Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

ПВГ - задания по годам → .01 ПВГ до 2010

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Разделы подтемы ПВГ - задания по годам

ПВГ до 2010

ПВГ 2010

ПВГ 2011

ПВГ 2012

ПВГ 2013

ПВГ 2014

ПВГ 2015

ПВГ 2016

ПВГ 2017

ПВГ 2018

ПВГ 2019

ПВГ 2020

ПВГ 2021

ПВГ 2022

ПВГ 2023

ПВГ 2024

ПВГ 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#48857

Сколько членов арифметической прогрессии, состоящей из $2009$ чисел, с первым членом $12$ и разностью $3,$ являются также членами бесконечной геометрической прогрессии, первый член и знаменатель которой равны $3?$

Источники: ПВГ-2009 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Арифметическая прогрессия ограничена, может, получится понять, какие члены геометрической прогрессии стоит рассматривать?

Подсказка 2

Посмотрите на числа, кратные 3.

Показать ответ и решение

Начнём с геометрической — в ней лежат числа $3,9,27,81,243,729,2187,6561$ . Поскольку максимальный член арифметической прогрессии равен $12+ 3⋅2008= 6036$ , то $6561$ уже туда не входит. Но числа $27,81,243,729,2187$ будут в ней лежать, поскольку кратны трём и лежат от $12$ до $12 +3⋅2008$ . Легко видеть, что в арифметической прогрессии лежит каждое кратное трём число оттуда.

Ответ:

$5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#104257

При каких значениях $a$ строго между двумя корнями уравнения

2 2 ax + x+2a = 0

находится ровно один корень уравнения

2 2 ax +2x− 2a = 0

и строго между двумя корнями второго уравнения находится ровно один корень первого уравнения?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что, если a = 0?

Подсказка 2

Теперь поделим на a ≠ 0.

Подсказка 3

Что можно сказать о точках пересечения этих графиков?

Показать ответ и решение

Заметим, что $a= 0$ не является решением задачи, так как в этом случае каждое из уравнений имеет ровно один корень. Положим $a ⁄=0$ и, разделив каждое из уравнений почленно на $a$ , обозначим

2 x f(x)=x + a +2a g(x)= x2+ 2x− 2a. a

Пусть $x0$ — абсцисса общей точки графиков функций $y =f(x)$ и $y = g(x)$ .

$PIC$

Тогда, решив уравнение $f(x)=g(x)$ , найдем, что $x0 = 4a2$ .

Условие задачи будет выполнено в том и только в том случае, когда

f(x0) <0

( ) 2a 8a3+ 3 <0

( √- ) a∈ − 33;0 2

Ответ:

$(− 3√3;0) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#34673

Решите неравенство

√---- x +2 >x − 3

Источники: ПВГ-2006 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим корни — сразу считаем ОДЗ. При каких х из ОДЗ неравенство всегда выполняется, так как корень принимает только неотрицательные значения?

Подсказка 2

При х < 3. Тогда х ≥ 3 обе части неравенства неотрицательны и можно сделать равносильный переход — возвести их в квадрат, ведь как-то надо избавляться от корня.

Подсказка 3

После приведения подобных полученный квадратный трехчлен будет иметь не самые привлекательные корни, поэтому придётся оценить, где они лежат относительно 3, чтобы получить правильное пересечение с неравенством х ≥ 3.

Показать ответ и решение

Обе части неравенства определены при $x+ 2≥ 0$ .

При $x< 3$ получим верное неравенство, ведь правая часть отрицательна, а левая неотрицательна.

При $x≥ 3$ можем без смены знака неравенства возвести обе части в квадрат (это будет равносильным переходом, потому что обе части неотрицательны):

2 2 x +2> x − 6x+ 9 ⇐ ⇒ x − 7x+ 7< 0

( 7− √21 7+√21) x ∈ --2---;--2---

Поскольку $4< √21< 5$ , то левый конец интервала $√-- 7−221< 32 <3$ , а правый $√ -- 7+2-21-> 112->3$ , так что в пересечении с условием $x ≥3$ получаем $[ √ -) x ∈ 3,7+2-21-$ .

Осталось объединить рассмотренные случаи и записать ответ с учётом области определения неравенства (ОДЗ).

Ответ:

$[− 2,7+√21) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#34677

Решите уравнение

5(1−-cosx) logsinx 4 = 2.

Источники: ПВГ-2006 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какому уравнению будет равносильно данное на ОДЗ?

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sinx ⁄=1,sinx> 0,1− cosx> 0$ .

На ОДЗ уравнение равносильно

2 5(1− cosx)= 4sin x

2 5− 5cosx= 4− 4cosx

4cos2x− 5cosx+1 =0

То есть $cosx =1$ , что не подходит под ОДЗ, или $cosx = 14$ , откуда с учётом ОДЗ подходит только $x =arccos14 +2πn,n∈ ℤ$ .

Ответ:

$arccos1 +2πn, n ∈ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#47917

При всех значениях параметра $a$ решите уравнение

ax+3 4x2−ax+9- 2x2+3 + 2 x2+3 = 10.

Источники: ПВГ-2006 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Какая некрасивая дробь в степени, еще и повторяется, давайте сделаем замену! t = 2^((ax + 3)/(x^2 + 3))

Подсказка 2!

Попробуйте понять, как представляется тогда второе слагаемое! Это 16/t!

Подсказка 3!

Осталось найти t и разобраться с вытекащим а)

Показать ответ и решение

Обозначим $t= 2axx+2+33-$ , тогда

4(x2+3) − ax+3 16 t+ 2 x2+3 ⋅2 x2+3 = 10 ⇐ ⇒ t+ -t =10

Получаем $t∈ {2;8} ⇐⇒ axx2++33 ∈ {1;3}$ , то есть у нас такая совокупность (два случая):

[ [ ax+3 =x2 +3 ⇐⇒ ax= x2 ax+3 =3x2+ 9 3x2− ax +6= 0

У первого уравнения могут быть решения $x =0,x= a$ , а у второго при $2 a ≥ 72$ есть решения $a±√a2−-72- x = ---6----$ . Важно заметить, что среди корней уравнений нет общих, потому что при подстановке $x =0$ или $x= a$ во второе уравнение его левая часть будет положительна, а не равна нулю. Тогда осталось учесть только совпадения корней в рамках каждого из уравнений и записать ответ.

Ответ:

при $|a|>6√2$ решения ${0;a;a+√a2−72;a−√a2−72} 6 6$ ;

при $√- |a|= 6 2$ решения $a {0;a;6}$ ;

при $√ - 0< |a|< 6 2$ решения ${0;a};$

при $a= 0$ решение только $x = 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85033

Первый член арифметической прогрессии равен $− 12,$ разность равна $24. 11$ Найдите сумму первых $n$ членов этой прогрессии при условии, что она меньше $− 39.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выразите сумму первых n членов.

Подсказка 2

Можно оценить n и перебрать его возможные значения.

Показать ответ и решение

Сумма первых $n$ членов имеет вид $−24+-2411⋅(n−1)⋅n= 12n(n−12). 2 11$ По условию это выражение меньше $− 39,$ то есть отрицательно, однако число $12n 11$ положительно, значит число $n − 12$ — отрицательно. То есть $n$ — натуральное число из отрезка $[1;12].$ Осталось перебрать все возможные значения и убедиться, что подходит только $n =6.$