Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .02 ПВГ 2010

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

ПВГ до 2010

ПВГ 2010

ПВГ 2011

ПВГ 2012

ПВГ 2013

ПВГ 2014

ПВГ 2015

ПВГ 2016

ПВГ 2017

ПВГ 2018

ПВГ 2019

ПВГ 2020

ПВГ 2021

ПВГ 2022

ПВГ 2023

ПВГ 2024

ПВГ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#37481

После вырубки нескольких деревьев в парке оказалось, что число оставшихся деревьев равно числу процентов, на которое число деревьев в парке уменьшилось за время вырубки. Какое наименьшее число деревьев могло остаться в парке?

Источники: ПВГ-2010, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) У нас есть несколько величин, которые друг с другом связаны, что-то такое было, может быть, нужно использовать уравнение? Обозначим процент вырубленных деревьев за х, а изначально пусть их было n. Тогда сколько осталось вырубленных деревьев?

Подсказка 2!

2) Так-так-так, уравнение нашли, осталось только решить - половина задачи сделана. Домножим уравнение на 100, чтобы было легче, а теперь посмотрим, 100х должно делиться на 100-х. Как бы использовать это, чтобы получить оценку на х...

Подсказка 3!

3) Верно! Нужно написать выражение, чтобы х сократился. Например, 100(100-х) делится на 100х. Тогда мы знаем, что еще делится на х. Попробуем вычислить отсюда минимальный х, а там и до n недалеко..

Показать ответ и решение

Пусть вырублено $x%$ деревьев, а изначально их было $n$ . Тогда осталось $n ⋅(1− -x-)= x 100$ деревьев, то есть $n⋅(100− x)= 100x$ . Левая часть делится на $100− x$ , значит, правая часть $100x$ делится на $100− x$ , следовательно, сумма правой части и $100$ левых частей, то есть $100⋅(100− x)+100x= 10000$ тоже делится на $100− x$ . Итак, $4 4 10000= 2 ⋅5$ кратно $100− x$ . Легко видеть, что минимальное $x >0$ равно $20$ , поскольку числа из множества ${81,...99}$ не представимы в виде $k m 2 5$ . Подставим его в уравнение $n ⋅80= 100⋅20 =⇒ n =25$ .

Ответ:

$20$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#42938

При каких значениях $x$ число $√31-+x-+ 3√3−-x$ является целым?

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что, если оба слагаемых возвести в куб?

Подсказка 2

Воспользуйтесь формулой сокращённого умножения. Что можно сказать о величинах получившихся скобок?

Подсказка 3

Докажите, что исходное выражение больше нуля.

Подсказка 4

Нас интересуют целые значения выражения. Попробуйте понять, как оно ограничено сверху.

Подсказка 5

Найдите точку экстремума. Вы получите несколько возможных значений. Надо догадаться, как с их помощью найти x.

Подсказка 6

Рассмотрите произведение слагаемых из исходного выражения.

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию

3√---- √3---- f(x)= 1 +x+ 3− x

Пусть $a= 3√1+-x,b= 3√3−-x.$ Сразу отметим, что

3 3 a + b = 1+ x+3 − x =4.

В силу тождества

a3 +b3 = (a +b)(a2− ab+b2)

и того, что

a2− ab+ b2 = (a− b∕2)2+ 3b2->0, 4

получаем, что $a+b >0,$ то есть $f(x)> 0$ .

Из знаков производной

( ) f′(x)= 1 ⋅ ∘--1----− ∘--1---- = 3 3 (1 +x)2 3 (3 − x)2

3∘ -----2 3∘-----2 = -3∘(3−-x)-−2 3∘-(1+-x)2- (3− x) (1+ x)

делаем вывод, что $f(x)$ возрастает при $x≤ 1$ и убывает при $x≥ 1$ . Максимальное значение равно $f(1)= 23√2= 3√16-< 3√27,$ поэтому $f(x)< 3.$

Итак, целые значения могут быть только $1$ или $2.$ Воспользуемся тем, что

3 3 2 2 ( 2 ) 4= a +b = (a+b)(a − ab+ b)= (a +b) (a+ b) − 3ab

и тем, что

ab= ∘3(1+x)(3− x)= ∘34-−-(x-− 1)2

( 3) x= 1± 4− (ab)

1) Если $a+ b=1,$ то

4= 1− 3ab ⇐⇒ ab= −1 =⇒ x =1 ±√5-

2) Если $a+ b=2,$ то

4 =2(4− 3ab) ⇐⇒ ab = 2 =⇒ x =1 ±-1√0- 3 3 3

Ответ:

$1± √5,1± 10√3 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#45073

Вокруг четырёхугольника $ABCD$ описана окружность с центром в точке $O$ . Известно, что диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника перпендикулярны, $AB =4$ , $DC = 5$ . Какие значения может принимать площадь треугольника $AOB$ ?

