Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Физтех - задания по годам → .12 Физтех 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Разделы подтемы Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Физтех 2010

Физтех 2011

Физтех 2012

Физтех 2013

Физтех 2014

Физтех 2015

Физтех 2016

Физтех 2017

Физтех 2018

Физтех 2019

Физтех 2020

Физтех 2021

Физтех 2022

Физтех 2023

Физтех 2024

Физтех 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30937

Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр каждого из которых равно $3375.$ Ответ необходимо представить в виде целого числа.

Источники: Физтех-2020, номер 1, (см.olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если произведение 8 цифр это 3375, то надо выяснить, какие это могут быть цифры вообще и сколько раз они встречаются в записи числа.

Подсказка 2

Ага, получилось два набора цифр: в одном пятерки, тройки и единички, в другом есть помимо них девятка. Находим, сколько в первом наборе способов поставить тройки, потом на оставшиеся места пятерки и тд, то же делаем для второго набора и понимаем, что эти наборы не пересекаются -> работает правило сложения

Показать ответ и решение

Разложим $3375$ на множители. $3375 =5⋅675= 52⋅135= 53⋅27= 53⋅33.$ Значит, либо в нашем числе есть $3$ пятерки, $3$ тройки и остальные единицы, либо в нашем числе есть $3$ пятерки, $1$ девятка, $1$ тройка и остальные единицы.

В первом случае способов выбрать места для пятерок можно $3 8⋅7⋅6 C8 = 3!$ способами, так как нам нужно выбрать три места из восьми для пятерок. Затем выбрать места для троек $3 5⋅4⋅3 C5 = 3!$ вариантов, а остальные места займут единицы, поэтому всего в этом случае $8⋅7⋅6 5⋅4⋅3 3! ⋅ 3! =56⋅10= 560$ вариантов.

В втором случае способов выбрать места для пятерок так же $3 8⋅7⋅6 C8 = 3! ,$ выбрать место для тройки можно из оставшихся пяти, для девятки — из оставшихся четырёх, а остальные места займут единицы, поэтому всего в этом случае $8⋅7⋅6 3! ⋅5⋅4= 56⋅20= 1120$ вариантов.

Итого $1120+ 560 =1680$ вариантов.

Ответ:

$1680$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31350

Дана геометрическая прогрессия $b ,b ,...,b , 1 2 3000$ все члены которой положительны, а их сумма равна $S.$ Известно, что если все её члены с номерами, кратными $3$ (т. е. $b3,b6,...,b3000),$ увеличить в $50$ раз, сумма $S$ увеличится в $10$ раз. А как изменится $S,$ если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b2,b4,...,b3000),$ увеличить в $2$ раза?

Источники: Физтех-2020, 10.2, (см.olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишите все условия (их тут много, следим аккуратно за вычислениями!). Тогда a*(d^(3000) - 1)/(d-1) = S. Запишем теперь сумму членов с номерами, делящимися на 3. Это ведь тоже геометрическая прогрессия! С множителем d^3 и начальным членом ad^2.

Подсказка 2

Действительно, сумма прогрессии с номерами, кратными трем, записывается как: G = ad^2*(d^(3000) - 1)/(d^3-1). Тогда если увеличить все члены в 50 раз, то сумма увеличится в 10! Это значит, что 10S = S + 49G, так как 50G + все остальные члены, это то же самое, что 49G + S!

Подказка 3

Попробуйте теперь подставить формулы для S и G в предыдущее уравнение и найти из этого d!

Показать ответ и решение

Пусть первый член прогрессии это $b,$ а знаменатель прогрессии равен $q.$ Тогда

3∑000 3000 S = bi = bq-q−−11 i=1

1∑000 q3000− 1 b3k = bq2-q3−-1 k=1

Если все её члены с номерами, кратными $3$ (т. е. $b3,b6,...,b3000),$ увеличить в $50$ раз, сумма $S$ увеличится в $10$ раз:

10S = S+ 49bq2q3000−-1 q3− 1

q3000− 1 q3000− 1 9⋅b--q− 1-= 49bq2-q3−-1-

3 9 ⋅ q-− 1-=49q2 q− 1

0 =49q2− 9(q2+q +1)= 40q2− 9q− 9 =(5q− 3)(8q+3)

$q >0,$ поэтому подходит только $q = 35.$

Осталось понять, как изменится $S,$ если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b2,b4,...,b3000),$ увеличить в $2$ раза:

S +bqq3000−-1= S+ Sq q−-1-= 11S q2− 1 q2− 1 8

Замечание.

Если $q = 1,$ то все $bi$ равны, а тогда при увеличении трети членов в $50$ раз сумма не может вырасти всего в $10$ (пользуемся тем, что $bi > 0).$

Ответ:

увеличится в $11- 8$ раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#33587

Решите уравнение

√- cos11x− cos3x− sin11x+ sin3x= 2cos14x

Источники: Физтех-2020, 11.2, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Общих множителей перед нами нет, что тогда можно сделать? Какие формулы применить? В уравнении много сумм и разностей, тогда давайте применим формулы разности синусов и косинусов.

Подсказка 2:

В левой части у обоих слагаемых появился общий множитель, это -2sin(4x). Его выносим за скобки. Что можно сделать с правой частью, чтобы она была похожа на выражение в скобках?

Подсказка 3

В левой части есть аргумент (7х), а это как раз 14х/2, поэтому применим справа формулу косинуса двойного угла. Тогда, если перенести всё в одну сторону, можно вынести sin(7x) + cos(7x) за скобки.

Подсказка 4

Остаётся два случая. В первом случае sin(7x) + cos(7x) можно разделить на cos(7x) ≠ 0. Во втором стоит воспользоваться методом вспомогательного аргумента, чтобы в правой части сделать синус разности. Останется решить уравнение вида sin(a) = sin(b) и задача убита!

