Тема Ломоносов

Ломоносов - задания по годам → .01 Ломоносов до 2010

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Разделы подтемы Ломоносов - задания по годам

Ломоносов до 2010

Ломоносов 2010

Ломоносов 2011

Ломоносов 2012

Ломоносов 2013

Ломоносов 2014

Ломоносов 2015

Ломоносов 2016

Ломоносов 2017

Ломоносов 2018

Ломоносов 2019

Ломоносов 2020

Ломоносов 2021

Ломоносов 2022

Ломоносов 2023

Ломоносов 2024

Ломоносов 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47063

На сколько одно из двух положительных чисел больше другого, если их среднее арифметическое равно $2√3-$ , а среднее геометрическое равно $√- 3$ ?

Источники: Ломоносов-2009, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Составляем уравнения для чисел a и b в соответствии с условием. (a+b)/2 = 2 √3 и √(ab) = √3.

Подсказка 2!

Остается найти числа, зная их сумму и произведение! Например, по известной теореме о корнях многочленов!

Показать ответ и решение

Пусть эти числа $a,b$ , тогда из условия

{ a+b= 2√3 √2ab= √3

{ a+ b=4√3- 2 √- √ - ab=3 ⇐⇒ a,b — корни t − 4 3t+3 =0 ⇐ ⇒ a,b= 2 3± 3

Оба числа действительно положительны и разница между ними равна $6$ .

Ответ:

$6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#77820

В свежих грибах содержание воды колеблется от $80%$ до $99%$ , а в сушёных — от $20%$ до $40%$ . В какое наибольшее число раз при этих ограничениях может уменьшиться вес грибов в результате сушки?

Источники: Ломоносов - 2009, 11 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Процент содержания воды - это процент веса воды в этом грибе) Давайте обозначим за x вес сухой части гриба. Как можно выразить вес гриба до и после сушки?

Подсказка 2

Если у нас есть какой-то процент содержания воды, например k%, то значит, что сухая часть - это (100-k)% от веса гриба. Найдите из этого вес гриба до/после сушки и максимум отношения весов до и после сушки)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — вес сухой части грибов, $a%$ — содержание воды в свежих грибах, $b%$ — в сушёных.

Тогда вес грибов в обоих состояниях будет равен соответственно

x x 100⋅100− a-и 100⋅100−-b

Значит, вес грибов уменьшился на

-x-- -100x−a= 100−-b 100−b 100− a

Чтобы максимум этого значения, нужно взять наибольшее значение $a$ и наименьшее $b.$ В итоге получается

100−-20- 100− 99 = 80

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80194

Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел $m$ и $n,$ если при увеличении числа $m$ на $6$ он увеличивается в $4$ раза?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ага, нам в условии даны НОДы, значит, нужно смотреть на делители чисел, для которых мы знаем НОД. Обратите внимание, что m делится на d, а m + 6 делятся на 4d. Подумайте, как с помощью этого мы можем оценить d.

Подсказка 2

m и m + 6 делятся на d, следовательно, их разность тоже делится на d. Какие значения может принимать d?

Подсказка 3

Не забудем про то, что m + 6 и n делятся на 4, значит, m и n – четные. Что тогда можно сказать про d?

Подсказка 4

d – четное натуральное число, которое является делителем числа 6. Осталось найти пример на d = 2 и d = 6.

Показать ответ и решение

Пусть

Н ОД(m,n)= d, НОД (m + 6,n)= 4d

Значит, на число $d$ делятся числа $m + 6,m,$ а следовательно и их разность $m +6− m = 6.$ Поэтому возможны лишь следующие случаи: $d =1,d= 2,d =3,d= 6.$

Так как числа $m +6,n$ делятся на $4,$ то числа $m$ и $n$ — четные, значит, число $d$ тоже чётное. Следовательно, $d =2$ или $d= 6.$ Привидём примеры для этих двух случаев.

При $d= 2$ должно быть

НОД (m,n)= 2, Н ОД(m+ 6,n)=8

Этим условиям удовлетворяет, например, пара $n =8,m =10.$

При $d= 6$ должно быть

Н ОД(m,n)= 6, НОД (m + 6,n)= 24

Этим условиям удовлетворяет, например, пара $n =24,m =18.$

Ответ: 2 и 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#89919

Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке $A$ , а третьей окружности — в точках $B$ и $C$ . Продолжение хорды $AB$ первой окружности пересекает вторую окружность в точке $D$ , продолжение хорды $AC$ пересекает первую окружность в точке $E$ , а продолжения хорд $BE$ и $CD$ — третью окружность в точках $F$ и $G$ соответственно. Найдите $BG$ , если $BC = 5$ и $BF = 12.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задачах, где фигурируют несколько окружностей, бывает полезно провести общие касательные. Что можно сказать о них троих?