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Обозначим угол ACB за a. Тогда у нас угол DBC = 90-a. попробуйте теперь найти что-то про а через теорему синусов в треугольниках ABC и DBC. Может быть, получится узнать его тангенс?

Подсказка 2!

Тангенс найден! А теперь подумайте, как выразить площадь AOB равнобедренного, используя тангенс угла а)!

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $∠ACB =α,∠DBC =90∘− α$ . По теореме синусов

2R= -4--= ----5--- = -5-- =⇒ tgα= 4 sinα sin(90 − α) cosα 5

Поскольку в равнобедренном $△AOB$ выполнено $∠AOB = 2α$ (центральный угол), то его площадь равна $SAOB = AB2ctgα= 5 2$ .

Ответ:

$5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#48859

Решите уравнение

∘ -------- ∘ -----2 1− |x − 2|+ 4x− x = 3+|x− 2|.

Источники: ПВГ-2010, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте внимательно посмотреть, вдруг какое-то выражение повторяется довольно часто? Что можно сделать в таком случае?

Подсказка 2

Да, можно сделать замену! Но тогда нужно придумать, как полностью избавиться от х.

Подсказка 3

В замене просто х, а нужно получить х², что для этого можно сделать?

Подсказка 4

Теперь получилось уравнение с корнями, что можно попробовать, чтобы его решить?

Подсказка 5

Конечно, можно попробовать возвести уравнение в квадрат, но чтобы полностью избавиться от корней, придется сделать это минимум два раза — а искать корни многочлена четвёртой степени явно не предел наших мечтаний, не так ли?

Подсказка 6

Раз уж решаем уравнение, то было бы неплохо найти ОДЗ — вдруг она как-то сможет помочь?

Подсказка 7

Самое время подумать, как же ведут себя части уравнения на ОДЗ!

Подсказка 8

Слева функция убывает, а справа возрастает. А сколько раз в таком случае они могут пересечься? Осталось только подобрать ответ :)

Показать ответ и решение

Заметим, что $4x − x2 =4− (4− 4x +x2)= 4− (x− 2)2$ , сделаем замену $t= |x − 2|≥ 0$

√ ---- ∘ ---2- 1− t+ 4− t= 3+ t

Заметим, что из ОДЗ $t∈ [0,1]$ , а на этом отрезке оба корня в левой части строго убывают. В это же время функция $3+ t$ монотонно возрастает и уравнение может иметь не более одного решения. Нетрудно видеть, что это $t= 0 ⇐⇒ x= 2.$

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#67141

Решите уравнение в целых числах:

∘ --2-------- 9x +80x− 40= 3x − 20y

Источники: ПВГ-2010, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Хммм... В условии есть корень, от которого сразу же хочется избавиться. Что можно сделать?

Подсказка 2:

Конечно! Запишем себе где-то на полях условие, что 3x−20y неотрицательно и смело возведём в квадрат. Давайте теперь в левой и правой части разложим выражения так, чтобы получить произведение множителя на скобку. Что можно сказать, помня, что x и y — целые?

Подсказка 3:

Да! Заметим, что (2 + 3y) не может быть равным нулю, поэтому на него можно поделить! Окей, с одной стороны получили всё ещё целый x, а с другой — отношение двух двучленов. Что всё это значит?

Подсказка 4:

Да! Получаем, что часть с игриками должна быть целым числом! Умножим обе части на 9. Получим 9x-30y+20=49/(3y+2). Тогда 3y+2 — делитель числа 49. Осталось только перебрать все возможные случаи и записать ответ!

Подсказка 5:

(Не забудем, что 3x−20y неотрицательно!) Чтобы сократить перебор, можно посмотреть на то, какие остатки дают левая и правая части, например, при делении на 3 ?)

Показать ответ и решение

Сначала бездумно возведём обе части в квадрат, в конце уже проверим, чтобы $3x− 20y$ было неотрицательно.

2 2 2 9x +80x− 40=9x − 120xy +400y

2 40x(2+ 3y) =40(10y + 1)

Так как $x,y$ целые, то можно поделить на ненулевое $2+ 3y$ обе части уравнения и получить, что целым числом должно являться

x = 10y2+-1= 10y− 20+ -49∕9- 3y +2 3 9 3y+ 2,

а значит, и число

49 9x− 30y+ 20= 3y+-2 .

