Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .03 ПВГ 2011

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

ПВГ до 2010

ПВГ 2010

ПВГ 2011

ПВГ 2012

ПВГ 2013

ПВГ 2014

ПВГ 2015

ПВГ 2016

ПВГ 2017

ПВГ 2018

ПВГ 2019

ПВГ 2020

ПВГ 2021

ПВГ 2022

ПВГ 2023

ПВГ 2024

ПВГ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#33906

Решите уравнение

( )∘ -2-------- 3log|5x−3|2 ⋅log2|5x− 3|− x 5x − 9x+ 4= 0.

Источники: ПВГ-2011 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какой обычно самый первый шаг при решении уравнений, чтобы точно ничего не потерять?

Подсказка 2

Стоит записать и решить ОДЗ. Теперь самое время вспомнить, при каком условии произведение равно 0.

Подсказка 3

Первый множитель выглядит страшно, но посмотрите внимательно, может быть, у логарифмов есть какое-то свойство, которое очень и очень сильно упросит нам жизнь на ОДЗ?

Подсказка 4

Заметим одинаковые аргумент и основание, а чему тогда равно такое произведение логарифмов? Осталось только упростить, найти корни и записать ответ с учетом ОДЗ!

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| |5x − 3|> 0 { |5x − 3|⁄= 1 |( 2 5x − 9x +4 ≥0

На ОДЗ по формуле перехода для логарифмов уравнение эквивалентно совокупности

2 3− x= 0 или 5x − 9x+ 4= 0

Решение первого уравнения $x= 3$ удовлетворяет условиям ОДЗ, а из решений второго $x= 45,x= 1$ только один корень входит в ОДЗ.

Ответ:

${1;3}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#33909

Решите неравенство

∘----2--- 2 x − x + 2+ x > 4− 5|x− 2|.

Источники: ПВГ-2011 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз мы решаем неравенство, то что стоит записать первым шагом?

Подсказка 2

Да, решение чаще всего стоит начинать именно с ОДЗ. Кроме того, что можно сказать о модуле на ОДЗ?

Подсказка 3

С учетом ОДЗ модуль раскрывается однозначно. Все, что без корня также перенесем вправо. И теперь получилось обычное неравенство с корнем - какие случаи обычно стоит рассмотреть?

Подсказка 4

Разбиваем на случаи: правая часть ≥ 0 и правая часть <0. Может быть, можно как-то сразу упростить себе жизнь, если сразу что-то учесть?

Подсказка 5

Какой знак принимает правая часть на ОДЗ? И какое значение х стоит рассмотреть отдельно из-за этого?

Показать ответ и решение

ОДЗ: $− x2+x +2 ≥0 ⇐⇒ x∈ [− 1,2]$ , то есть мы знаем, что на ОДЗ $x− 2≤0$ .

Тогда раскроем модуль

∘------------ 2 − (x +1)(x − 2)=> 4+ 5x− 10− x = −(x− 2)(x− 3)

При $x< 2$ правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, так что неравенство выполнено. Если же $x= 2$ , то обе части равны нулю, что не подходит в силу строгого знака.

Ответ:

$[−1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#34656

Найдите число $ab,$ если известно, что число

2◟011..◝◜.2011◞a2011b2◟011..◝.◜2011◞ 101раз 101 paз

делится на $99.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нас спрашивают о делимости, значит, стоит подумать, а какие признаки или свойства делимости могут нам помочь.

Подсказка 2

99=9*11, значит, нужны свойства делимости на 9 и 11. Что нужно, чтобы их применить?

Подсказка 3

Нам нужны сумма цифр и знакочередующаяся сумма цифр. Можно разобраться с ними по очереди. Считать все это будет весьма неприятно, поэтому, может быть, можно сделать что-то, что максимально сократит вычисления?

Подсказка 4

Подумайте, может, какое-то действие будет повторяться сразу много раз, причем одинаково? Возможно, их можно как-то объединить между собой?

Подсказка 5

Если идти по порядку, нас много раз будет записано "2+0+1+1", значит, достаточно знать, сколько раз это будет сделано! Теперь все, что нам нужно — это подобрать такие a и b, при подстановке которых исходное число будет делиться на 9 и 11. Раз мы говорим о делимости, то, может, можно записать суммы как-то иначе?