Подсказка 2

Попарно общие касательные пересекаются в одной точке! Давайте посмотрим на углы, которые образуются при пересечении двух касательных к одной окружности.

Подсказка 3

Углы треугольника ABC разбиваются касательными на 6 углов, среди которых три пары равных. Что если обозначить их переменными? Подумаем, какие еще равные углы образуются из касания?

Подсказка 4

Докажите, что прямые FB и GC параллельны. А что можно сказать про четырехугольник FGCB?

Показать ответ и решение

Пусть $S1,S2$ и $S3$ — первая, вторая и третья окружности соответственно. Проведём через точки $A,B$ и $C$ общие касательные $l,l,l a b c$ к окружностям $S1$ и $S2,S1$ и $S3,S2$ и $S3$ соответственно. Тогда касательные $la$ и $lb$ образуют равные углы с хордой $AB$ . Обозначим эти углы через $γ$ . Аналогично, равные углы, которые образуют касательные $la$ и $lc$ с хордой $AC$ , обозначим через $β$ , а равные углы, которые образуют касательные $lb$ и $lc$ с хордой $BC$ , — через $α.$ Тогда сумма $2α+ 2β+2γ$ - это сумма углов треугольника $ABC$ , поэтому $∘ α +β +γ =90 .$

$PIC$

На касательной $la$ отметим точку $P$ внутри угла $DAE$ и точку $Q$ внутри угла $BAC$ . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

∠BEC = ∠BEA = ∠BAQ = ∠PAD = ∠ACD = ∠ECD,

значит, $BE ∥CD$ , а т.к.

∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = α+ β+ γ = 90∘,

то $∠BCG = 90∘$ , поэтому четырёхугольник $BCGF$ — прямоугольник. Следовательно,

∘ --------- ∘--------- ∘ ------ BG = CG2+ BC2 = BF 2+BC2 = 122+ 52 = 13.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#100195

Найдите все пары $(x,y)$ , при каждой из которых для чисел

∘----3---- y y u= 4+ x − 9x− x − 3 и v = 2− x− 3

справедливы все три следующих высказывания сразу:

если $|u|>|v|,$ то $u >0,$

если $|u|<|v|,$ то $0 >v,$

а если $|u|= |v|,$ то $u> 0> v.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно переписать вопрос задачи?

Подсказка 2

Например, первое высказывание равносильно u > v.

Показать ответ и решение

Если $|u|>|v|$ , то $u >0 ⇐ ⇒ u >v$ ,

если $|u|<|v|$ , то $0 >v ⇐ ⇒ u >v$ ,

а если $|u|= |v|$ , то $u> 0> v ⇐⇒ u> v$ .

Поэтому одновременное выполнение всех трёх высказываний задачи равносильно следующему:

⌊ { | |u|> |v|, ||| { u> 0, || |u|< |v|, ||| { 0> v, ⌈ |u|= |v|, u> 0> v

⌊ { |u|>|v|, || || { u >v, ||| |u|<|v|, || { u >v, ⌈ |u|=|v|, u >v

u> v

∘ --------- 4+x3 − 9x> 2

4+ x3− 9x >4

[ −3< x< 0, x> 3.

Замечание. Тот же результат можно получить графически, если отдельно для каждой из трёх систем рассматриваемой совокупности изобразить на координатной плоскости множество точек ( $u,v$ ), удовлетворяющих этой системе, а затем взять объединение всех трёх построенных множеств.

Ответ:

подходят пары $(x,y),$ такие что $x ∈(−3;0)∪ (3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#114021

При каждом значении $a$ найдите все значения $x$ , удовлетворяющие уравнению

( (x +1)2 ) (x+ 1)2 log5 --x---− a = log5---x-- − log5a.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ и преобразуем правую часть по свойствам логарифма :)

Подсказка 2

Можно отбросить логарифмы и перейти к равенству выражений с x и a.

Подсказка 3

(a-1)(x+1)² = a²x. Нам нужно при каждом a искать какие-то x. А чем является это равенство относительно x?