Делителями (целыми) числа $49$ являются $− 49,− 7,− 1,1,7,49.$ Заметим, что только $− 1,−7,−49$ дают остаток $2$ по модулю $3,$ поэтому скобка $3y+ 2$ может принимать только эти значения. Разберём случаи

$3y+ 2= −1 ⇐⇒ y = −1 =⇒ 20+ 9x − 30y = −49 ⇐⇒ x= −11$
$3y+ 2= −7 ⇐⇒ y = −3 =⇒ 20+ 9x − 30y = −7 ⇐⇒ x= −13$
$3y+ 2= −49 ⇐⇒ y = −17 =⇒ 20 +9x− 30y =− 1 ⇐⇒ x= −59$

Остаётся проверить, что $3x− 20y$ принимает неотрицательные значения для полученных решений. Из трёх кандидатов не подходит только первая пара, потому что $3⋅(− 11)− 20⋅(−1)= −13< 0.$

Ответ:

$(−13,− 3),(−59,−17)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#71666

Положительные числа $b,b,b,b ,b 1 2 3 4 5$ составляют геометрическую прогрессию. Сумма логарифмов по основанию $3$ от этих чисел равна $10.$ Найдите эти числа, если

log3b1⋅log3b5 =3

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, что числа образуют геометрическую прогрессию! Поэтому все числа можно выразить через первый член прогрессии. В таком случае, что можно получить из условия того, что сумма логарифмов по основанию 3 от этих чисел равна 10?

Подсказка 2

Да, мы получим, что произведение первого члена и знаменателя прогрессии равно 9, а еще можно выразить первый член прогрессии через её знаменатель. Теперь воспользуемся вторым условием! Можно ли найти с помощью него знаменатель прогрессии?

Подсказка 3

Да, можно! Будем пользоваться свойствами логарифма и преобразовывать выражение. Тогда мы найдем знаменатель прогрессии и уже через него все члены последовательности!

Показать ответ и решение

Пусть $q$ — знаменатель прогрессии. Так как члены прогрессии положительные, то $q > 0$ . Тогда члены прогрессии: $2 3 4 b1, qb1, qb1, qb1, q b1$

По условию

2 3 4 log3b1+ log3qb1+log3q b1+log3qb1+ log3qb1 = 10

5 10 log3b1 ⋅q = 10

2 9- b1q =9 =⇒ b1 = q2

Подставляя во второе условие получаем

9 9 log3q2 ⋅log3q4⋅q2 =3

log3-92 ⋅log3 9q2 = 3 q

(2− log q2)⋅(2+ log q2)= 3 3 3

log2q2 = 1 3

q2 = 3±1

И так как

q >0,

то

q = 3±0.5; b1 = 9 q2

Легко видеть, что прогрессии

1.5 2 2.5 3 3, 3 , 3 , 3 , 3

3 2.5 2 1.5 3 , 3 , 3 , 3 , 3

удовлетворяют условию про сумму логарифмов и условию на первый и пятый члены.

В ответ можно записать найденные числа, они одинаковые для обеих подходящих прогрессий.

Ответ:

$3, 31.5, 32, 32.5, 33$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#83955

Бабушка читает незнакомую ей книгу из 970 страниц. Незнакомый текст она читает со скоростью 10 страниц в час, а прочитанный ранее — со скоростью 20 страниц в час. Пока книга не прочитана, бабушка читает её ежедневно по 5 часов с того места, где лежит закладка, и оставляет закладку там, где закончила чтение. В какой день недели бабушка прочтёт книгу до конца, если первые страницы она прочла в понедельник, а каждую ночь её внук переносит закладку на 20 страниц назад?

Источники: ПВГ - 2010, Омск, 10-11 классы, №1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сколько времени каждый день бабушка тратит на чтение незнакомых страниц? (Понятно, что если мы хотим получить число всех страниц в книге, важны только незнакомые страницы)

Подсказка 2

Каждый день, кроме первого, час тратится на чтение знакомого текста, а 4 часа — на чтение незнакомого.

Подсказка 3

Осталось ввести переменную — количество дней — и с помощью неё записать уравнение, определяющее общее число страниц в книге (не забывая про первый день).

Показать ответ и решение

В первый бабушка прочитала $5⋅10= 50$ страниц. Каждый следующий день бабушка тратила $20 :20 =1$ час на чтение знакомого текста. Значит, у нее остается $4$ часа на новый текст.

