Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Физтех - задания по годам → .01 Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Разделы подтемы Физтех - задания по годам

Физтех до 2010 и вступительные на Физтех

Физтех 2010

Физтех 2011

Физтех 2012

Физтех 2013

Физтех 2014

Физтех 2015

Физтех 2016

Физтех 2017

Физтех 2018

Физтех 2019

Физтех 2020

Физтех 2021

Физтех 2022

Физтех 2023

Физтех 2024

Физтех 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#49486

Решите систему уравнений

(| 2x2 = yz− 2x; { 2y2 = −xz+ 2y; |( 2 2z = −xy+ 2z.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1. заметим, что у нас уравнения симметричные. тогда вычтем, например, из второго третье и разложить на множители. из-за симметрии и слева, и справа будет общий множитель (y-z). тогда можно на него сократить и выразить из оставшегося х через y и z! // не забываем, что нельзя делить на ноль

Подсказка 2!

2. осталось аккуратно подставить, разобрать оба случая (деление на ноль и нет деления на ноль), не забываем сделать проверку, если у вас неравносильные переходы

Показать ответ и решение

Вычтем третье уравнение из второго

2 2 2(y − z)= x(y− z)+ 2(y − z) ⇐⇒ z− y = 0 или 2y+ 2z = x+2

В первом случае подставим $z = y$

{ 2x2 = z2 − 2x 2z2 =− zx+2z =⇒ z = 0 или 2z =− x+2

Для $y = z = 0$ имеем $2x2+ 2x= 0 ⇐⇒ x= 0,− 1$ , иначе $x =2 − 2z$ и

8z2 − 16z+ 8= z2 − 4+ 4z ⇐⇒ 7z2 − 20z+ 12 =0 ⇐ ⇒ z = 6 или z =2 7

Получаем тройки $(2,6,6) 7 7 7$ и $(−2,2,2)$ ,

Во втором случае $2y+ 2z = x+ 2$ , получаем

(| yz = 2x2+2x (| 8yz =16x2+ 16x { 2y2+ 2z2 = −x(y+ z)+2y+ 2z =⇒ { 4y2 +4z2 = −x2− 2x+2x +4 |( 2y+ 2z = x+2 |( 4y2 +8yz+ 4z2 =x2+ 4x+ 4

Отсюда

16x2+16x− x2+ 4= x2 +4x+ 4 ⇐⇒ 14x2 +12x= 0 ⇐⇒ x= 0,− 6 7

В первом случае $yz = 0$ , не умаляя общности, $y = 0$ , тогда $2z2 = 2z$ , откуда добавляется решение $(0,0,1)$ , а также $(0,1,0)$ для $z =0$ в силу симметрии.Bо втором $y+ z = x+2 = 47,yz = 2x2+ 2x = − 1429$ . Отсюда легко найти оставшиеся две тройки $(− 67,− 27,67),(− 67,67,− 27)$ . Проверкой убеждаемся, что они подойдут.

Ответ:

$(0,0,0),(−1,0,0),(2,6,6),(−2,2,2),(− 6,− 2,6),(− 6,6,− 2),(0,1,0),(0,0,1) 7 7 7 7 7 7 7 7 7$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79185

Найдите, при каких значениях параметра а система уравнений

{ x− y2− a =0 x2− y+a =0

имеет единственное решение.

Источники: Физтех - 2009, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие у нас стандартные методы решения системы? Сложить, перемножить, выразить. Попробуем первый способ. Ого, ушла а-шка, и более того, наше выражение разложилось на множители. Значит, либо x = y, либо x + y + 1 = 0. Чему теперь равносильно условие на одно решение, если х линейно выразился через у?

Подсказка 2

Тому, что суммарно, при подстановке вместо y — х и -(x + 1), во второе (или первое, это не так важно) уравнение системы, получалось ровно 1 решение. Как нам этого добиться?

Подсказка 3

Верно, посчитаем дискриминанты. Один из них должен быть равен нулю, а второй меньше нуля (так как общих корней у уравнений нет)

Показать ответ и решение

Первое решение.

После сложения уравнений системы получим

2 2 x − y + x− y = 0

x= y или x+y +1 =0

Получаем, что система из условия равносильна

⌊ { y = x || x2− x+a =0 ||⌈ { y = −1− x x2+ x+1 +a =0

в силу линейной связи между $x,y$ одно решение должна иметь совокупность

[ x2− x+ a= 0 x2+ x+ 1+ a= 0

Дискриминант первого уравнения равен $1− 4a,$ у второго же он меньше: $1 − 4a− 4.$ Поэтому наличие решений у второго уравнения сразу влечёт за собой наличие решений у первого уравнения. Значит, для единственности решения необходимо и достаточно равенства нулю первого дискриминанта (у второго уравнения при таком значении $a$ не будет корней):

1− 4a =0

Второе решение.