Подсказка 4

Почти всегда равенств является квадратным уравнением относительно x, которые мы умеем решать ;) Осталось лишь учесть, что x должен удовлетворять ОДЗ!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| (x+ 1)2 ||||| ---x-- − a >0 ||{ (x+-1)2 || x >0 ||||| a> 0 |( x⁄= 0

a> 0, x> 0, (x+-1)2 >1 ax

На ОДЗ по свойствам логарифмов уравнение равносильно

(x+-1)2− a= (x+-1)2 x ax

2 2 (a − 1)(x +1) = ax

Если $a= 1,$ то уравнение не имеет решений. Иначе получаем квадратное уравнение (так как $a⁄= 0),$ корни которого равны

⌊ x =a − 1 |⌈ 1 x = a− 1

Условие $x> 0$ выполняется при $a> 1$ для обоих корней. Условие $2 (x+1ax)-> 1$ тоже выполнено при $a >1,$ так как из уравнения $(a− 1)(x+ 1)2 = a2x$ получаем

(x+-1)2 = -a--= 1+ -1--> 1 ax a− 1 a− 1

Ответ:

при $a > 1:$ $a− 1, -1- a−1$

при $a≤ 1:$ решений нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31977

При каких значениях $a$ существует единственное решение системы

{ x2+y2 =4; (x − 3)2+ (y+ 4)2 =a

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем о том, сколько решений может иметь второе уравнение системы в зависимости от а. Мы можем найти такие а, при которых у нас не будет решений и эти а в ответ точно не пойдут. Для остальных а мы можем подумать о том, как будут выглядеть графики

Подсказка 2

При положительных а у нас есть графики двух окружностей, подумайте над тем, когда у нас может быть ровно одно решение?

Подсказка 3

Верно, одно решение у нас в случае касания окружностей! Найдите значения а, при которых это происходит и останется лишь проверить, что происходит в случае, когда а=0!

Показать ответ и решение

При $a< 0$ второе уравнение не имеет решений. При $a =0$ второе уравнение имеет решение $x= 3,y = −4$ , которое не подходит под первое уравнение системы. Заметим, что при $a> 0$ перед нами две окружности: с центром $(0,0)$ радиусом $2$ и с центром в $(3,−4)$ радиусом $√ - a$ .

$PIC$

Нам нужно, чтобы у них была ровно одна точка пересечения, откуда две окружности касаются, то есть либо $------ √ 32+42 = 2+ √a$ (внешнее касание), либо $√32+-42-=√a − 2$ (внутреннее). Значит, $√a =3$ или $√a =7$ .

Ответ:

${9;49}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32374

Решите уравнение

√- || 4x|| 2+ cosx = ||cos3 ||sinx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте воспользоваться тем, что справа находится модуль.

Подсказка 2

Что, если sin(x) < 0?

Подсказка 3

Докажите, что тогда равенство невозможно и надо рассматривать случаи, когда sin(x) ≥ 0.

Подсказка 4

Попробуйте оценить разность тригонометрических функций.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если $sinx <0$ , то равенство невозможно (область значений косинуса), потому $|| 4x|| sinx ≥ cos 3 sinx ≥0$ , откуда

√- || 4x || √- 2 =||cos3-||sinx− cosx≤ sinx − cosx= 2sin(x− π∕4)

Отсюда $sin(x− π∕4)= 1$ и $| | |cos4x3|= 1$ , то есть $x = 3π4-+ πk$ . Вспомним, что $sinx≥ 0$ , то есть $x = 3π4-+2πk$ . Далее $( ) cos4x3 = cosπ + 83πk ± 1$ . Отсюда $. k..3$ и ответ $x= 34π+ 6πk,k∈ ℤ$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

| | √2= |||cos4x|||sinx − cosx≤ |sin x|− cosx ≤|sinx|+ |cosx| 3

Если $a= |sinx|, b= |cosx|$ , то $(a+b)2 = a2+b2+ 2ab ≤2a2+ 2b2 = 2$ . Значит,

√ - ||| 4x||| √- 2= |cos3 |sinx− cosx≤ sinx − cosx≤ |sin x|+ |cosx|≤ 2

Значит, все неравенства становятся равенствами.

