Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .04 ПВГ 2012

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

ПВГ до 2010

ПВГ 2010

ПВГ 2011

ПВГ 2012

ПВГ 2013

ПВГ 2014

ПВГ 2015

ПВГ 2016

ПВГ 2017

ПВГ 2018

ПВГ 2019

ПВГ 2020

ПВГ 2021

ПВГ 2022

ПВГ 2023

ПВГ 2024

ПВГ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#34647

В школе было три урока. Но только $4$ школьника были на всех уроках. Каждый из остальных «учеников» присутствовал только на двух уроках, а один из уроков прогулял. На математике в классе было $17$ школьников, на физике — $18,$ на русском — $19.$ Сколько школьников присутствовало и на математике, и на физике? (не имеет значения, удостоили ли они своим посещением урок русского языка)

Источники: ПВГ-2012, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Круги Эйлера! Когда речь о каких-то множествах и их пересечении, именно круги Эйлера помогут наглядно понять условие и не запутаться! Нарисуйте три попарно пересекающихся круга: каждый будет отвечать за свой предмет, а их пересечение показывает количество школьников, присутствовавших на нескольких предметах. Как можно отразить информацию из первых предложений на них?

Подсказка 2

В пересечении всех трёх – 4 школьника, а вот изолированно на каждом круге – 0 школьников, то есть работаем мы только с областями на пересечении. Количества учеников в классе же показывает нам сумму чисел в трёх областях, а узнать нужно нам сумму чисел в двух. Попробуйте сначала определить общее количество учеников, потом вычесть из него подходящую тройку и получить количество учеников в любой удобной Вам области!

Показать ответ и решение

Заметим, что на математике, физике и русском было $13,14$ и $15$ «учеников» (прогульщиков) соответственно. Суммарно получается $42,$ но каждый «ученик» здесь посчитан дважды (потому что каждый из них посетил два предмета), то есть на самом деле их $21.$ А всего ребят в классе тогда $25.$ Получается, что на русский язык не пришли $6$ человек, зато они присутствовали и на физике, и на математике. Добавляя настоящих учеников (которым удалось не прогулять ни один предмет), получаем ответ.

Ответ: 10

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#34757

Решите уравнение

| 22 2 2 | |xy| |1− x− y − xy|+ |2x y − 2x y− 2xy + 2xy− 9|+ xy = −1.

Источники: ПВГ-2012, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева модули, а справа (-1) –> намёк на оценку! Вот только одно слагаемое в левой части выбивается! Однако взгляните на него повнимательнее: может мы точно знаем, какие оно может принимать значения?

Подсказка 2

Если это выражение равно 1, то оценка даст нам явное противоречие, а если (-1), то красивую системку! Только не забудьте, что эти значения наше выражение принимает при определённых условиях – прикрепите их к системе. Остаётся решить системку! Возможно, уравнения могут вас пугать, но вот как работать с выражением 1-x-y-xy вы должны помнить ещё с вебов по тождественным преобразованиям!

Подсказка 3

Раскладываем на множители и замечаем, что сами x и y выразить трудновато, но зато легко можно найти значение xy. А зная его, и значение x+y легко ищется! А уже система из суммы и произведения легко решается либо обычной подстановкой, либо сведением к квадратному уравнению (вспомните теорему Виета)

Показать ответ и решение

Заметим, что $|xy|= ±1 xy$ , откуда левая часть не меньше $− 1$ , равенство достигается тогда и только тогда, когда

(| 1 − x − y− xy = 0 (| (x− 1)(y− 1)=2xy { 2x2y2− 2x2y− 2xy2+2xy− 9= 0 ⇐⇒ { 2xy(x− 1)(y − 1)= 9 |( |( xy <0 xy <0

Из первых двух уравнений следует, что $(2xy)2 =9$ , а с учётом третьего неравенства получаем $xy = − 3 2$ . Для решения системы осталось подставить это в первое уравнение, потому что второе и третье условия мы уже учли

{ 1− x− y+ 3= 0 { x+ y = 5 xy = − 3 2 ⇐⇒ xy = − 32 2 2

По обратной теореме Виета если решения системы есть, то числа $x,y$ будут корнями уравнения $t2− 52t− 32 = 0 ⇐⇒ t=− 12 или t=3$ . Осталось не забыть, что система симметрична $(x;y)<− > (y;x)$ , и записать обе пары в ответ.