Показать ответ и решение

Применим формулы разности синусов и косинусов, а также формулу косинуса двойного угла:

√- −2sin4xsin 7x − 2sin 4x cos7x= 2cos14x

−2sin4x(sin7x+ cos7x)= √2(cos27x− sin27x)

Уравнение эквивалентно совокупности

[ cos7x+ sin7x= 0, cos7x− sin7x= −√2-sin4x

[ tg7x =−1, sin(7x− π4)= sin4x

⌊ 7x =− π4 + πk,k ∈ℤ |⌈ 7x− π4 = 4x +2πk,k∈ℤ 7x− π4 = π− 4x +2πk,k∈ℤ

⌊ π πk | x = −π28 +2π7k-,k ∈ℤ ⌈ x = 12-+ 3-,k∈ ℤ x = 5π44 + 2π1k1 ,k∈ ℤ

Ответ:

$−-π+ πk; π-+ 2πk;5π + 2πk; k ∈ℤ 28 7 12 3 44 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#33589

Решите систему уравнений

({ (y5)lgx 2lgxy x =y ( x2− 2xy− 4x− 3y2+ 12y = 0

Источники: Физтех - 2020, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Второе уравнение выглядит намного "приятнее" первого, так что попробуем разобраться сначала с ним. Такое выражение мы легко можем разложить на скобки, если рассмотрим как квадратное уравнение относительно x.

Подсказка 2

Отлично! Теперь осталось разобраться с первым уравнением. Очень неудобно работать с логарифмами в показателях степеней. Как можно перенести их к основаниям степеней?

Подсказка 3

Верно! Это можно сделать, если логарифмировать первое уравнение по основанию 10.

Подсказка 4

Теперь мы получили уравнение на lg(x) и lg(y). Попробуйте заменить их на новые переменные и разложить всё выражение на скобки.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x,y >0$ .

Логарифмируем первое уравнение системы по основанию 10:

(y5) 2 lg -x ⋅lgx= lgy ⋅lg(xy)

Это уравнение на области допустимых значений равносильно следующему:

(5lgy− lgx)lgx =2 lgy(lgx+ lgy) ⇐ ⇒ lg2 x− 3 lgylgx+ 2lg2y = 0 ⇐⇒

[ (lgx − lgy)(lgx − 2lgy)= 0 ⇐⇒ (x− y)(x− y2)= 0 ⇐⇒ x= y, x= y2

Записываем второе уравнение в виде $2 2 x − 2x(y+2)+ 12y− 3y = 0$ и решаем его как квадратное относительно переменной $x$ :

D ( ) 4-= (y+2)2− 12y− 3y2 = 4y2− 8y +4= (2y− 2)2 =⇒ x = y+2 ±(2y− 2) ⇐⇒ x= 3y,4 − y

Теперь рассмотрим $4$ комбинации полученных результатов:
a)

{ { x =y, ⇐ ⇒ x = 0, x =3y y =0.

Точка $(0;0)$ не удовлетворяет ОДЗ.
б)

{ { x = y ⇐ ⇒ x = 2 x = 4− y y =2

в)

⌊ { { 2 || x= 0, x =y , ⇐⇒ || { y = 0, x =3y ⌈ x= 9, y = 3.

г)

⌊ { x= 9−√17, { 2 { { x= 4− y, || −12+√17- x= y , ⇐⇒ x2=4− y, ⇐⇒ −1±√17 ⇐ ⇒ || { y = 9+2√17-, x= 4− y y + y− 4= 0 y = 2 ⌈ x= −12−√,17- y = 2 .

Точка $(9+√17;−1−-√17) 2 2$ не удовлетворяет ОДЗ.

Объединяя результаты, получаем итоговый ответ: $( 9−√17 √17−1) (2;2),(9;3), -2--;--2--$ .

Ответ:

$(2;2),(9;3),(9−√17;√17−1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#33590

Сфера с центром $O$ вписана в трёхгранный угол с вершиной $S$ и касается его граней в точках $K,L,M$ (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол $KSO$ и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью $KLM$ , если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой $SO$ , равны $1$ и $4$ .

Источники: Физтех - 2020, 11.4 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нас просят отыскать ∠KSO будет рассматривать плоскость (KSO), а, точнее, ту её часть, что заключена между прямыми SO и SK. Нам понадобятся точки P и Q — точки касания сферы с плоскостями, перпендикулярными SO. Пусть при это SP < SQ. Отметьте всё, что можно выразить через радиус сферы.

Подсказка 2

Рассмотрим отрезки, заключенные между точками пересечения SK и SO с касательными к сфере плоскостями. Если мы знаем отношение площадей сечений, то что можно сказать об отношении этих отрезков? (Вспомните: площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия). Пользуясь этим отношением вы сможете найти связь между SP и радиусом сферы.

Подсказка 3

Помните: радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. А значит, мы можем найти синус ∠KSO, ведь всё нужное для этого мы выразили через радиус сферы.

Подсказка 4

Что можно сказать про (KLM) и SO? Проведите высоты к SO в △KSO, △MSO и △LSO — это поможет нам сделать важный вывод!

Подсказка 5

После того, как мы заметили перпендикулярность (KLM) и SO, можно поработать с подобными прямоугольными треугольниками: узнав отношение отрезков параллельных секущих плоскостей, заключённых между точками их пересечения с SO и SK, мы сможем сделать вывод и об отношениях площадей сечения!