Значит, $2 2 a +b = 2ab$ , $− cosx= |cosx|$ и $| 4x| |cos3-|sinx= |sinx|$

Итого: $sinx = 1√2$ , $cosx= −√12$ , $cos4x3 = ±1$ . Это равносильно задаче. Осталось посчитать $x$ . Из первых 2 условия $x = 3π4-+2πk$ . Тогда $( ) cos4x3 = cosπ + 83πk ± 1$ . Отсюда $. k..3$ и ответ $x= 34π+ 6πk$ .

Ответ:

$3π +6πk,k∈ ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#91917

Лиса преследовала кролика по прямолинейной дорожке, ведущей к норе кролика. Их скорости были постоянны. В некоторый момент расстояние от кролика до норы было равно $7$ м, а до лисы – $13$ м. В некоторый следующий момент расстояние между кроликом и норой стало вдвое меньше расстояния между ним и лисой. Успела ли лиса догнать кролика, прежде чем тот юркнул в нору?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В подобных задачах бывает очень полезно ввести обозначения. x — скорость кролика, y — скорость лисы. Пусть время между моментами равно t. Какое уравнение тогда можно составить?

Подсказка 2

По условию, (20-yt)/(7-xt) = 3. Осталось преобразовать, воспользоваться натуральностью чисел и получить ответ. Успехов!

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — скорость кролика, $y$ — скорость лисы. Пусть через время $t$ после первого момента настал второй момент. Получаем уравнение $20−yt 7−xt = 3$ , откуда $3xt= yt+ 1$ , то есть $3x > y$ , поэтому лиса не догонит кролика.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#115994

Какое наибольшее число раз можно последовательно взять логарифм по основанию $3$ от числа $2781$ (первый раз логарифм берётся от этого числа, а затем всякий раз — от числа, полученного в предыдущий раз)?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем взять логарифм первый раз. Какое число получится?

Подсказка 2

Останется 3*81. Интересно, число уже не такое большое, поэтому можно проделать процесс дальше вручную ;)

Показать ответ и решение

Последовательно вычисляя логарифм по основанию 3, получаем цепочку

81 27 → 3⋅81→ 5→ 1,...→ 0,...→ a< 0

А от отрицательного числа логарифм уже не берётся.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#34157

Натуральные числа $a$ , $b$ и $c$ таковы, что $НО К(a,b)= 90$ и $НОК(a,c)= 120$ . Найдите $НОК(b,c)$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу же раскладываем результат НОКов на степени простых чисел, потому что именно они влияют на НОК, заметьте, что НОК от двух чисел обязательно говорит о том, что какая-то степень простого точно содержится хотя бы в одном из двух чисел, а ещё, что "a" участвует аж в двух известных нам произведениях, может стоит вести рассуждения про него?

Подсказка 2

Посмотрите, на то, что в одном НОКе есть простое число в большей степени, чем в другом, в каком тогда числе оно содержится?

Подсказка 3

Точно не в "a", потому что иначе оба НОКа содержали бы его, так мы понимаем, что именно "b" делится на 3², подумайте, а в каком числе содержится 2³?

Подсказка 4

Верно, в "c", а что мы можем сказать про 5? До этого мы получали необходимые условия, которые как-то фиксировали наши выражения, если же мы не сможем найти новые условия, то может стоит найти примеры, которые подтверждают то, что наши случаи возможны, а если перебрать все такие, то наша задача станет решена!

Показать ответ и решение

Разложим все НОКи:

2 3 НОК(a,b)= 90= 2⋅3 ⋅5,НО К(a,c)= 120 =2 ⋅3⋅5.

Тогда из первого НОКа мы понимаем, что $a$ или $b$ содержит в своем разложении $32$ . Если $a$ кратно $32$ , то $НОК (a,c)=120$ должен быть тоже кратен $32$ , но это не так. Тогда именно $b$ содержит в своем разложении $32$ .

Аналогично поймем, что $23$ входит в разложение $c$ .

Теперь мы уже знаем, что $НО К(b,c)$ содержит $32$ и $23$ . $НО К(b,c)$ может содержать еще 5 (именно в первой степени).

Приведем примеры для $НОК (b,c) =23⋅32 = 72$ и $НОК (b,c)= 23⋅32⋅5= 360$ :

2 3 1)a= 5,b =2⋅3 ,c=2 ⋅3,

2 3 2)a= 1,b =2⋅3 ⋅5,c=2 ⋅3⋅5.