Ответ:

$(3;− 1),(− 1;3) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#39888

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых графики функций

2x2−4x+3 3 x2− 2x+3 f(x)= 3 + a и g(x)= a⋅3 − 5

имеют ровно три общие точки.

Источники: ПВГ-2012, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если графики двух функций имеют три общие точки, то как можно по-другому переписать это условие?

Подсказка 2

Да, можно записать равенство двух функций, причем полученное уравнение должно иметь ровно три корня. Какой обычно самый распространенный шаг при решении показательных уравнений?

Подсказка 3

Стоит сделать замену t. И что еще можно сделать, чтобы не пришлось думать об обратной замене?

Подсказка 4

Стоит проанализировать замену — сколько будет соответствовать иксов каждому из ее значений при обратной замене. Тогда какие значения t нам подойдут?

Подсказка 5

Нужно, чтобы вышло нечётное количество х. На какое t замены стоит обратить внимание?

Подсказка 6

Поскольку только при одном значении t у нас будет ровно один х, то нам обязательно нужно, чтобы это t было корнем полученного после замены квадратного уравнения. И нужно ещё одно t, которое даст ещё два корня.

Подсказка 7

Для замены t=3^(x-1)^2 нам подойдут t1=1 и t2>1. Осталось проверить, при каких а t1=1 будет корнем и выбрать из них те, при которых второй корень будет >1.

Показать ответ и решение

Перепишем равенство функций в виде

2(x−1)2+1 3 (x− 1)2+2 3 +a =a ⋅3 − 5

Или при $t= 3(x−1)2 ≥ 1$

3t2− 9at+ a3+ 5= 0

Это квадратное уравнение относительно $t$ должно иметь решение $t= 1$ (потому что иначе для решения $t1 > 1$ $log3t1 =(x− 1)2 > 0$ и относительно $x$ будет два решения, то есть если $t= 1$ не корень, то решений чётное количество). Второе решение же должно быть строго больше одного (отсюда как раз и получатся ещё два решения). Итак, подставим $x =1 ⇐ ⇒ t= 1$ :

√-- 3− 9a +a3+ 5= 0 ⇐⇒ (a − 1)(a2+ a− 8) =0 ⇐ ⇒ a =1,a= −1±--33- 2

При таких $a$ решением будет $t = 1 1$ . Чтобы второй корень $t 2$ был больше единицы, необходимо и достаточно $9a =t + t >2 ⇐⇒ a> 2 3 1 2 3$ , поэтому остаются только $a= 1,a = −1+√33- 2$ .

Ответ:

$1;−1+√33 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#45072

Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ квадрата $ABCD$ , пересекает прямые $AD$ и $AC$ в точках $E$ и $F$ , отличных от точки $A$ . Длина ортогональной проекции отрезка $EF$ на прямую $AC$ равна $1.$ Какой при этих условиях может быть длина стороны квадрата?

Источники: ПВГ-2012, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, обозначим основание перпендикуляра из E на AF за H. То есть в задаче просят выразить сторону квадрата через FH. Для этого попробуем найти подобные треугольники, так как у нас есть углы по 90 и равные от впсианности. Итак, как всегда для начала воспользуемся вписанностью четырехугольника ABFE, отметим его равные углы. Заметим, что AEB=AFB

Подсказка 2!

Так, теперь попробуем что-то понять про угол HEF, он равен 90 - AFE... Как бы теперь доказать, что он равен одному из углов предыдущего пункта?

Подсказка 3!

А теперь попробуйте найти подобные треугольники, которые помогут ответить на вопрос задачи)

Показать ответ и решение

$PIC$

Опустим из точки $E$ на прямую $AF$ : $EH ⊥AF,H ∈ AF$ . По условию дано $HF =1.$

Также давайте зафиксируем условие про окружность, проходящую через $E$ и $F$ , через равенство вписанных углов: $∠AEB =∠AF B =α$ , и через условие про сумму противоположных углов:

BFE = 180∘− ∠BAE = 90∘ =⇒ ∠HF E = 90 − α =⇒ HEF = α

Из этого наблюдения получаем подобие по равному острому углу прямоугольных треугольников: $△AEB ∼△HEF.$

Осталось найти коэффициент подобия:

√ - √ - HAFB-= EAHE-= sin∠HAE =sin45∘ = 1√-- =⇒ AB = 2HF = 2 2

Ответ:

$√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#64566

Высота правильной треугольной пирамиды, проведенная из вершины основания к противоположной боковой грани, равна 4. Какие значения может принимать площадь полной поверхности такой пирамиды?