Показать ответ и решение

Обозначим точки пересечения прямой $SO$ со сферой через $P$ и $Q$ (точка $P$ лежит на отрезке $SO$ , а $Q$ — вне него). Пусть радиус сферы равен $r$ . Треугольники $OKS, OLS$ и $OMS$ прямоугольные (углы при вершинах $K, L,M$ прямые, так как касательные перпендикулярны радиусам, проведённым в точку касания). Эти треугольники равны по катету и гипотенузе $(OK =OL = OM = R,SO$ — общая), следовательно, $∠KSO = ∠LSO = ∠MSO ($ пусть $∠KSO = α,SO= x)$ . Высоты, опущенные из точек $K,L,M$ на гипотенузу $SO$ , paвны, а их основания — одна и та же точка $H$ , лежащая в плоскости $KLM$ (назовём эту плоскость $τ)$ . Пусть $β$ и $γ$ касательные плоскости к сфере, проходящие через точки $P$ и $Q$ , а $E$ и $F$ — точки пересечения этих плоскостей с прямой $SK$ . По условию площади сечений трёхгранного угла этими плоскостями равны соответственно $S1 =1$ и $S2 =4$ . Рассмотрим сечение трехгранного угла и сферы плоскостью $SKO$ (см. рис. и обозначения на нем). Так как $SH ⊥HK$ и $SH ⊥ HL$ , то $τ ⊥ SH$ . Тогда сечения трёхгранного угла плоскостями $τ,β$ и $γ$ — подобные треугольники, плоскости которых параллельны (все они перпендикулярны $SO )$ .

Если $Σ$ — площадь треугольника, получающегося в сечении трёхгранного угла плоскостью $KLM$ , то из подобия $Σ :S1 :S2 = KH2 :EP2 :FQ2.$ Следовательно, $√-- √-- EP :FQ = S1 : S2.$ Тогда $√ -- √-- S1 : S2 = SP :SQ= (x− r) :(x+ r),$ откуда $√-- √-- r= x√SS22−+√SS11,$ a $√-- √-- sinα = rx = √SS22−+√SS11 = 13.$ Отсюда $∠KSO =arcsin13.$

$PIC$

Далее, $OH = rsinα,SH = SO− OH = -r- − rsin α,SP = SO− r=-r- − r. sinα sinα$ Значит, $Σ :S1 = KH2 :EP2 =SH2 :SP2 = (-1 − sin α)2 :(-1 − 1)2 = (1+sinα)2 = 16, sinα sinα 9$ откуда $Σ= 16. 9$

Ответ:

$∠KSO =arcsin1,S = 16 3 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#33591

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ |y− 3 − x|+ |y− 3+ x|= 6 (|x|− 4)2+ (|y|− 3)2 =a

имеет ровно два решения.

Источники: Физтех-2020, 11.5, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала разберёмся с первым уравнением. Для этого можно, например, рассмотреть области знакопостоянства модулей и в каждой из областей найти решения.

Подсказка 2

Если рассмотреть прямые, в которых модули обращаются в ноль, получим две прямые и 4 области. В каждой из них несложно найти решение, раскрыв модули!

Подсказка 3

В итоге мы получаем некоторый квадрат, теперь нам нужно найти его пересечения с окружностями, что получаются из второго уравнения. Что интересного можно сказать о получившемся квадрате?

Подсказка 4

Он полностью лежит над осью Y, поэтому во втором уравнении можно опустить модуль y. Осталось разобрать случаи того, какой же a, чтобы посмотреть на окружности, получающиеся во втором уравнении ;)

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые $y− 3− x= 0$ и $y − 3+ x= 0$ . Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка $(0;−10)$ . Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения $y− 3− x$ и $y− 3+x$ отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид $− (y− 3− x)− (y− 3+ x)=6$ , откуда $y = 0$ . C учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках $A(3;0)$ и $D(−3;0)$ . Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата $K$ с вершинами в точках $A(3;0),B(3;6),C(−3;6)$ и $D (− 3;0)$ . Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью $y < 0$ , поэтому можно считать, что $y ≥0$ . С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде $(|x|− 4)2+ (y− 3)2 = a$ (опустив модуль у переменной $y)$ . Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через $Φ(a)$ . Если $a <0$ , у уравнения нет решений. При $a= 0$ оно задаёт две точки $(4;3)$ и (-4;3). Поскольку обе они не принадлежат квадрату $K$ , система не имеет решений, и значение $a= 0$ не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю $a >0$ .

$PIC$

При $x≥ 0$ уравнение принимает вид $(x− 4)2+ (y − 3)2 = a$ , и мы получаем окружность радиуса $√a$ с центром в точке $(4;3)$ (или её часть, лежащую в полуплоскости $x≥ 0$ , если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены $x$ на $(−x)$ , множество $Φ (a)$ симметрично относительно оси $y$ . Таким образом, $Φ(a)$ есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси $Oy.$

Если $0< a< 1$ , график $2 2 (|x|− 4) +(y− 3) = a$ не пересекает квадрат $K$ , и система уравнений не имеет решений. Если $a =1$ , система уравнения имеет два решения - точки $X (3;3)$ и $Y (− 3;3)$ . Если $a∈ (1,10]$ , дуга окружности $2 2 (x− 4)+ (y− 3) = a,x ≥0$ пересекает отрезок $AB$ дважды эти две точки, а также им симметричные относительно оси $y$ , образуют 4 различных решения системы. Если $a ∈(10,25)$ , дуга окружности $2 2 (x − 4) + (y− 3) =a,x≥ 0$ пересекает отрезки $DA$ и $CB$ в двух точках с положительной абсциссой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оy, образуют 4 различных решения системы. Если $a =$ 25 , система уравнений имеет два решения - точки $(0;0)$ и $(0;6)$ . Наконец, если $a> 25$ , дуга окружности $2 2 (x− 4) +(y− 3) = a,x≥ 0$ не пересекает стороны квадрата $K$ и система уравнений не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при $a= 1$ и $a= 25$ .