Ответ: 72 или 360

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#64440

Какие значения может принимать выражение

logb11b50(b1b2...b60),

где $b ,b,... 1 2$ — геометрическая прогрессия?

Источники: Ломоносов-2007

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Работать с индексами b-шек так себе идея. А вот со степенями знаменателя геометрической прогрессии звучит приятно. Итак, перепишем условие если b₁ — первый член, а q — знаменатель.

Подсказка 2:

Преобразуем это выражение и получим: log_{b²q⁵⁹}((b²q⁵⁹)³⁰). Восстановите остальные части решения самостоятельно. Успехов!

Показать ответ и решение

Пусть $b = b⋅qk−1 k$ . Тогда получается

60 60⋅59 2 5930 logb2q59(b q 2 )=logb2q59(bq ) = 30

Отсюда выражение на ОДЗ может быть равно только $30.$

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#70346

Решите неравенство

√x+-8− |2x+ 1| √7−-x−-|2x+-1| ≥ 1

Источники: Ломоносов-2007, отборочный тур, 11

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Приведите неравенство в виду a/b ≥ 0.

Подсказка 2

Получили в числителе разность 2 корней, а можно ли сделать данное выражение более приятным?

Подсказка 3

Вспомните формулу разности квадратов.

Показать ответ и решение

Ограничения: $− 8≤ x≤ 7.$

√x+-8− |2x+ 1|− √7-− x+ |2x +1| -------√7−-x−-|2x+-1|-------≥ 0

√---- √---- √x-+8−--7-− x-≥ 0 7− x− |2x+ 1|

√x-+8− √7-− x √7-−-x− ∘-(2x+1)2 ≥ 0

Рассмотрим неравенство вида $√ -- √-- A− B ≥ 0$ . Домножим обе части на $(√-- √-) A + B ≥0.$ Этот переход действительно равносильный, так как $√A-+ √B-= 0 ⇐⇒ A= B =0$ — решение.

$( )( ) √A-− √B- √A-+ √B- ≥0 ⇐ ⇒ A ≥ B.$

Тогда на ОДЗ получившееся неравенство равносильно

-(x+-8)−-(7− x) (7− x)− (2x+ 1)2 ≥ 0

2x +1 [ 1 3) −4x2− 5x-+6-≥0 ⇐ ⇒ (−∞;− 2)∪ −2;4

Пересекая с $− 8≤ x≤ 7$ получаем ответ.

Ответ:

$[−8;−2)∪[− 1;3) 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#83947

Найдите $sin 2α$ , если известно, что $sinα +cosα= 1,3$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

sin(2α) = 2sinα*cosα. На что намекает выражение вида 2ab?

Подсказка 2

Наверное, чаще всего мы видим это, когда раскрываем по формула сокращённого умножения выражение (а+b)². Попробуем как-то это связать?

Подсказка 3

Хотим получить 2sinα*cosα. Значит, возведём в квадрат (cosα + sinα). Останется сделать совсем немного. Успехов!

Показать ответ и решение

Возведём данное нам равенство в квадрат

2 2 (sinα+ cosα) = (1,3)

2 2 sin α+ 2sinαcosα+ cos α =1,69

Воспользуемся формулой синуса двойного угла и тригонометрической единицей, получим

sin2α =1,69− 1= 0,69

Ответ: 0,69

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#91915

Решите уравнение

∘ -x2- ( 5√x)5 2 = 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, что такое корень из числа. √x = x^(0.5). Воспользуемся этим!

Подсказка 2

Не забудем, что (x^(a))^b = x^(ab). Что же мы получили?

Подсказка 3

2^(x²/2) = 2^(25√x). Степени нам мешают, что же с ними сделать?

Подсказка 4

Верно! Прологарифмировать и получить, что x²/2 = 25√x. А теперь осталось посчитать... Успехов!

Показать ответ и решение

По свойству степеней уравнение равносильно

x2- 25√x 22 = 2 .

x2= 25√x- 2

3√---- x= 2500 или x =0

Ответ:

$√32500-$ или $0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#64355

Из пункта А в пункт В в 7:00 вышел пешеход, а через некоторое время из В в А выехал всадник. Пешеход пришел в В через 10 часов после выезда оттуда всадника. Всадник приехал в А в 12:00 того же дня. Скорости пешехода и всадника постоянны. Какую долю пути из А в В прошел пешеход до его встречи со всадником?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуйте графики движения в осях “время – расстояние”. Не забывайте, что стартовые точки у пешехода и всадника разные как по времени, так и по “расстоянию” относительно кого-то из них. Соотношение длин каких отрезков мы хотим найти?