Источники: ПВГ-2012, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Правильная фигура – это всегда хорошо, так что нарисуйте рисуночек, отметьте равные отрезки и подумайте, можно ли все стороны пирамиды выразить через данную нам высоту? Возможно стоит ввести еще какую-то переменную?

Подсказка 2

Попробуйте обозначить какой-нибудь угол на рисунке переменной и выразить площадь поверхности через высоту и этот угол. Результат можно записать как функцию одной переменной, тогда Вам останется просто найти область значений этой функции.

Показать ответ и решение

Пусть $AE = 4$ высота из вершины $A$ на грань $BCD$ , а $DH$ из вершины $D$ на грань $ABC$ . Так как тетраэдр правильный, то $AH$ и $DE$ пересекаются на стороне $BC$ в середине $F$ .

$PIC$

Пусть $∠AFD = α$ . Тогда

AF = -AE- sinα

Поскольку $ABC$ равносторонний, то $BC = 2A√F = √-8-- 3 3sinα$ .

Так как $AH = 2HF$ , то

DF = -HF-= -AF-- =----4---- cosα 3cosα 3 sinαcosα

-----16----- SCBD = 3√3cosαsin2α

---16-- SABC =√3 sin2α

16 16 16 SВсего = √3-sin2α + √3-cosαsin2α-= √3cosαsin2α-(1+ cosα) =

= √------16------(1+cosα)= √-----16------ 3cosα(1− cos2α) 3cosα(1 − cosα)

Функция $f(α)= cosα(1− cosα )$ достигает максимума при $cosα = 1 2$ и может быть бесконечно близко к 0, поэтому площадь может быть в интервале $64√3 [ 3 ,+∞)$ .

Ответ:

$[64√3,+∞ ) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#64567

Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, равен $R$ . Найдите величину двугранного угла при боковом ребре этой пирамиды, при котором максимален объём другой пирамиды, вершинами которой служат центр вписанной в исходную пирамиду сферы и точки касания этой сферы с боковыми гранями исходной пирамиды.

Источники: ПВГ-2012, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала хочется понять, что хорошего мы можем сказать о маленькой пирамидке?

Подсказка 2

Она правильная! А как должны соотноситься между собой длины стороны основания и боковой стороны, чтобы объем правильной пирамиды был максимален?

Подсказка 3

Если а – сторона основания, а b – длина боковой стороны, мы без проблем можем записать выражение для объема пирамиды, рассмотреть это как функцию от а и через производную найти максимум! Какой в этом случае будет угол при вершине маленькой пирамиды? А чему равен искомый угол?

Показать ответ и решение

Пусть у некоторой правильной пирамиды $XY ZT$ с основанием $XY Z$ известно боковое ребро $b.$ Давайте посчитаем, при какой длине стороны основания $a,$ пирамида будет обладать наибольшим объемом.

a2√3 SXYZ = -4--

Пусть $M$ — центр основания $XYZ$

2 TM2 = XT2 − XM2 =b2− a- 3

∘ ------ ∘-------- 1 2 a2- a2√3 √3- 2 4 a6 V = 3 ⋅ b − 3 ⋅ 4 = 12 b a − 3

Теперь $V 2$ это функция от $a.$ Возьмем производную по $a.$ Она зануляется при $√ - a= b 2$ и в этой точке производная меняет свой знак с + на -. Значит, это точка максимума и объем максимальный при $√ - a= b 2$ .

Вернёмся к задаче. Пирамида, вершинами которой служат точки касания и центр сферы, является правильной треугольной пирамидой с ребром $R$ . Значит, чтобы объем был максимальным, нужно добиться того, чтобы сторона ее основания была $√ - R 2$ .

Пусть исходная пирамида $ABCD$ с основанием $ABC.$ $O$ — центр вписанной сферы. $N,K,T$ точки касания сферы с плоскостями $ABD$ , $BCD$ , $CAD$ соответственно.

Из точек $K$ и $T$ проведем перпендикуляры к $DC$ , в силу симметрии они попадут в одну точку $E$ .

$PIC$

По доказанному ранее $KT =R √2$ и при этом $OK = OT = R$ . Значит, $∠KOT = 90∘$ , но тогда угол $KET$ прямой, а его нам и нужно было найти.

Ответ:

$90∘$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#71243

Найдите суммарную длину отрезков, составляющих решение неравенства

|2sinx+ 3cosx|+ |sinx− 3cosx|≤ 3sinx

на отрезке $[0;4π].$

Источники: ПВГ-2012, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обратим свое внимание на то, что 3sin(x) ≥ какой-то положительной величины. Значит, мы можем сделать вывод о том, что sin(x) > 0. Обратите внимание на коэффициенты и подумайте, что хочется сделать с неравенством.