Подсказка 6

Вспомним об арифметике остатков! Значит, можем найти, какой остаток будет давать сумма а и b при делении на 9.

Подсказка 7

Не забывайте, что а и b — это цифры, значит, какие значения может принимать их сумма?

Подсказка 8

Теперь сделаем все то же самое для 11, только на это раз с чередованием знаков — снова заметим некоторую закономерность и воспользуемся арифметикой остатков, но теперь сможем определить значение разности а и b.

Подсказка 9

Осталось перебрать варианты сочетания суммы и разности, не забыв, что вы ищете именно цифры.

Показать ответ и решение

Данное число должно делиться на $9,$ то есть иметь сумму цифр, кратную $9,$ и делиться на $11,$ то есть иметь знакочередующуюся сумму цифр, кратную $11.$

Сумма цифр числа равна

203⋅(2+ 0+1 +1)+ a+b ≡5⋅4+ a+ b≡ 2+ a+b (mod 9)

Значит, $a+ b≡7 (mod 9),$ то есть $a +b= 7$ или $a+ b=16,$ так как $a$ и $b$ — цифры.

Знакочередующаяся сумма равна

(2− 0+ 1− 1)+ (2 − 0+ 1− 1)+...+

+ (2 − 0+ 1− 1)+(a− 2+0 − 1+ 1− b)+ (2− 0 +1− 1)+...+(2− 0+ 1− 1)=

= 2⋅101+ (a− b− 2)+2⋅101≡ 2⋅2+(a− b− 2)+ 2⋅2≡ 6+ a− b (mod 11)

то есть $a− b≡ 5 (mod 11).$ Так как $a$ и $b$ — цифры, то $a− b=5$ или $a− b= −6.$ Из первого ограничения на $a$ и $b$ ( $a+ b= 7$ или $a+ b= 16$ ) мы знаем, что $a$ и $b$ или разной четности, или одной четности соответственно, а значит, $a− b= 5$ и $a+b =7$ или $a− b= −6$ и $a+ b= 16.$

Тогда

({ a+ b= 7 (a− b= 5

( {a+ b= 7 (2a= 12

( {a =6 (b =1

или

({a +b= 16 ( a − b= −6

( { a+b =16 ( 2a =10

( {a= 5 (b= 11

Но $b$ — цифра, значит, вторая система не имеет решений. Получили единственное решение: $a = 6,b= 1.$

Ответ:

$61$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#47041

Для детского сада закупили наборы конфет трех разных типов, потратив $2200$ рублей. Первый набор стоит $50$ рублей и содержит $25$ конфет. Второй набор стоит $180$ рублей и содержит $95$ конфет, третий набор стоит $150$ рублей и содержит $80$ конфет. Сколько каких наборов купили, если общее количество конфет в них максимально?

Источники: ПВГ 2011

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задача на максимизацию суммы, поэтому первое, что хочется сделать - как-то ее записать) Составим систему уравнению по количеству конфет и по тому, что нам нужно максимизировать

Подсказка 2

Немного преобразований и приходим к тому, что 5a + 18b + 15c = 220, 5a + 19b + 16c мы хотим максимизировать) Посмотрев внимательно на эти два выражения, можем заметить, что максимизировать достаточно лишь...что? Так же в условии следует попробовать найти какие-то варианты "замены" подарков, чтобы вручную как-то увеличивать количество конфет при той же цене.

Подсказка 3

Из подсказки 2 замечаем, что достаточно максимизировать b+c, а так же, что 3 подарка первого типа выгодно менять на подарок третьего типа. Значит, у нас нет трех подарков вида a. Остается лишь рассмотреть три оставшихся случая на a!