Заметим, что система симметрична относительно замены $(x,y)$ на $(y,x)$ . То есть если есть решение $(x0,y0)$ , то решением также будет пара $(y0,x0)$ — решений четное количество. Поэтому, чтобы решение было единственным, необходимо (но не достаточно), чтобы среди решений было $(x,x):$

2 x − x+ a= 0

Для единственности решения этого квадратного уравнения его дискриминант должен быть равен нулю:

1− 4a =0

При таком значении параметра получаем систему

{ x− y2 − 1 = 0 x2− y +4 1 = 0 4

Вычитая, получаем

( 1)2 ( 1)2 x− 2 + y− 2 =0

Единственное решение уравнения — это пара $(11) 2;2$ . Такая пара является решением системы, поэтому это единственное и такое $a$ подходит.

Ответ:

$1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80046

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

{ x2+y2+ 31≤ 8(|x|+ |y|) x2+y2− 2y = a2− 1

имеет хотя бы одно решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первом уравнении есть намек на круги, как нам будет удобнее работать с модулем?

Подсказка 2

Представьте x² как |x|².

Подсказка 3

А снизу просто окружность с фиксированным центром, осталось рассмотреть их взаимное расположение.

Показать ответ и решение

Запишем первое неравенство системы в виде

2 2 (|x|− 4)+ (|y|− 4) ≤ 1

Этому неравенству удовлетворяет множество $E$ - объединение четырёх кругов $C1$ , $C2$ , $C3$ и $C4$ радиуса 1 с центрами соответственно в точках $O1(4;4),O2(4;− 4),$ $O3(−4;4)$ и $O4(−4;−4).$ Запишем второе равенство системы в виде

2 2 2 x + (y− 1) =a

При $a⁄= 0$ это уравнение окружности $L$ с центром в точке $O (0;1)$ радиуса $|a|.$ Соединим точку $O$ и точки $O1$ и $O2$ прямыми $ℓ1$ и $ℓ2.$ Пусть $A1$ и $B1−$ точки пересечения $ℓ1$ с окружностью $L1$ (с центром $O1$ радиуса 1), а $A2$ и $B2−$ точки пересечения $ℓ2$ с окружностью $L2$ (с центром $O2$ радиуса 1). Имеем $OO1 =5$ , $OO2 = √25+-16-=√41-$ , $OA1 = 4$ , $OB1 = 6$ , $OA2 =√41-− 1$ , $OB2 = √41+ 1$ При $4≤ |a|≤6$ окружность $L$ пересекается с кругами $C1$ и $C3,$ а при $√41-− 1 ≤$ $≤|a|≤√41-+1$ окружность $L$ пересекается с кругами $C2$ и $C4.$ Следовательно, система имеет хотя бы одно решение, если $|a|$ принадлежит либо отрезку $I1 = [4,6],$ либо отрезку $I= [√41− 1,√41+ 1]. 2$ Так как $4< √41− 1< 6< √41+ 1$ то объединение отрезков $I 1$ и $I 2$ есть отрезок $[4,√41-+1].$

Ответ:

$4 ≤|a|≤ √41+ 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80053

Решите систему уравнений

({ log (4x2− y2+8x − 6y− 4)=2 2x+1 ( 2 ) ( logy+2 y +6y− x+ 14 =2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что обычно стоит сделать при решении уравнений/неравенств с логарифмами?

Подсказка 2

Избавиться от них! Возведите (2x+1) в степени, соответствующие левой и правой частям первого уравнения.

Подсказка 3

Это система из 2 уравнений с 2 переменными, выразите из второго x.

Показать ответ и решение

Имеем

({4x2− y2+8x − 6y− 4= 4x2+4x+ 1 2 2 ( y +6y − x+ 14= y +4y+ 4

при условиях $0< 2x+ 1⁄= 1$ и $0< y+ 2⁄=1.$ Получаем $2 − y − 6y = −4x+ 5$ и $− x= −2y− 10.$ Следовательно, $2 − y − 6y = −8y− 35,$ т. е. $2 y − 2y− 35= 0.$ Тогда либо $y =− 5,$ и в этом случае $y+2 =− 3< 0,$ т. е. это не решение, либо $y = 7,$ а $x =2y+ 10= 24,$ и в этом случае $0< y+2 =9 ⁄=1$ и $0< 2x+ 1= 49⁄= 1,$ т. е. это решение.

Ответ:

$(24,7)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80054

Решите неравенство

√ ---- log|x|( x+5 +4)≥ 2logx2(2x+ 8)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С чего стоит начать решение данного неравенства? Что нам мешает?

Подсказка 2

Приведите логарифмы к одному основанию.