Подсказка 2

Давайте разделим правую и левую часть неравенства на 3sin(x). Тогда получим |2/3+ctg(x)|+|1/3-ctg(x)| ≤ 1. Воспользуйтесь модулями по определению. Какие значения может принимать котангенс в таком случае?

Подсказка 3

Рассмотрим модули как расстояния от ctg(x) до -2/3 и до 1/3. Сумма таких расстояний может быть <=1 только, если котангенс принимает значение из промежутка [-2/3; 1/3]. Осталось только найти какую часть тригонометрической окружности занимает котангенс с такими значениями(не забудьте про условие, что sin(x) ≥ 0)

Показать ответ и решение

Левая часть неравенства неотрицательна, поэтому и $sinx ≥0.$ Можно считать, что $sinx > 0$ , поскольку мы ищем только границы ограничений. Поделим неравенство на $3sinx$

||2 || ||1 || ||3 +ctg x||+ ||3 − ctgx||≤ 1

В первой скобке мы считаем расстояние от $ctgx$ до числа $− 23$ , а во второй — до $13$ . Когда же сумма этих расстояний не больше единицы? Нетрудно видеть, что при $ctg x∈[− 23,13] ⇐⇒ x∈ [arcctg 13 + 2πn,π − arcctg 23 + 2πn]$ (не забываем про условие $sinx≥ 0$ ). Мы рассматриваем два полноценных круга на тригонометрической окружности $[0,4π]$ , суммарная длина решений

( ) ( ( )) 2⋅ π− arcctg 2− arcctg 1 = 2⋅ π − arcctg − 7 = 2arcctg 7 3 3 9 9

Ответ:

$2arcctg 7 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#73117

Найдите все положительные значения параметра $a,$ при которых среди чисел последовательности

2 ----10---- xn = −n + 10n+22+ |5n− 31|+ a, n= 1,2,...

есть ровно два максимальных элемента.

Источники: ПВГ 2012

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На первый взгляд сложно сказать что-то определённое, но нас интересуют максимумы. Если разбить формулу на 2 части: с параметром и без, то у нас получатся парабола и обратная функция. Что можно сказать про их максимумы по отдельности?

Подсказка 2

Оказывается, вершина параболы в n=5, а модуль в функции от параметра принимает минимальное значение в n=31/5 (число тем больше, чем меньше знаменатель). Точки максимума близки друг к другу, что это даёт?

Подсказка 3

Значит, максимум всей функции лежит где-то на отрезке между 5 и 31/5. (Поскольку за пределами этого отрезка обе функции имеют одинаковую монотонность). При этом значение при n=5 больше, чем при n=7. Если у последовательности 2 точки максимума, то это обязательно n=5 и n=6. Осталось только приравнять их между собой.

Показать ответ и решение

Рассмотрим функции $f(x)= −x2+ 10x+ 22$ и $g(x)= --10---. |5x−31|+a$ Функция $f$ возрастает на промежутке $(− ∞;5)$ и убывает на промежутке $(5;+∞ ),$ а фунция $g$ при всех значениях параметра $a$ возрастает на промежутке $31 (−∞; 5 )$ и убывает на промежутке $31 (5 ;+ ∞)$ (при этом $31 31 f( 5 + x)= f( 5 − x)$ ).

Следовательно, максимальными членами последовательности могут быть $10- x5 = 3+ 6+a$ и $10- x6 = 2+ 1+a.$ Так как последовательность имеет два максимальных члена, получаем равенство $-10- -10- 2 3+ 6+a = 2+ 1+a ⇒ a + 7a− 44 =0 ⇒ a= −11$ или $a =4.$

Ответ:

$a =4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#80605

В окружности диаметр $AB$ и хорда $P Q$ пересекаются в точке $C$ под прямым углом. Найдите длину биссектрис треугольника $APQ,$ если $PC = 5$ , $AC :CB = 8.$

Источники: ПВГ 2012

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По сути, всё, что у нас сейчас есть на картинке — это два прямоугольных подобных треугольника PAC и QCB, у которых известная одна сторона, а также есть равенство из того, что это пересекающиеся хорды в окружности. Вы скажете, что это одно и тоже, но плюс в том, что у нас ещё появляется отношение AP к QB, которые, в свою очередь, удачно выражаются через стороны треугольника, хорды ведь пересекаются под прямым углом. Попробуйте применить рассуждения выше к тому, чтобы выразить все отрезки через некоторый в этой задаче (мы же поняли, что она счётная на подобия, поскольку у нас в условии есть только окружность и хорды).