Показать ответ и решение

Пусть взяли $a,b,c$ наборов конфет каждого вида соответственно. Запишем уравнение на общую сумму денег и условие про максимальное количество конфет:

{ 50a +180b+150c= 2200 { 5a+ 18b+15c= 220 ⇐⇒ 25a +95b+ 80c→ max 5a+ 19b+16c→ max

Второе эквивалентно $b+c → max.$ Заметим, что три подарка первого вида можно за ту же стоимость заметить на один подарок третьего вида, где конфет будет больше, потому $a< 3.$ Рассмотрим случаи

$a =2.$ Получаем уравнение $18b+15c= 210 ⇐⇒ 6b+ 5c =70,$ откуда $b$ кратно пяти, то есть $b∈{0,5,10}.$ Имеем решения $(0,14),(5,8),(10,2).$ Максимум достигается на первом, потому получаем набор $(2,0,14).$
$a =1.$ Имеем уравнение $18b+15c= 215,$ у которого нет решений в целых числах, потому что $220$ не делится на $3$ , а левая часть делится на $3$ .
$a =0.$ Аналогично нет решений для $18b+ 15c=220.$

Ответ:

$(2,0,14)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#64353

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма её членов, взятых через один, начиная со второго, равна $2,$ а сумма её членов, взятых через один, начиная с третьего, равна $1.$

Источники: ПВГ-2011, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, у нас с вами сложное условие, давайте записывать его в виде равенств. Запишите условия через b и q. Тогда первое условие говорит, что bq/(1-q²) = 2

Подсказка 2

А второе условие - bq²/(1-q²) = 1, соедините эти два равенства и найдите q!

Показать ответ и решение

Пусть это прогрессия $b =b,b = bq,b =bq2,.... 1 2 3$ Тогда из первого условия получаем

3 5 2 4 --1-- bq+ bq + bq +...=bq⋅(1+q + q +...)= bq⋅1− q2 = 2

Аналогично из второго условия

bq2+ bq4+ ...= bq2 ⋅-1-2-=1 = 1⋅2= 1⋅bq⋅--1-2 =⇒ q = 1 1− q 2 2 1− q 2

b= 2(1−-q2)= 4⋅ 3 =3, q 4

в итоге получаем

2 --b- b+bq+ bq + ...= 1− q = 6.

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#67701

Решите неравенство

∘ ---2---- 2 x− x +2+ x > 4− 5|x− 2|

Источники: ПВГ-2011, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прежде чем раскрывать модуль, давайте попробуем сначала разложить квадратный трёхчлен на множители. Что можно сказать про модуль, когда мы запишем ограничение на корень?

Подсказка 2

Верно, после этого модуль однозначно раскрывается и справа, и слева у нас получаются квадратные трёхчлены, но слева под корнем. В квадрат мы возводить конечно не будем обе части, потому что появятся четвёртые степени. Давайте же снова разложим на множители квадратные трёхчлены. Что тогда можно сказать про знак второй части, учитывая ограничение?

Подсказка 3

Да, правая часть будет отрицательна там, а корень у нас всегда положительный, и, следовательно, больше нуля. Но при x=2 у нас получается равенство, а знак строгий. То есть x=2 не включаем в ответ.

Показать ответ и решение

Из ОДЗ получим $− x2+x +2 ≥0 ⇐⇒ x∈ [− 1,2]$ . Отсюда $|x− 2|= 2− x$ , подставим

∘ ----2--- 2 x− x +2 >− x +5x− 6

Нетрудно видеть, что $x =2$ является корнем для обеих частей неравенства, поэтому в этой точке достигается равенство. Также заметим, что при $x∈[−1,2)$ левая часть неотрицательна, при этом правая часть отрицательна, поскольку $− x2+ 5x − 6 =(2− x)(x− 3)$ — первая скобка будет положительна, а вторая отрицательна на этом промежутке. Значит, на $[−1,2)$ неравенство выполнено, а в $x= 2$ нет.

Ответ:

$[−1;2)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#69439

Рассматриваются плоские сечения правильной пирамиды $SABCD$ , параллельные боковому ребру $SB$ и диагонали основания $AC$ , в которые можно вписать окружность. Какие значения может принимать радиус этих окружностей, если $AC = 1$ , $2 cos∠SBD = 3?$

Источники: ПВГ-2010, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче условие может выглядеть очнеь страшно, поэтому первым делом нужно нарисовать аккуратный чертеж, чтобы понять, с какими объектами мы работаем. Теперь давайте подумаем, нам дана правильная пирамида (какой вывод можно сделать про ее основание?), мы знаем сторону и один из углов. Попробуем найти длины полезных отрезков в этой пирамиде. Например, с помощью косинуса SBD и длины OB (O - центр основания) можно найти SB - боковое ребро пирамиды!

