать ответ и решение

Возведём данное нам равенство в квадрат

2 2 (sinα+ cosα) = (1,3)

2 2 sin α+ 2sinαcosα+ cos α =1,69

Воспользуемся формулой синуса двойного угла и тригонометрической единицей, получим

sin2α =1,69− 1= 0,69

Ответ: 0,69

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#91915

Решите уравнение

∘ -x2- ( 5√x)5 2 = 2

Показать ответ и решение

По свойству степеней уравнение равносильно

x2- 25√x 22 = 2 .

x2= 25√x- 2

3√---- x= 2500 или x =0

Ответ:

$√32500-$ или $0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#64355

Из пункта А в пункт В в 7:00 вышел пешеход, а через некоторое время из В в А выехал всадник. Пешеход пришел в В через 10 часов после выезда оттуда всадника. Всадник приехал в А в 12:00 того же дня. Скорости пешехода и всадника постоянны. Какую долю пути из А в В прошел пешеход до его встречи со всадником?

Показать ответ и решение

Нарисуем графики движения.

$PIC$

По условию $YZ = 10$ , а $XT =12− 7= 5$ . Пусть $XY$ и $TZ$ пересекаются в точке $O.$

Из подобия $OX- TX- 5- 1 OY = YZ = 10 = 2.$ Отсюда доля пути из $A$ в $B$ , которую прошел пешеход до его встречи со всадником равна $OX- 1 XY =3$ .

Ответ:

$1 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#70342

Решите неравенство

√ ---- x+ 1− 1 ≤−x|x− 2|− 4x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≥ −1.$ Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

В первом случае $− 1 ≤x <2 :$

√ ---- 2 2 x+ 1≤ x − 6x+ 1= (x− 3) − 8

На данном промежутке слева возрастающая функция, а справа — убывающая. Равенство достигается при $x= 0,$ поэтому неравенство выполняется при $− 1 ≤x ≤0.$

Во втором случае $x ≥2:$

√ ---- 2 x+1 ≤− x − 2x+ 1

При $x≥ 2$ выражение справа отрицательное, а слева положительное, поэтому решений у неравенства нет.

Ответ:

$[−1;0]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#72980

В треугольной пирамиде $SABC$ ребро $SA$ перпендикулярно плоскости $ABC,∠SCB = 90∘,BC = √5,AC =√7-$ . Последовательность точек $On$ строится следующим образом: точка $O1$ — центр сферы, описанной около пирамиды $SABC$ , и для каждого натурального $n ≥2$ точка $On$ есть центр сферы, описанной около пирамиды $On−1ABC$ . Какую длину должно иметь ребро $SA$ , чтобы множество ${On}$ состояло ровно из двух различных точек?

Показать ответ и решение

$PIC$

Применим теорему о трех перпендикулярах. В силу того, что $SA ⊥ (ABC )$ и $SC ⊥ BC$ , получим, что проекция $SC$ на плоскость $(ABC )$ перпендикулярна $BC$ , то есть $AC ⊥ BC.$

Заметим, что середина гипотенузы $AB$ - точка $X$ это центр описанной окружности прямоугольного треугольника $△ACB$ . Аналогично середина гипотенузы $SB$ - точка $Y$ - центр описанной окружности прямоугольного треугольника $△SAB$ . Тогда если провести перпендикуляр к плоскости $(ABC )$ в точке $X$ и перпендикуляр к плоскости $(SAB)$ в точке $Y$ , то центр описанной окружности $O1$ пирамиды $SABC$ - точка пересечения этих перпендикуляров. Но перпендикуляр к плоскости $(ABC )$ в точке $X$ совпадает с прямой $XY$ . То есть точка $O1$ и есть точка $Y$ .

При этом на прямой $XY$ (перпендикуляр к плоскости $(ABC )$ в точке $X$ ) будут лежать все $On$ в силу того, что $XY$ - ГМТ точек равноудаленных от $A,B,C.$

То есть точка $O2$ - центр треугольной пирамиды $O1ABC$ - опять-таки должна лежать на прямой $XY.$

$PIC$

Хотелось бы добиться того, чтобы $O3 = O1$ ( $O3 ⁄=O2$ по очевидным причинам). Но тогда $O3 = Y$ . То есть середина гипотенузы $△SAB$ равноудалена от точек $A,B,O2$ . Так же точка $O2$ равноудалена от точек $A,B,Y$ . Но тогда $AY BO2$ должен быть ромбом, при этом его диагональ $YO 2$ должна быть равна стороне. Понятно, что тогда $∠AY B = 120∘$ . Значит, что $∠SBA = 30∘$ , то есть $SA = tan30∘⋅AB = 1√-⋅√AC2-+-BC2 = √1√2-=2. 3 3$

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#79930

Точки $A,B$ и $C$ лежат на одной прямой. Отрезок $AB$ является диаметром первой окружности, а отрезок $BC$ — диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку $A,$ пересекает первую окружность в точке $D$ и касается второй окружности в точке $E,BD = 9$ , $BE = 12.$ Найдите радиусы окружностей.

Показать ответ и решение

Возможны три случая расположения точек $A,B$ и $C$ на прямой.

1. Точка $A$ лежит между точками $B$ и С. Тогда $A$ находится внутри второй окружности и не существует прямой, проходящей через $A$ и касающейся второй окружности.

2. Точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$ .

$PIC$

Имеем $∘ ∠ADB = ∠BEC = ∠AEO2 = 90,$ и $∠DEB,$ как угол между касательной и хордой, равен $∠ECB.$ Треугольники ВЕС и $BDE$ подобны по двум углам, откуда следует, что

BC BE BE2 BE-= BD-⇒ 2R2 =BC = -BD-= 16⇒ R2 =8

Отрезки $BD$ и $EO2$ параллельны, и должно выполняться неравенство $BD <EO2,$ а в то же время $BD = 9$ и $EO2 = R2 =8,$ так что этот случай невозможен.

3. Точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ .

$PIC$

Дословно повторяя рассуждение из предыдущего случая, снова получаем $R2 = 8.$ Треугольники $ADB$ и $AEO2$ также подобны по двум углам, откуда следует, что