Ответ:

${1,25}$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#33592

Две окружности одинакового радиуса $5$ пересекаются в точках $A$ и $B$ . На первой окружности выбрана точка $C$ , а на второй - точка $D$ . Оказалось, что точка $B$ лежит на отрезке $CD$ , a $∘ ∠CAD = 90$ . На перпендикуляре к $CD$ , проходящем через точку $B$ , выбрана точка $F$ так, что $BF =BD$ (точки $A$ и $F$ расположены по разные стороны от прямой $CD )$ .

а) Найдите длину отрезка $CF$ .

б) Пусть дополнительно известно, что $BC =6$ . Найдите площадь треугольника $ACF$ .

Источники: Физтех-2020, 11.6, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Самая естественная мысль, которая возникает это найти отрезок из теоремы Пифагора. Тогда нам нужно найти два катета. Подумаем, как удобнее всего выразить сторону в треугольнике, если мы знаем радиус описанной окружности?

Подсказка 2

Верно, их можно выразить через теорему синусов. Для этого нам осталось только обозначить удобный угол и найти стороны.

Подсказка 3

Теперь попробуем ввести ещё один угол бетта, равный углу BCF, и узнать углы треугольника АDС. Что можно сказать про тангенс угла бетта, как можно выразить его через отрезки?

Подсказка 4

Ага, понимаем, что тангенсы углов BCF и DAB равны, а значит и углы эти равны. Теперь осталось выразить сторону АС треугольника АCF и найти его площадь.

Показать ответ и решение

$PIC$

а) Пусть $R = 5$ - радиусы данных в условии окружностей, $∠BAD =α,∠BCF =β$ . Тогда $∠BAC =90∘− α$ , и по теореме синусов для $△ABD$ :

BD = 2Rsin α

для $△ABC$ :

BC =2R sin(90∘− α)= 2R cosα

Значит,

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 CF =BC + BF = BC +BD = 4R cosα +4R sin α= 4R ,

откуда $CF = 2R= 10.$

б) Так как $tgβ = BF-= BD-= sinα-= tgα BC BC cosα$ , то $β = α$ . Далее, углы $ADC$ и $ACD$ вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду $AB$ , поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника $CAD$ находим, что $∠ADC = ∠ACD =45∘$ . Тогда

∘ ∘ ∘ ∘ ∠ABC = 180 − 45 − (90 − α )=45 + α,

поэтому

AC = 2Rsin(45∘+ α)

Итак,

SACF = 1⋅CA ⋅CF ⋅sin∠ACF = 2

1 ∘ ∘ = 2 ⋅2Rsin(45 +α )⋅2R sin(45 + β)=

2 2 ∘ 2 ∘ 2 = 2R sin (45 + α)= R (1− cos(90 + 2α))= R (1+ sin2α)=

( ∘-------) = R2 1 +2cosα 1 − cos2α

, где $cosα = B2RC= 35.$ Значит, $SACF = 49.$

Ответ:

а) $CF = 10$

б) $SACF = 49$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#33593

Найдите количество пар целых чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих системе неравенств

{ y > 2x+ 3⋅265 y ≤ 70+(264− 1)x

Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.

Источники: Физтех - 2020, 11.7 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как мы хотим "зажать" y между двумя графиками, имеет смысл порассуждать об их точках пересечений и о том, как графики выглядят.

Подсказка 2

Один из графиков выпуклый вниз, а другой — линейный. Сколько у таких графиков точек пересечений? Попробуем их подобрать ;)

Подсказка 3

У графиков ровно две точки пересечения, абсциссы у них — 6 и 70. Тогда где находятся нужные нам значения y?

Подсказка 4

Нам нужны целочисленные точки, которые лежат "между графиками". Попробуем тогда посчитать целочисленные точки под каждым из графиков (и над осью x), а затем подумать, как же связаны эти величины с ответом!

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)=2x +3⋅265,g(x)=70+ (264− 1)x$ . В силу того, что $f(x)$ выпукла вниз, а $g(x)$ - линейная, графики функций $f(x)$ и $g(x)$ могут иметь не более двух общих точек (достаточно взять вторую производную разности). Координаты обеих точек легко подобрать. Действительно, $6 65 64 ( 64 ) f(6)=2 + 3⋅2 =64+ 6⋅2 =70+ 2 − 1 6= g(6)$ и $70 65 6 64 64 (64 ) f(70)= 2 + 3⋅2 =2 ⋅2 + 6⋅2 = 70+ 2 − 170= g(70)$ . На промежутке $6< x< 70$ график $f(x)$ лежит ниже графика $g(x)$ . Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых $x∈ [7;69]$ (так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы).

Заметим, что на отрезке $[7;69]$ графики функций $f(x)$ и $g(x)$ лежат выше оси $x$ . Поэтому искомое количество целочисленных точек мы получим, если из количества $S1$ целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком $g(x)$ на отрезке $[7;69]$ , вычтем количество $S2$ целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком $f(x)$ на отрезке $[7;69]$ . При этом мы учтём, что первое неравенство системы строгое, а второе — нет.