Подсказка 2

Удобным здесь будет взять за х отрезок BC, поскольку именно он меньше в 8 раз отрезка AC. Тогда, чтобы выразить все отрезки хорд, остается лишь записать равенство на произведение отрезков хорд (или, говоря умными словами, расписать степень точки C относительно нашей окружности).

Подсказка 3

В силу наличия отношения уже указанных сторон, связанного с подобием, у нас есть равенство на х, откуда он находится. Значит, мы нашли все отрезки хорд и картинка фиксирована. Значит, мы можем найти все отрезки треугольника из условия. Остается только вспомнить формулу биссектрисы и факт про отношения на которые разбивает биссектриса сторону, и задача решена!

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим $BC = x,$ тогда $AC = 8x$ и из $△AP B$ получаем, что $8x2 = 25⇒ x = 5√8.$ Поскольку $△AP Q$ равнобедренный, то $AC −$ биссектриса угла $A$ и $√- AC =10 2.$ По теореме Пифагора $√-------- AP = 25+ 25⋅8 =15.$ Пусть биссектриса угла $AP Q$ пересекает $AQ$ в точке $S.$ Taк как $PQ =10,$ то по свойству биссектрисы получаем: $√- AS =9,SQ =6.cos∠CAP = 38⇒$ $cos∠QAP = 289 − 1= 79.$ Из $△PAS$ по теореме косинусов получаем, что $PS2 = 225 +81− 2⋅15⋅9⋅ 79 = 96$ $√- ⇒ PS = 4 6$

Ответ:

$10√2,4√6,4√6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#98295

Решите неравенство:

( 2 ) 2arcsin(x+ 1)+arccos 3x +6x+ 2 < 0.

Источники: ПВГ 2012

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Арксинус и арккосинус — сами по себе не самые приятные в работе вещи, так у них еще и аргументы не самые стандартные. Сумму точно разглядывать не стоит — что можно сделать?

Подсказка 2

Как минимум, можно перенести, например, арксинус, вправо, чтобы сравнивать не страшную сумму с нулем, а два страшных выражения друг с другом. Может быть, можно хотя бы у одного из выражений что-то сделать, чтобы вышло получить более простое для анализа выражение?

Подсказка 3

Почему бы не сделать замену t=x+1? Тогда и первый, и второй аргументы будут выглядеть значительно проще, да и судить об их значениях будет приятнее. Какие значения может принимать t?

Подсказка 4

Есть ли какие-то значения t, при которых даже думать не нужно — решений просто 100% не будет?

Подсказка 5

Полезно вспомнить, какие значения могут принимать арксинус и арккосинус. Есть ли значения t, при которых значения арксинуса и арккосинуса однозначно лежат в разных частых окружности, а значит. и можно сразу сделать вывод о том, походят они или нет?

Подсказка 6

Теперь осталось проанализировать неотрицательные t. Какие значения принимают при них арксинус и арккосинус?

Подсказка 7

Вышел промежуток от 0 до пи. Как на нем ведут себя синус и косинус?

Подсказка 8

Синус как возрастает, так и убывает, а вот косинус — только убывает. Тогда может быть, мы можем как-то переделать наше неравенство так, чтобы получилось избавиться от арксинуса или арккосинуса?

Подсказка 9

Так как только косинус на нужном промежутке ведет себе однозначно, то давайте найдем косинусы от обеих частей неравенства! Если с левой частью все понятно, то как можно преобразовать правую часть?

Подсказка 10

Если представить arcsin(t) = p, то можно найти, чему равен чему равен cos(-2p). Осталось решить полученное неравенство и не забыть об ограничениях на аргументы аркфункций.

Показать ответ и решение

Делаем замену $t= x+ 1$ , переносим $2arcsint$ :

( 2 ) arccos 3t − 1 <− 2arcsint

При положительных $t$ , принадлежащих ОДЗ, неравенство неверно (слева неотрицательное число, справа — отрицательное).

При неположительных $t$ , принадлежащих ОДЗ, обе части лежат в отрезке $[0;π]$ , где $cos$ убывает. Соответственно, неравенство на множестве неположительных $t$ , с учетом ограничений на ОДЗ, имеет вид