Подсказка 2

Итак, вспомним, что это можно сделать, опустив высоту из S и заметив, что SOB - прямоугольный треугольник с известным нам катетом и углом. Итак, мы нашли длину боковой стороны, а теперь подумаем про сечения. Если вы нарисовали чертеж - подумайте, какие вообще варианты сечений у нас могут получаться? (вряд ли сечением пирамиды будет двенадцатиугольник, например). Затем попробуем рассмотреть каждый вид сечений отдельно.

Подсказка 3

Верно! У нас могут быть сечения всего двух видов - пятиугольные и треугольные! Мы знаем, что наше сечение пересекает плоскость основания по прямой A₁C₁, параллельной прямой AC. Обозначим за O- центр ABCD. Какое будет сечение, если прямая A₁C₁ лежит внутри треугольника ADC?

Подсказка 4

Верно! Это будет треугольник. Пускай S₁- его вершина, лежащая на ребре SD, а x- длина A₁C₁. Попробуйте найти S₁B₁ (выразить через х), где B₁- точка пересечения A₁C₁ и BD, если вы знаете, что S₁B₁ параллельна SB...

Подсказка 5

Площадь сечения должно получиться S₁B₁⋅A₁C₁/2=3x²/16. S₁C₁ можно найти из теоремы Пифагора. Воспользуйтесь тем, что r=S/p для оценки радиуса. А какое сечение будет, если A₁C₁ лежит внутри треугольника ACB?

Подсказка 6

Домик). Переобозначим A₁C₁ за A₂C₂=x, A₃- точка пересечения сечения и AS, C₃- сечения и SC, Q- сечения и SD, B₃- сечения и BD. Из того, что A₂A₃ и C₂C₃ параллельны SB и A₂C₂ и A₃C₃ параллельны AC, можно получить, что A₂A₃C₃C₂- параллелограмм, а т.к. SB перпендикулярен AC- прямоугольник. Попробуйте найти отрезки A₂A₃ и QA₃...

Подсказка 7

Если в наш пятиугольник можно вписать окружность, то будет верна формула S=pr. При этом мы знаем, что r=x/2, ведь наша окружность касается параллельных прямых A₂A₃ и C₂C₃, расстояние между которыми равно x. Осталось только посчитать площадь и полупериметр, и решить уравнение S=px/2

Показать ответ и решение

Так как пирамида правильная, то в основании лежит квадрат с диагоналями $AC =BD = 1$ , пусть $O$ — его центр. Тогда $SO$ является высотой пирамиды, так что из условия про косинус находим

2 OB 0,5 3 =cos∠SBD = SB-= SB-

3 SB = 4

Плоскость сечения параллельна $SB$ , поэтому содержит параллельную $SB$ прямую из плоскости $SBD$ . Поэтому сечение может быть двух видов:

$PIC$

1 случай) треугольник $A1S1C1$ , где $A1C1$ лежит внутри $△ADC$ .

Тогда $0<A1C1 < 1$ (строго меньше единицы, потому что сечение параллельно $AC$ , содержать $AC$ не может). Пусть $x A1C1 =x =⇒ A1B1 = B1C1 = 2$ .

∘ x ∠A1DB1 =∠DA1B1 = 45 =⇒ DB1 = 2

△DS1B1 ∼ △DSB =⇒ S1B1= DB1- =⇒ SB DB

=⇒ S1B1 = x2- =⇒ S1B1 = 3x 34 1 8

Теперь найдём, чему равняется $O1B1$ (то есть радиус вписанной окружности)

$PIC$

∘ -------- x2 9x2 5x S1C1 = 4-+ 64-= 8-

sin(∠O1S1H)= O1H- =-3xr-- = O1S1 8 − r

x ( ) =-25x- =⇒ r = x =⇒ r ∈ 0;1 8 6 6

2 случай) Пятиугольное сечение плоскостью $A C C 2 2 3$ , где $A C 22$ лежит внутри $△ABC$ . Заметим, что $A C || A C 2 2 3 3$ и $A C = A C , 2 2 3 3$ поэтому $A A || C C 2 3 3 2$ и $A A = C C . 2 3 3 2$

Пусть $BB3- x= BO .$

Тогда из подобий

△SOB ∼ △S2OB2

△SAC ∼ △SA3C3

получаем

A3C3 SS2 BB3- A2C2 x= AC = SO = BO = AC .