Найдём $S1$ . Так как на отрезке $[7;69]$ лежат $69− 7+ 1= 63$ целочисленные точки, то

( ) ( ) S1 =70⋅63+ 264− 1 (7+ 8+ ...+ 69)= 70⋅63+ 264− 1⋅38⋅63=

= 32⋅63+ 264⋅38⋅63= 2016+ 265⋅1197

Найдём $S2 :$

( 7 65) (8 65) (69 65) S2 = 2 + 3⋅2 + 2 + 3⋅2 + ...+ 2 + 3⋅2 =

7 8 69 65 70 7 65 5 65 65 65 = 2 +2 + ...+ 2 + 3⋅2 ⋅63= 2 − 2 + 3⋅2 ⋅63 =2 ⋅2 − 128+ 189⋅2 = 221 ⋅2 − 128

Искомое количество равно

S1− S2 = 2016+ 265⋅1197− (221⋅265 − 128)=

= 2144+ (1197− 221)⋅265 =2144+ 976⋅265 = 2144+ 61⋅269

Ответ:

$61⋅269+2144$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#33641

Монету подбрасывают $90$ раз (вероятности выпадения орла и решки в каждом броске одинаковы). Пусть $p$ — вероятность того, что орёл выпадет не меньше $55$ раз, а $q$ — вероятность того, что орёл выпадет меньше $35$ раз. Найдите $p− q$ .

Источники: Физтех-2020, 11.1, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте переформулировать указанные в условии вероятности, чтобы они звучали похоже. Как иначе выразить p-q.

Подсказка 2

Оказывается, что q — вероятность того, что решка выпадет не менее 36 раз! Какую вероятность нам тогда нужно подсчитать?

Подсказка 3

Верно, p-q — это вероятность того, что решка выпадет ровно 55 раз. Сколько вариантов последовательностей бросков, которые удовлетворяют этому условию?

Подсказка 4

Нам нужно выбрать 55 моментов, в которые упадёт решка ;)

Показать ответ и решение

В силу того, что выпадение орла и решки равновозможны, вероятность получить $90$ орлов равна вероятности получить $90$ решек (т.е. $0$ орлов); вероятность получить $89$ орлов равна вероятности получить $89$ решек (т.е. одного орла) и т.д. Обозначим вероятность, что выпало ровно $k$ орлов через $pk$ . Тогда $p =p55+ p56+ ...+ p90,q = p0+p1+ ...+ p34$ , а в силу сказанного выше, $q =p90+ p89+ ...+ p56$ . Значит, $p − q = p55$ .

Посчитаем вероятность того, что орёл выпадает ровно $55$ раз при $90$ бросках. Если обозначить выпадение орла единицей, а выпадение решки нулём, то каждую последовательность из $90$ бросков можно охарактеризовать последовательностью цифр из нулей и единиц. Вероятность получить любую из таких последовательностей равна $-1- 290$ . Нас устроят все те последовательности событий, которые содержат ровно $35$ единиц. Их количество равно $35 C90$ (выбираем из имеющихся $90$ позиций $35$ позиций для единиц без учёта порядка, после чего остальные позиции заполняются нулями). Значит, вероятность получить хотя бы одну такую последовательность равна $1 35 290 ⋅C90$ . Это и есть $p55$ .

Ответ:

$-1-⋅C35 290 90$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#33643

Решите уравнение

---cos8x---- ---sin8x---- √- cos3x +sin3x + cos3x− sin3x = 2

Источники: Физтех-2020, 11.2, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте приведём всё к общему знаменателю. Тогда у нас образуется много попарных произведений, а в каких формулах они встречаются?

Подсказка 2

При помощи формул косинуса и синуса разности приходим к незамысловатому уравнению! Не забудьте про ОДЗ знаменателя ;)

Подсказка 3

У нас в аругментах есть и 5x, и 6x...давайте воспользуемся вспомогательным углом! Тогда останется лишь равенство на косинусы ;)

Показать ответ и решение

Приводя дроби в левой части уравнения к общему знаменателю и применяя формулы косинуса и синуса разности

cos8xcos3x−-cos8xsin-3x-+cos3xsin8x+-sin3xsin8x √ - cos5x+-sin5x- √ - cos23x − sin23x = 2 ⇐ ⇒ cos6x = 2.

Последнее уравнение эквивалентно системе

{ √- cos5x+ sin5x= 2cos6x cos6x⁄= 0

Применим формулу вспомогательного угла

( ) [ π [ π cos 5x− π = cos6x ⇐ ⇒ 5x− 4π =6x+ 2πk, ⇐⇒ x = −π4 +22ππkk, 4 5x− 4 =− 6x +2πk,k∈ ℤ x = 44 + 11 ,k∈ ℤ.

Теперь учтём условие $cos6x⁄= 0$ .

Если $x= − π +2πk 4$ , то $cos6x= cos(− 3π +12πk)= 0 2$ , т.е. условие $cos6x⁄= 0$ нарушается.

Если $x= π-+ 2πk- 44 11$ , то $cos6x =cos(3π+ 12πk) 22 11$ . Найдём те целые значения $n$ и $k$ , при которых выполняется равенство $3π 12πk π 22 + 11 = 2 +πn$ . Получаем $n−4 12k= 4+ 11n,k= n− 12$ . Поскольку $k∈ ℤ$ и $n∈ ℤ$ , отсюда следует, что $n−4 p= 12 ∈ℤ$ . Значит, $n = 12p+ 4,k= 11p+ 4$ . Полученные значения переменной $k$ необходимо исключить. Окончательно получаем $π- 2πk x = 44 + 11 ,k⁄= 11p +4,k∈ ℤ$ , $p∈ℤ$ .

Ответ:

$π(1+-8k); k⁄= 11p +4,k∈ ℤ,p ∈ℤ 44$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#33649

а) Две параллельные прямые $ℓ 1$ и $ℓ 2$ касаются окружности $ω 1$ с центром $O 1$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $ω 2$ с центром $O2$ касается прямой $ℓ1$ в точке $D$ , пересекает прямую $ℓ2$ в точках $B$ и $E$ , а также вторично пересекает окружность $ω1$ в точке $C$ (при этом точка $O2$ лежит между прямыми $ℓ1$ и $ℓ2$ ). Известно, что отношение площади четырёхугольника $BO1CO2$ к площади треугольника $O2BE$ равно 2. Найдите отношение радиусов окружностей $ω2$ и $ω1$

б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD = 2$ .