Пусть $n$ — число дней, которые бабушка читала книгу. Тогда за все дни, кроме первого, она читает $4⋅10 ⋅(n− 1)= 40(n− 1)$ страниц. Получаем уравнение

50+ 40(n− 1)=970

Таким образом, $n= 24.$ Так как бабушка начала читать в понедельник, то закончила она в среду, так как $n≡ 3 (mod 7).$

Ответ: в среду

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#89254

Ваня налил себе полный стакан смеси кофе с молоком. Сначала, выпив половину смеси, он долил в стакан доверху кофе и перемешал. Затем, выпив половину новой смеси, долил в стакан доверху молоко и вновь перемешал. Доля кофе в полученной смеси оказалась равной доле кофе в исходной. Найдите эту долю.

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз почти ничего не дано, то почему бы не обозначить как-то объём стакана, чтобы было с чем работать? И заодно, какую часть смеси занимал кофе изначально.

Подсказка 2

Почему бы буквально не посмотреть, сколько кофе будет оставаться после каждого действия?

Подсказка 3

Если вы пили половину стакана, то сколько осталось именно кофе? А если долили еще полстакана кофе?

Подсказка 4

А сколько осталось именно кофе во второй раз? Осталось воспользоваться тем, что изначальная доля кофе равна конечной доле, и получить ответ!

Показать ответ и решение

Примем за 1 объем всей чашки. Пусть x - доля кофе в чашке вначале. Ваня выпил половину смеси, потом долил только кофе и перемешал, теперь количество кофе в чашке равно $x∕2+ 1∕2 =(x+ 1)∕2$ . Затем он снова отпил половину смеси и доливал только молоко, количество кофе в этом случае равно $(x+1)∕2∕2 =(x+ 1)∕4$ . По условию, последнее выражение равно $x$ :

(x +1)∕4 =x x+ 1= 4x x= 1∕3

Ответ: 1 / 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90834

Один из корней квадратного уравнения $px2+ qx+ 1= 0 (p< 0)$ равен $2010.$ Решите неравенство:

√- x +q x +p >0.

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие значения может принимать х в нашем неравенстве?

Подсказка 2

Есть смысл разбить задачу на два случая, в зависимости от х: какое/какие значения имеет смысл рассмотреть отдельно?

Подсказка 3

Будет ли х=0 входить в решения?

Подсказка 4

Теперь достаточно проанализировать только положительные х. Что можно сделать с данным неравенством, чтобы оно стало похоже на стандартное квадратное?

Подсказка 5

Есть х и √х, почему бы не сделать замену?

Подсказка 6

Теперь внимательно посмотрите на полученные уравнение и неравенство, не замечаете некоторую схожесть? Что можно сделать, чтобы они стали практически один в один?

Подсказка 7

Да, взять другую замену! Только теперь с обратной пропорциональностью. Теперь перед нами дробно-рациональное неравенство — что можно сделать дальше?

Подсказка 8

Теперь нужно разложить числитель на множители, что в этом может помочь?

Подсказка 9

Зная один корень уравнения, можно определить и второй. А значит, и разложить трёхчлен на множители! Осталось только решить неравенство с учётом знаков р и замены. И не забудьте про обратную замену ;)

Показать ответ и решение

С учётом ОДЗ корня $x≥ 0$ . Поскольку $p< 0$ , то при $x =0$ неравенство не выполняется. Поэтому рассмотрим $t= 1√-> 0 x$ , откуда неравенство примет вид:

1 q 2 t2-+ t + p>0 ⇐⇒ pt +qt+ 1> 0

Знак сохраняется в силу умножения на положительное число, видим, что выражение совпало с первоначальным уравнением, откуда имеем корень $t= 2010$ . Далее снова при условии $p< 0$ второй корень изначально уравнения отрицателен (произведение равно $1∕p$ ), откуда неравенство превращается в равенство только при $x= 201102$ , в силу того, что при больших $x$ оно выполняется, и получается нужный ответ.

Ответ:

$x >-1--- 20102$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#91679

Через точки $M,N,K,L$ , лежащие соответственно на ребрах $SA,SB,SC,SD$ правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ $(S$ – вершина), проведена плоскость. Известно что $MK ⊥ NL$ , $SN =3 ⋅SL$ и площадь треугольника $SMK$ равна $12.$ Найдите площадь треугольника $SLN$ .

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В правильной четырехугольной пирамиде очень удобно вводить координаты(осями будет высота и диагонали основания).