Значит,

S2B3 =1 − x. Тогда S2B3 = SB ⋅(1− x)= 3(1-− x) SB 4

Также имеем

BB3-= BB3-= x BD 2BO 2

Откуда

QB3- DB3- x 3(2−-x) SB = BD = 1− 2 =⇒ QB3 = 8

Так как

A2C2 -AC- =x =⇒ A2C2 = x

3(2-− x) 3(1− x) 3x- QS2 = 8 − 4 = 8

Тогда по теореме Пифагора

5x QC3 =-8

$PIC$

Воспользуемся формулой $S =pr.$ Сразу заметим, что $r= x2,$ так как центр вписанной окружности точно лежит на $QB3,$ и она должна касаться параллельных прямых, между которыми расстояние $x.$

2 2 S = SA3C3C2A2 + SA3QC3 = 12x(1−-x)+ 3x-= 12x−-9x 16 16 16

p= x + 3(1−-x)+ 5x= 6x+-12 2 4 8 16

Тогда

S- 12x-− 9x2 x 1 x 1 r= p = 6x +12 = 2 =⇒ x = 2 =⇒ r = 2 = 4

Ответ:

$(0;1 )∪{ 1} 6 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#72979

В сферу радиуса $√3-$ вписан параллелепипед, объём которого равен $8.$ Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Источники: ПВГ 2011

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас в сферу вписан параллелепипед. Тогда, на самом деле, он является прямоугольным. А где лежит центр нашей сферы?

Подсказка 2

Конечно, на главной диагонали d параллелепипеда! Давайте обозначим его ребра за a, b и c. Тогда с одной стороны, d²=a²+b²+c², с другой стороны, d²=12. Т.к. по условию объем равен 8, то abc=8. Хотелось бы найти a,b,c, но мы имеем всего 2 уравнения. Может, можно как-то схитрить?

Подсказка 3

Мы видим, что выражения a²+b²+c²=12 и abc=8 можно связать через неравенства о средних: 12=a²+b²+c²≥3(abc)^(2/3)=12. Подумайте, когда такое может получится, и завершите решение!

Показать ответ и решение

$PIC$

Поскольку около параллелепипеда описана сфера, этот параллелепипед — прямоугольный. Обозначим его рёбра, исходящие из одной вершины, через $a$ , $b$ и $c$ . Диагонали параллелепипеда равны диаметру описанной сферы, а объём равен $abc$ . Из условия задачи следует, что $a2+ b2+c2 = 12,abc= 8$ .

По неравенству Коши:

12= a2 +b2+ c2 ≥3√3a2b2c2-=3√382-= 12

Так как равенство достигается только в случае $a2 =b2 = c2$ , то $a= b= c= 2$ и площадь поверхности: $6a2 = 24.$

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#74088

Имеются $12$ карандашей попарно различной длины. Сколькими способами можно уложить их в коробку в два слоя по шесть карандашей так, чтобы в каждом слое карандаши были упорядочены по возрастанию длины (слева направо), а каждый карандаш верхнего слоя лежал строго над карандашом нижнего слоя и был короче его?

Источники: ПВГ 2011

Подсказки к задаче

1 подсказка

Непонятно, как работать с карандашами и коробкой. Попробуйте перевести задачу на математический язык.

2 подсказка

Давайте вместо карандашей рассмотрим числа, а вместо коробки - таблицу 2×6. Попробуйте теперь сформулировать эту задачу в новых терминах. Что вам напоминает эта формулировка?

3 подсказка

Если она ничего вам не напоминает, то вам стоит почитать про числа Каталана.

Показать ответ и решение

Заметим, что такая укладка карандашей соответствует таблице $2×6,$ куда мы ставим числа от $1$ до $12$ так, чтобы во всех столбцах и строках числа шли по возрастанию (таблица — это коробка, число — это номер карандаша по возрастанию длины: $1$ — самый короткий, $12$ — самый длинный). Данная формулировка задачи является одним из определений чисел Каталана и очень легко сопоставляется правильной скобочной последовательности: число — номер скобки, положение числа (в верхней строке или в нижней) — открытая это скобка или закрытая, соответственно.

Ответ:

$132$

Предыдущая подтема

Следующая подтема