Источники: Физтех-2020, 10.6, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Рассмотрите прямые углы.

Пункт а, подсказка 2

Пусть ∠O₁BO₂ = α. Выразите через него другие углы.

Пункт а, подсказка 3

Запишите отношение площадей четырёхугольников. Поскольку мы хотим найти отношение радиусов, их надо использовать при вычислениях.

Пункт б, подсказка 1

Рассмотрите треугольник ABD.

Показать ответ и решение

$PIC$

а) Пусть $R1,R2$ - радиусы окружностей $ω1$ , $ω2$ соответственно, $∠O1BO2 =α$ , а прямые $DO2$ и $ℓ2$ пересекаются в точке $P$ . Тогда из условия касания $AB ⊥ ℓ2$ ( $AB$ — диаметр) и $DO2 ⊥ℓ2$ , откуда $∠O2BE = π2 − α$ , а $∠BO2P =$ $π2 − ∠O2BE = α$ . Треугольники $BO1O2$ и $CO1O2$ равны по трем сторонам, поэтому $SBO1CO2 =$ $2SO1BO2 = 2⋅ 12 ⋅BO1 ⋅BO2 ⋅sin α= R1R2sinα$ . Площадь треугольника $BO2E$ равна $12O2P ⋅BE = 12R2cosα ⋅2R2 sinα= R22cosαsinα$ . Применим данное в условии отношение площадей $SBSO1CO2 =R-R1cosα = 2 BO2E 2$ и $1R1 = R2cosα 2$ . Кроме того, как расстояния между прямыми, равны $AB =DP$ , откуда $2R1 = R2+ R2cosα$ , следовательно $2R1 =R2 + 1R1 2$ , и $R2 = 3 R1 2$ .

б) Из прямоугольного треугольника $ABD$ получаем $BD2 = AB2+ AD2$ , то есть $BD2 = 4R2+ BP2 = 4R2+ (R2sinα)2 = 4R2+ R2− (R2 cosα)2 = 4R2 +R2 − (2R1− R2)2 =4R1R2 1 1 1 2 1 2$ . Итак, $R2 = 3 R1 2$ и $4R1R2 = 22 =4$ . Отсюда $∘-2 ∘ 3- R1 = 3,R2 = 2$ .

Ответ:

а) $R2 = 3 R1 2$ ; б) $R = ∘ 2,R = ∘-3 1 3 2 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#34753

Решите неравенство

(∘ -3-------- ) |3 | x − 10x+ 7+ 1 ⋅|x − 18x +28|≤ 0.

Источники: Физтех-2020, 10.3, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Корень из чего-то и модуль из чего-то всегда неотрицательны, но нас просят найти иксы, при которых левая часть неположительная —> явный намёк на оценку! Строго оцените левую часть – когда возможно, чтобы она была <0 или хотя бы =0?

Подсказка 2

Левая часть может максимум обнулиться! И обнулить её может лишь модуль, так что осталось решить кубическое уравнение (у которого, к слову, нетрудно отгадать корень). Получается, задачка решена?

Подсказка 3

Не забываем про ОДЗ! Подкоренное выражение должно быть неотрицательно! Да, проверять наши корни непосредственной подстановкой не очень приятно, но попробуйте вычесть из подкоренного выражения заведомо неотрицательное выражение, чтобы избавиться от неприятного x^3. Немножко счёта, и задачка убита!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x3− 10x+ 7≥ 0$ .

На ОДЗ корень неотрицателен, так что первая скобка положительна. Вторая неотрицательна, поэтому неравенство достигается только в случае, если вторая скобка равна нулю, то есть

3 2 √-- x − 18x +28= 0 ⇐⇒ (x− 2)(x +2x− 14) =0 ⇐ ⇒ x =2 или x= −1± 15

Осталось проверить, что найденные значения входят в ОДЗ неравенства. Раз уж при найденных $x$ выражение под модулем равно $0$ , то вычтем его из выражения под корнем, в итоге требуется $8x − 21≥ 0$ . Для $1 − √15$ и $2$ это неверно, проверим третий корень:

√-- √-- 8⋅(−1+ 15)≥21 ⇐⇒ 8 15≥ 29 ⇐⇒ 960= 64⋅15≥ 931

Получаем единственное решение.

Ответ:

$− 1+ √15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#45521

Бросили $70$ игральных костей (кубиков с цифрами от $1$ до $6$ на гранях, вероятность выпадения каждой из граней одна и та же) и посчитали сумму выпавших чисел. Какая из вероятностей больше: того, что сумма больше $350$ , или того, что сумма не больше $140?$

Источники: Физтех - 2020 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Заметим одну важную вещь! Как изменится сумма чисел, выпавших на всех костях, если вместо каждого числа выпадет его "дополнение до 7"? То есть вместо 1 - 6, 2 - 5 и так далее?

Подсказка 2!

Верно, если сумма была S, то сумма нового набора - 490 - S! Таким образом, все наборы ( в частности, наборы с суммой 140 и 350) разбиваются на пары! А что это значит в контексте вероятности?

Подсказка 3!

Что вероятность выпадения набора с суммой S и c суммой 490 - S одинакова! Отлично, осталось внимательно теперь рассмотреть вероятности, о которых говорится в условии)

Показать ответ и решение

Результат броска кубиков можно описать набором из 70 чисел от 1 до 6. Рассмотрим какой-либо такой набор. Если каждое из чисел набора заменить с $x$ на $7 − x$ , получим новый набор, состоящий из чисел от 1 до 6. При этом если сумма чисел в исходном наборе была $S$ , то она станет равной $490− S.$ То есть каждому набору с суммой $S$ мы можем поставить в соответствие набор с суммой $490− S.$

Так как $140+350= 490$ , то количество наборов с суммой больше 350 равно количеству наборов с суммой меньше 140. Отметим также, что все наборы равновероятны. Значит, вероятность выбросить больше 350 равна вероятности выбросить меньше 140. Но вероятность выбросить не больше 140 очков выходит больше выше рассмотренных, так как добавляются способы, в которых сумма составляет ровно 140 очков. Поэтому больше вероятность того, что сумма не превосходит 140.

Ответ:

того, что сумма не больше $140$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#51861

Решите неравенство

4 2 2 2x + x − 4x− 3x |x− 2|+ 4≥ 0

Источники: Физтех-2020, 10.4, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неравенства часто решаются разложением на скобки, попробуйте найти то, от чего можно оттолкнуться, чтобы разложить на скобки.

Подсказка 2

Получаем разложение на скобки (|x-2|-x²)(|x-2|-2x²)≥0. Теперь надо избавиться от модулей.

Подсказка 3

Домножим на сопряжённое, осталось решить школьное неравенство:)

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство

2 2 4 (x− 2)− 3x |x− 2|+2x ≥ 0

Заметим, что мы получили квадратный трёхчлен от $|x− 2|$ . У него можно попробовать угадать корни, а можно пойти честно через дискриминант

4 4 4 3x2±-x2 2 2 D= 9x − 8x =x ⇐⇒ x1,2 = 2 = {x;2x }

Получаем разложение на скобки

(|x− 2|− x2)(|x− 2|− 2x2)≥ 0

Домножим неравенство на произведение скобок $(|x− 2|+ x2)(|x − 2|+ 2x2)> 0$ , получим

2 4 2 4 ((x− 2) − x )((x− 2)− 4x )≥0

(x− 2 − x2)(x− 2+ x2)(x− 2− 2x2)(x − 2+ 2x2) ≥0

(x2 − x +2)(x2+ x− 2)(2x2− x +2)(2x2+ x− 2) ≥0

Заметим, что для первой скобки $D = 1− 8< 0$ и для третьей $D = 1− 16 <0$ , откуда неравенство можно переписать в виде

[ √-- √-- ] (x2 +x − 2)(2x2+ x− 2)≥ 0 ⇐⇒ x∈ (−∞,−2]∪ − 1+--17,-17−-1 ∪ [1,+∞) 4 4

Ответ:

$(−∞;− 2]∪ [− 1+√17;√17−1]∪ [1;+∞ ) 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#85032

Дана конечная арифметическая прогрессия $a ,a,...,a 1 2 n$ с положительной разностью, причём сумма всех её членов равна $S$ , а $a >0. 1$ Известно, что если разность прогрессии увеличить в 3 раза, а её первый член оставить неизменным, то сумма $S$ увеличится в 2 раза. А во сколько раз увеличится $S$ , если разность исходной прогрессии увеличить в 4 раза (оставив первый член неизменным)?

Источники: Физтех - 2020 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала запишем формулу суммы арифметической прогрессии через первый член в общем виде. Как она меняется от изменения разности?

Подсказка 2

Подставляем разности d, 3d и 4d. Теперь пользуемся условием на то, что при подстановке 3d сумма увеличивается в 2 раза относительно суммы с d. Что отсюда можем выразить?

Подсказка 3

Выражаем разность прогрессии через первый член. Теперь можем подставить это в общую формулу суммы. Что это нам даёт?

Подсказка 4

Это позволяет нам выразить через первый член и количество членов (которые неизменны во всех суммах) суммы с разностями d и 4d. Теперь осталось только найти их отношение, которое определяется однозначно!

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле арифметической прогрессии

2a+ (n − 1)d S = a+ (a+d)+ ...+ (a +(n− 1)d)=----2-----⋅n

Из формулы суммы арифметической прогрессии с разностью $3d$ получаем:

2a+ (n − 1)3d 2S =a +(a+ 3d)+ ...+ (a +3(n− 1)d)= -----2-----⋅n

Пусть сумма арифметической прогрессии с разностью $4d$ была в $k$ раз больше, чем сумма исходной. Тогда получаем:

$kS = a+(a+ 4d)+...+ (a+ 4(n− 1)d)= 2a+-(n− 1)⋅4d⋅n 2$

Из первых двух равенств получаем, что

2a+-(n-− 1)d⋅n⋅2= 2a+-3(n-− 1)d⋅n 2 2

4a+ 2(n − 1)d= 2a +3(n− 1)d

2a =(n− 1)d

Тогда $2a+ 2a S = --2---⋅n= 2an$ . Откуда из выражения для третьей суммы получим

k⋅2an= 2a+-4(n2-− 1)d= 2a+2-8a⋅n= 5an

Значит, $k= 2.5$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

$(t+ 1)$ -ый член прогрессии с первым членом $a$ и разностью $d,3d,4d$ можно выразить, как $a+ td,a+3td,a +4td$ соответственно.

Представим $(t+1)$ -й член прогрессии с разностью $4d$ следующим образом:

a+ 4td= α(a+ td)+ β(a +3td)

При этом хотим найти такие $α,β$ , чтобы равенство было выполнено при любых $t$ и любых $a,d$ . Тогда нужно приравнять коэффициенты в левой части перед $a$ и $d$ , чтобы получилось тождество:

( {a =(α+ β)⋅a, (4td= αtd +β ⋅3td,

( { 1= (α+ β), ( 4= α+ 3β,

То есть $β = 1.5,α= −0.5$ . Так как данное равенство при $β =1.5,α =− 0.5$ выполняется при любых значениях $t$ , будет выполнено равенство для сумм прогрессий:

kS = αS+ β⋅2S =− 0.5S+ 1.5⋅2S = 2.5S

Значит, $k= 2.5$

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90847

Бросили $70$ игральных костей (кубиков с цифрами от $1$ до $6$ на гранях; вероятность выпадения каждой из граней одна и та же) и посчитали сумму выпавших чисел. Какая из вероятностей больше: того, что сумма больше $350$ , или того, что сумма не больше $140$ ?

Источники: Физтех - 2020, 9 класс (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем увидеть симметрию в этой задаче. Что можно сказать про вероятность получить числа на кубиках, сумма которых равна 7? (то есть x и 7-x)

Подсказка 2

Эти вероятности, очевидно, равны, так как вероятности получить любое число от 1 до 6 одинаковы. Получается, что есть равенство: P(x) = P(7 - x), то есть мы научились каждому числу на кубике предъявлять симметричную пару с такой же вероятностью. Что тогда можно сказать про 2, 3 и более бросков?

Подсказка 3

Рассмотрим два броска кубика. Пусть, выпала комбинация: {x, y}. Тогда в пару мы ей можем сопоставить пару {7-x, 7-y} и вероятность выпадения этой пары равна вероятности выпадения {x, y}. А если это обобщить не для конкретной комбинации, а для суммы чисел на кубиках? Что можно заметить?

Подсказка 4

Если за 70 бросков выпала сумма S, то эту сумму образует комбинация из 70 чисел (x₁, x₂, …, x₇₀). И, соответственно, вероятность выпадения такой комбинации равна вероятности выпадения (7-x₁, 7-x₂, …, 7-x₇₀). А что это значит для сумм?

Подсказка 5

Получается, что вероятность, что сумма равна S равна вероятности, что сумма равна 490-S. Какой вывод тогда можно сделать для нашей задачи?

Подсказка 6

P(x > 350) = P(x < 140) (вероятность того, что сумма больше 350 равна вероятности, что сумма меньше 140), т.к. все суммы бьются на пары с равными вероятности, а вероятность получить сумму 140 не равна нулю.

Показать ответ и решение

Ответ: что сумма не больше 140

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#91510

Решите уравнение

4 2 2 3x + x − 8x − 4x |x − 4|+16 =0.

Источники: Физтех - 2020, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем в части без модуля выделить квадрат суммы (не обязательно задействовав все слагаемые).

Подсказка 2

Выделяем x² - 8x + 16 = (x - 4)². Заметим, что |x-4|² = (x-4)². Используя это, представим выражение в виде произведения двух скобок.

Подсказка 3

Теперь рассмотрим все случаи, учитывая, что это выражение равно 0. Не обязательно во всех случаях будут решения, но в целом они найдутся!

Показать ответ и решение

3x4+x2− 8x−4x2|x− 4|+16= 3x4+(x− 4)2 − 4x2|x− 4|= ( 2 )( 2 ) = 3x − |x− 4| x − |x− 4|= 0

Значит, либо $2 x =x − 4$ корней нет, либо $2 x = −x+ 4$ (корни $1 √-- − 2 ± 17$ ), либо $2 3x = x− 4$ (решений нет), либо $2 3x = 4− x$ (решения 1 и $4 − 3$ ).

Ответ:

$1 ±√17,1,− 4 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#100421

(a) Сфера с центром $O$ касается боковых рёбер $SA,SB,SC$ пирамиды $SABC$ в точках $K,L,M$ соответственно, а также касается её основания $ABC.$ Через точку сферы, ближайшую к точке $S,$ проведена плоскость, касающаяся сферы. Площадь сечения пирамиды $SABC$ этой плоскостью равна 9, а $√35- ∠KSO = arccos 6$ . Найдите площадь треугольника $KLM.$

(b) Пусть дополнительно известно, что $SO = 25,$ а плоскости $KLM$ и $ABC$ параллельны. Найдите объём пирамиды $SABC.$

Источники: Физтех - 2020, 11.4 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте заметим, что плоскость KLM и плоскость, каcающаяся сферы в точке, ближайшей к S, параллельны (надо бы это доказать).

Подсказка 2

Учитывая, что площадь одного сечения известна, площадь второго можно найти через подобие. Вот бы коэффициент подобия узнать...

Подсказка 3:

Давайте обозначим через P и Q точки пересечения SO с окружностью, а через A₁ — точку пересечения перпендикуляра к SO в Q и SA. Для вычисления коэффициента подобия осталось лишь проделать небольшие махинации с треугольником SA₁Q.

Подсказка 4:

Во втором пункте стоит подумать про точки A и A₁, учитывая дополнительное условие. Что можно сказать про их взаимное расположение?

Показать ответ и решение

а) Пусть радиус сферы равен $R$ . Обозначим точки пересечения прямой $SO$ со сферой через $P$ и $Q$ (точка $P$ лежит на отрезке $SO$ , а $Q$ — вне него). Треугольники $OKS,OLS$ и $OMS$ прямоугольные (углы при вершинах $K,L,M$ прямые, так как касательные перпендикулярны радиусам, проведённым в точку касания). Эти треугольники равны по катету и гипотенузе $(OK =OL = OM = R,SO$ — общая), следовательно, $∠KSO = ∠LSO = ∠MSO$ (обозначим эти углы через $1 α;sinα = 6$ ); высоты, опущенные из точек $K,L,M$ на гипотенузу $SO$ , равны, а их основания — одна и та же точка $H$ , лежащая в плоскости $KLM$ (назовём эту плоскость $τ)$ . Пусть $σ$ — касательная плоскость к сфере, проведённая через точку $P$ . Обозначим точку пересечения $σ$ и $SA$ через $E$ . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью $ASO$