Подсказка 2

Нам нужны проекции отрезков пешехода “до встречи” и “всего пути” на ось расстояния. Что мы точно можем сказать про проекции отрезков с некоторой прямой на другую прямую?

Подсказка 3

Проекции соотносятся так же, как и длины самих отрезков! Этот факт нетрудно доказывается с применением обобщенной теоремы Фалеса. Остается только найти соотношение из планиметрических соображений.

Показать ответ и решение

Нарисуем графики движения.

$PIC$

По условию $YZ = 10$ , а $XT =12− 7= 5$ . Пусть $XY$ и $TZ$ пересекаются в точке $O.$

Из подобия $OX- TX- 5- 1 OY = YZ = 10 = 2.$ Отсюда доля пути из $A$ в $B$ , которую прошел пешеход до его встречи со всадником равна $OX- 1 XY =3$ .

Ответ:

$1 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#70342

Решите неравенство

√ ---- x+ 1− 1 ≤−x|x− 2|− 4x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, запишем ОДЗ: x ≥ -1. Видим модуль. Как мы обычно справляемся с модулями?

Подсказка 2

Верно! Рассматриваем случаи. Случай -1 ≤ x ≤ 2 достаточно интересный. Возводить в квадрат — так себе идея. Что же можно сделать ещё?

Подсказка 3

Запомните идею: если одна функция возрастает на промежутке, а другая убывает, то на этом промежутке у них не более одного пересечения. Как применить, поймите самостоятельно.

Подсказка 4

Теперь второй случай x ≥ 2. Ну здесь всё совсем просто, достаточно понять знаки выражений. Успехов!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≥ −1.$ Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

В первом случае $− 1 ≤x <2 :$

√ ---- 2 2 x+ 1≤ x − 6x+ 1= (x− 3) − 8

На данном промежутке слева возрастающая функция, а справа — убывающая. Равенство достигается при $x= 0,$ поэтому неравенство выполняется при $− 1 ≤x ≤0.$

Во втором случае $x ≥2:$

√ ---- 2 x+1 ≤− x − 2x+ 1

При $x≥ 2$ выражение справа отрицательное, а слева положительное, поэтому решений у неравенства нет.

Ответ:

$[−1;0]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#72980

В треугольной пирамиде $SABC$ ребро $SA$ перпендикулярно плоскости $ABC,∠SCB = 90∘,BC = √5,AC =√7-$ . Последовательность точек $On$ строится следующим образом: точка $O1$ — центр сферы, описанной около пирамиды $SABC$ , и для каждого натурального $n ≥2$ точка $On$ есть центр сферы, описанной около пирамиды $On−1ABC$ . Какую длину должно иметь ребро $SA$ , чтобы множество ${On}$ состояло ровно из двух различных точек?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Т.к. SA ⊥ (ABC), то угол ∠SAB=90⁰. По условию ∠SCB=90⁰. Это означает, что наши точки лежат на сфере, с диаметром SB. А на какой прямой лежат центры O₁, O₂, ...?

Подсказка 2

Правильно, на перпендикуляре к плоскости (ABC), проведенной в точке X- середине AB. Мы хотим, чтобы множество наших центров состояло всего из двух точек. Давайте тогда поймем, когда O₃ совпадает с кем-то из O₁, O₂.

Подсказка 3

Ясно, что с O₂ она совпадать не может. Т.к. O₁- середина SB, то и O₃- середина SB. Т.к. O₃ равноудалена от A, B, C и O₂, а O₂ равноудалена от A, B, C и O₁=O₃, то AO₃BO₂- ромб с углом 60°. Я думаю, что вы сможете закончить решение!

Показать ответ и решение

$PIC$

Применим теорему о трех перпендикулярах. В силу того, что $SA ⊥ (ABC )$ и $SC ⊥ BC$ , получим, что проекция $SC$ на плоскость $(ABC )$ перпендикулярна $BC$ , то есть $AC ⊥ BC.$

Заметим, что середина гипотенузы $AB$ - точка $X$ это центр описанной окружности прямоугольного треугольника $△ACB$ . Аналогично середина гипотенузы $SB$ - точка $Y$ - центр описанной окружности прямоугольного треугольника $△SAB$ . Тогда если провести перпендикуляр к плоскости $(ABC )$ в точке $X$ и перпендикуляр к плоскости $(SAB)$ в точке $Y$ , то центр описанной окружности $O1$ пирамиды $SABC$ - точка пересечения этих перпендикуляров. Но перпендикуляр к плоскости $(ABC )$ в точке $X$ совпадает с прямой $XY$ . То есть точка $O1$ и есть точка $Y$ .