Подсказка 2

Давайте введём их так: O(0,0,0), B(1,0,0), A(0,1,0), D(−1,0,0), C(0,− 1,0), S(0,0,z). Но для чего же мы это делаем? Спрашивают у нас информацию про площадь. Подумайте, чем связаны треугольники, про которые идёт речь в условии?(один из них в вопросе, а у другого мы знаем площадь)

Подсказка 3

Верно, из-за одинакового угла, мы можем записать для них соотношение для сторон. Но для этого их надо найти! Попробуйте ввести ещё отношение SL/SD=k. Для решения вам нужно будет выразить координаты оставшихся точек. Также давайте поймём, что прямые LN, MK и SO пересекаются в одной точке Y.

Подсказка 4

Заметим, что SO - биссектриса в треугольнике SNL, а значит, можно применить её свойство. Для чего же..? Чтобы найти координаты точки Y и воспользоваться оставшимся условием!

Подсказка 5

Давайте попробуем вычислить ещё отношение SM/SA=l. Тут на помощь должно прийти условие перпендикулярности MK и NL(но на самом деле MY), ведь тогда скалярное произведение соответствующих векторов равно 0. Вам нужно только всё это технически реализовать и не забыть, для чего мы всё это делали.

Показать ответ и решение

$PIC$

Введём систему координат. Центр основания $O (0,0,0)$ . $B(1,0,0)$ , $A(0,1,0)$ , $D(−1,0,0)$ , $C(0,− 1,0)$ , $S(0,0,z)$ . Обозначим $k= SSLD-$ . Рассмотрим вектор $S⃗L = kS ⃗D = (−k,0,− kz)$ , откуда координаты точки $L(−k,0,−kz+ z)$ . Аналогично координаты точки $N (3k,0,− 3kz+ z)$ . Пусть $Y$ — точка пересечения прямых $NL$ , $SO$ и $MK$ (эти три прямые пересекаются в одной точке, поскольку точка пересечения прямых $NL$ и $MK$ лежит в пересечении плоскостей $SNL$ и $SMK$ , то есть на $SO$ ). Поскольку $SY$ — биссектриса треугольника $SNL$ , $SSNL-= YYNL-=3$ , откуда $Y(0,0,3⋅(−kz+z4)−3kz+z)$ .

Пусть $SSMA-= l$ . Тогда координаты точки $M (0,l,− lz +z)$ . По условию $YM ⊥ NL$ . То есть скалярное произведение векторов $(0,l,− lz+ 32kz)$ , $(4k,0,− 2kz)$ равно 0.

0⋅4k +l⋅0− 2kz⋅(−lz+ 3kz)=0 2

откуда $− lz+ 3kz =0 2$ , то есть $l= 3k 2$ .

Осталось заметить, что $∠MSK = ∠NSL$ , откуда

S△SMK- -3⋅3- 3 S△SNL = 3⋅2⋅2 = 4

То есть $S△SNL =16$ .

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#101967

Найдите минимальное натуральное число $n$ , при котором система неравенств

( 1) ( 2) ( n ) cosx≥ cos x + 8 ≥ cos x + 8 ≥ ...≥ cos x + 8

не имеет решений.

Источники: ПВГ 2010

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если внимательно посмотреть, то можно заметить некоторую закономерность. А что можно сделать в таком случае?

Подсказка 2

Отличной идеей будет решить неравенство относительно двух соседних косинусов в общем виде.

Подсказка 3

Возьмем k/8 и k+1/8. Как же такое решать?

Подсказка 4

Можно, конечно, попробовать сравнить косинусы на окружности и подобрать как-то подходящие значения, но переменная есть там и там — будет весьма неприятно. Что можно сделать с двумя косинусами, чтобы результат вышел более однозначный?

Подсказка 5

Есть ли какая-то формула, которая поможет сделать из разности произведение?

Подсказка 6

Разность косинусов! Тем более, если ей воспользоваться, от х останется зависеть только одна тригонометрическая функция.

Подсказка 7

Если система имеет решение, то будет выполняться для любого значения k из допустимых. Какое значение стоит взять за ориентир?

Подсказка 8

k=0 — самый простой и приятный вариант. И если при нём решения есть, то каким должно стать k, чтобы синус из нашего неравенства стал отрицательным?

Подсказка 9

Не забудьте, что у нас были взяты k и k+1, то есть n=k+1.

Показать ответ и решение

Запишем неравенство соседних косинусов в общем виде и решим его: