Физтех - задания по годам → .01 Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Вычтем третье уравнение из второго

В первом случае подставим

Для имеем , иначе и

Получаем тройки и ,

Во втором случае , получаем

Отсюда

В первом случае , не умаляя общности, , тогда , откуда добавляется решение , а также для в силу симметрии.Bо втором . Отсюда легко найти оставшиеся две тройки . Проверкой убеждаемся, что они подойдут.

Первое решение.

После сложения уравнений системы получим

Получаем, что система из условия равносильна

в силу линейной связи между одно решение должна иметь совокупность

Дискриминант первого уравнения равен у второго же он меньше: Поэтому наличие решений у второго уравнения сразу влечёт за собой наличие решений у первого уравнения. Значит, для единственности решения необходимо и достаточно равенства нулю первого дискриминанта (у второго уравнения при таком значении не будет корней):

Второе решение.

Заметим, что система симметрична относительно замены на . То есть если есть решение , то решением также будет пара — решений четное количество. Поэтому, чтобы решение было единственным, необходимо (но не достаточно), чтобы среди решений было

Для единственности решения этого квадратного уравнения его дискриминант должен быть равен нулю:

При таком значении параметра получаем систему

Вычитая, получаем

Единственное решение уравнения — это пара . Такая пара является решением системы, поэтому это единственное и такое подходит.

Запишем первое неравенство системы в виде

Этому неравенству удовлетворяет множество - объединение четырёх кругов , , и радиуса 1 с центрами соответственно в точках и Запишем второе равенство системы в виде

При это уравнение окружности с центром в точке радиуса Соединим точку и точки и прямыми и Пусть и точки пересечения с окружностью (с центром радиуса 1), а и точки пересечения с окружностью (с центром радиуса 1). Имеем , , , , , При окружность пересекается с кругами и а при окружность пересекается с кругами и Следовательно, система имеет хотя бы одно решение, если принадлежит либо отрезку либо отрезку Так как то объединение отрезков и есть отрезок

Имеем

при условиях и Получаем и Следовательно, т. е. Тогда либо и в этом случае т. е. это не решение, либо а и в этом случае и т. е. это решение.

ОДЗ: Преобразуем к виду

При имеем т. e. Следовательно, либо либо и Тогда при получаем т. е. Следовательно, а учитывая ОДЗ получаем — решения. При имеем т. е. Учитывая ОДЗ получаем — решения.

Обозначим По теореме синусов из треугольников и находим и

Так как и то

В силу , имеем

По доказанному , откуда

т. e. Тогда

В нашем случае Тогда , Следовательно,

Длину биссектрисы можно найти из применения теорем косинусов для и , а затем написав отношение полученных выражений

На координатной плоскости Оху рассмотрим ломаную , задаваемую уравнением и параболу , задаваемую уравнением Ломаная пересекается с параболой в точках с абсциссами и и положительными ординатами. Прямая , задаваемая уравнением касается параболы в точке Найдем при которых точка касания и является точкой пересечения и , то есть удовлетворяет уравнению . Имеем: при и при

Разберём случаи

• При или прямая пересекает ломаную в двух различных точках, не лежащих на . Следовательно, в этом случае система имеет ровно три решения.
• При и прямая пересекает в двух различных точках, одна из которых является точкой касания и . Следовательно, в этом случае система имеет ровно два решения.

Далее найдём , при котором параллельна прямой, задаваемой уравнением . Получим т. е. .

Аналогично ищем , при котором параллельна прямой, задаваемой уравнением . Получаем , т. е. .

• При прямая пересекает ломаную в двух различных точках, не лежащих на П. Следовательно, в этом случае система имеет ровно три решения.
• При прямая пересекает в одной точке, не лежащей на П. Следовательно, в этом случае система имеет ровно два решения.
• При прямая не пересекается с Следовательно, в этом случае система имеет ровно одно решение.

Осталось собрать те случаи, когда решения ровно два, и написать ответ.

Преобразуем уравнение к виду

Пусть Тогда Следовательно, и Получаем причем не является решением, так как и не определен, а решение.

Так как центр вписанной в пирамиду сферы лежит на её высоте , то образует равные углы с плоскостями . Кроме того, из симметрии следует, что .

Проведём плоскость через перпендикулярно . Пусть эта плоскость пересекает в точке . Аналогично построим точки . Заметим, что треугольники равны, так как они прямоугольные, имеют общий катет , а углы равны, как углы между и плоскостями . Тогда и эти отрезки являются высотами боковых граней пирамиды. Из прямоугольного треугольника находим его высоту .

Рассмотрим треугольник . Пусть . Тогда по теореме косинусов

(1)

Так как и то

Полагая получаем уравнение

Откуда

Тогда из получаем . Так как , то является серединой а из равенства следует, что является высотой треугольника причём .

Пусть — радиус вписанной окружности треугольника .

Тогда . Из равенства

Тогда

Рассмотрим треугольник . Отразив точку симметрично получим точку . Пусть радиус сферы равен . Заметим, что он равен радиусу окружности, вписанной в треугольник . Тогда

Первое уравнение можно записать так:

Из второго уравнения системы следует, что

a) Если справедливо равенство (2), то из второго уравнения системы находим откуда, используя равенство (2), получаем или Пусть тогда и не выполняются условия (3). Пусть тогда и — peшение данной системы.

б) Если справедливо равенство (1) и условия (3), то и что невозможно.

Перепишем исходную систему в виде

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множество решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит этому множеству то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых ровно одна из точек вида где принадлежит множеству решений изображенному на плоскости Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая имеет ровно одну точку пересечения с множеством

Построим на плоскости множества решений каждого из неравенств системы, а затем найдем пересечение этих множеств.

• Множеством решений первого неравенства являются точки, лежащие не выше параболы
• Множеством решений второго неравенства являются точки, лежащие не ниже параболы

Убедимся, что вершина параболы лежит выше параболы Ее координаты равны

Так как то вершина параболы действительно лежит выше параболы

Построим графики.

 
Множеством решений системы является пересечение внутренних областей парабол и включая границы.

Только горизонтальные прямые и будут иметь с ровно одну точку пересечения. При этом — касательная в вершине параболы а не прямая, проходящая через точку пересечения парабол.

Любая горизонтальная прямая ниже или выше не будет иметь пересечений с множеством

Прямые между и будут иметь больше одной точки пересечения с

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при

Уравнение равносильно (заметьте, что ограничение на аргумент логарифма учитывается, так как

При замене требование единственности решения для равносильно требованию единственности положительного решения для у уравнения

Это возможно в двух случаях: либо уравнение имеет единственное решение , либо уравнение имеет два корня разных знаков.

В первом случае получаем то есть И тогда поэтому подходит.

Во втором случае существуют корни и при

По теореме Виета так что уравнение имеет ровно один положительный корень только при то есть

Уравнение равносильно

С учётом формулы

получаем уравнение-следствие:

На ОДЗ можно домножить на знаменатель и возвести в квадрат:

Теперь обязательно надо проверить, что найденное значение подходит в исходное уравнение:

ОДЗ определяется условиями:

На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

1) Пусть тогда неравенство (*) равносильно каждому из неравенств , , , откуда следует, что значения из интервала решения неравенства (*).

2) Пусть тогда неравенство (*) равносильно неравенству откуда .

Первое уравнение системы по свойствам логарифмов равносильно поэтому после приведения подобных получаем

Чтобы исходная система имела ровно решения, нужно, чтобы полученная система имела решения, потому что каждому соответствует ровно одна пара решений.

Значит, нужно найти такие значения , при которых квадратное относительно уравнение

имеет два различных корня Рассмотрим, когда график параболы удовлетворяет условиям:

Необходимо и достаточно, чтобы

Решив получившуюся систему, получаем ответ.

По формуле понижения степени получаем

По формуле суммы косинусов получаем

Уравнение имеет корни

а, уравнение по методу оценки имеет корни только в случае

Если то и поэтому

будет равносильно

Пусть — центр окружности радиуса тогда

откуда

Из треугольника

Рассмотрим второе уравнение системы. Потребуем, чтобы и возведем его в квадрат, тогда получим:

Откуда получаем

Тогда либо либо

Если (подставим в первое уравнение системы):

Если же

Сделаем замену и получим уравнение:

Корни которого будут равны и

При нужно решить уравнение . Получаем, что Вспоминаем, что значит, это решение не подходит.

При нужно решить то есть а Проверим, что

Значит, это решение нам подходит.

Обозначим . Тогда

Из подобия треугольников и следует, что откуда .

Из треугольника по теореме косинусов получаем

, oткyда

По свойству касательной и секущей

откуда

Пусть — радиус окружности, тогда

Из треугольника по теореме синусов имеем

где

ОДЗ: . Воспользуемся равенствами

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

Это уравнение на ОДЗ равносильно уравнению

а уравнение это равносильно совокупности уравнений

Первые два уравнения имеют корни и и эти корни удовлетворяют ОДЗ, а из последнего следует, что .