При этом на прямой $XY$ (перпендикуляр к плоскости $(ABC )$ в точке $X$ ) будут лежать все $On$ в силу того, что $XY$ - ГМТ точек равноудаленных от $A,B,C.$

То есть точка $O2$ - центр треугольной пирамиды $O1ABC$ - опять-таки должна лежать на прямой $XY.$

$PIC$

Хотелось бы добиться того, чтобы $O3 = O1$ ( $O3 ⁄=O2$ по очевидным причинам). Но тогда $O3 = Y$ . То есть середина гипотенузы $△SAB$ равноудалена от точек $A,B,O2$ . Так же точка $O2$ равноудалена от точек $A,B,Y$ . Но тогда $AY BO2$ должен быть ромбом, при этом его диагональ $YO 2$ должна быть равна стороне. Понятно, что тогда $∠AY B = 120∘$ . Значит, что $∠SBA = 30∘$ , то есть $SA = tan30∘⋅AB = 1√-⋅√AC2-+-BC2 = √1√2-=2. 3 3$

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#79930

Точки $A,B$ и $C$ лежат на одной прямой. Отрезок $AB$ является диаметром первой окружности, а отрезок $BC$ — диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку $A,$ пересекает первую окружность в точке $D$ и касается второй окружности в точке $E,BD = 9$ , $BE = 12.$ Найдите радиусы окружностей.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие случаи надо рассмотреть в данной задаче?

Подсказка 2

Точки A, B и C могут иметь различные взаимные расположения.

Подсказка 3

Пусть A лежит между B и C. Что тогда ещё можно сказать о расположении A?

Подсказка 4

Точка А будет лежать внутри второй окружности.

Подсказка 5

В двух других случаях рассмотрите подобные треугольники и величины получившихся отрезков.

Показать ответ и решение

Возможны три случая расположения точек $A,B$ и $C$ на прямой.

1. Точка $A$ лежит между точками $B$ и С. Тогда $A$ находится внутри второй окружности и не существует прямой, проходящей через $A$ и касающейся второй окружности.

2. Точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$ .

$PIC$

Имеем $∘ ∠ADB = ∠BEC = ∠AEO2 = 90,$ и $∠DEB,$ как угол между касательной и хордой, равен $∠ECB.$ Треугольники ВЕС и $BDE$ подобны по двум углам, откуда следует, что

BC BE BE2 BE-= BD-⇒ 2R2 =BC = -BD-= 16⇒ R2 =8

Отрезки $BD$ и $EO2$ параллельны, и должно выполняться неравенство $BD <EO2,$ а в то же время $BD = 9$ и $EO2 = R2 =8,$ так что этот случай невозможен.

3. Точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ .

$PIC$

Дословно повторяя рассуждение из предыдущего случая, снова получаем $R2 = 8.$ Треугольники $ADB$ и $AEO2$ также подобны по двум углам, откуда следует, что

AB-= -DB-⇒ --2R1---= -9-⇒ -2R1--= 9 ⇒ R1 = 36 AO2 EO2 2R1 − R2 R2 2R1− 8 8

Ответ: 36 и 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#80431

Вычислите

∘ ∘---√--- log4log2 ... 16 ◟---◝4◜0--◞

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перезапишем этот логарифм как-нибудь проще. Вспомним, что корень числа а - это а в степени 1/2. А если мы 40 раз возводим число в 1/2 степень, то что получается в итоге?

Подсказка 2

Конечно, в показателе степени будет 1/2⁴⁰, или 2⁻⁴⁰. 16 также можно представить в виде степени двойки, и остаётся только все напрямую посчитать!

Показать ответ и решение

∘ ∘---√--- ( )−40 log4log2 ... 16= log4log2 242 = log4log224⋅2−40 = ◟---◝4◜0--◞

= log4(4⋅2−40)= log441− 20 = 1− 20= −19

Ответ:

$− 19$

Следующая подтема