Подсказка 3

Примените метод рационализации.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x∈ (− 4,− 1)∪(−1,0)∪(0,1)∪ (1,+∞ ).$ Преобразуем к виду

√---- log|x|( x+ 5+ 4) ≥log|x|(2x +8)

При $|x|> 1$ имеем $√x+-5+ 4≥2x +8,$ т. e. $√x-+-5≥ 2x +4.$ Следовательно, либо $x< −2,$ либо $x ≥−2$ и $x +5≥ (2x+4)2.$ Тогда при $x ≥− 2$ получаем $2 4x +15x+ 11≤0,$ т. е. $[ 11- ] x∈ − 4 ,− 1 .$ Следовательно, $x≤ −1,$ а учитывая ОДЗ получаем $x ∈(−4,− 1)$ — решения. При $|x|< 1$ имеем $√---- x+ 5+ 4≤2x +8,$ т. е. $x ≥− 1.$ Учитывая ОДЗ получаем $x∈ (−1,0)∪(0,1)$ — решения.

Ответ:

$(−4,− 1)∪ (− 1,0)∪(0,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#51011

В треугольнике $ABC$ медиана $BM = 2,$ угол $ABM$ равен $arctg 2, 3$ угол $CBM$ равен $arctg 1. 5$ Найти стороны $AB, BC$ и биссектрису $BE$ треугольника $ABC.$

Источники: Физтех-2008, 11.4 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны арктангенсы, но ведь с ними крайне неудобно работать. Давайте сразу найдем синусы и косинусы заданных углов. При этом, если смотреть на треугольники, на которые разбивается ABC медианой, то можно понять, что у нас много равных элементов в них. Синусы смежных углов, общая сторона и равные стороны. На что это может намекать?

Подсказка 2

На теорему синусов, для двух этих треугольников, ведь из теоремы синусов, правильно поперенося сомножитель, можно получить AB/BC = sin(ABM)/sin(CBM). А что это дает, если знать, что сумма площадей двух наших треугольников равна площади ABC?

Подсказка 3

Верно, если мы распишем площади как произведение сторон на синус угла между ними и поделим на 2 (не зря же мы эти соотношения с синусами находили), то выразим AB через BM и углы. А значит, нашли AB и BC. Осталось найти длину биссектрисы. Как это сделать зная весь треугольник? Как угодно. Однако, изысканный читатель скажет что…

Подсказка 4

Что есть формула биссектрисы! Мы же знаем все стороны треугольника, а значит, и отношения, в котором делит сторону биссектриса. Значит, и отрезки на которые биссектриса эту сторону разбивает. Однако, если вы не знаете эту формулу, то можно просто найти через теорему синусов угол A, а также найти через теорему синусов, но уже для треугольника ABE. А отрезок AE нетрудно найти из основного свойства биссектрисы. Остаётся посчитать :)

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим $∠ABM =α,$ $∠CBM = β.$ По теореме синусов из треугольников $ABM$ и $CBM$ находим $--AB--- -AM sin∠AMB =sinα$ и $---BC-- MC- sin∠CMB = sinβ.$

Так как $∠AMB +∠CMB = π$ и $AM = MC,$ то

AB sinβ sin∠AMB =sin∠CMB и BC-= sinα-

В силу $S△ABC = S△ABM + S△CBM$ , имеем

AB ⋅BC ⋅sin(α+ β)= AB ⋅BM ⋅sinα+ BC ⋅BM ⋅sinβ

По доказанному $BC sinβ =AB sinα$ , откуда

( sinα) AB2 sinβ- sin(α +β)= 2AB ⋅BM ⋅sinα,

т. e. $AB = 2sBinM(αs+inββ) .$ Тогда $BC = 2BsiMn(αsi+nβα) .$

В нашем случае $α= arctg 23,β = arctg 15.$ Тогда $sin α= √213,cosα= √313,sinβ = 1√26,cosβ = √526$ , $sin(α+ β)= 1130√2 + 133√2 = √12.$ Следовательно, $AB = √4-,BC = 8√√2. 13 13$

Длину биссектрисы можно найти из применения теорем косинусов для $△ABE$ и $△BCE$ , а затем написав отношение полученных выражений

( ) √ - ∘ 1+-√1- 8∘2√2(1+-√2) BE = 2⋅AB-⋅BC-cos α-+β- = √-2⋅4⋅8√2- ----2-= -√------√---. AB + BC 2 13(4+ 8 2) 2 13(1+ 2 2)

Ответ:

$AB = √4-,BC = 8√√2,BE = 8√√2√2(1+√√2) 13 13 13(1+2 2)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#51339

Найти все значения параметра $a,$ при которых существует ровно две пары действительных чисел $(x;y),$ удовлетворяющих системе уравнений

{ (x+ y2 − 1)(y− √6|x|) =0 2 2ay+x = 1+a

Источники: Физтех-2007, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что задачу было бы удобно решать графически. Что мы получим из первого уравнения?

Подсказка 2

Это будут график модуля и парабола, повернутая на бок. Второе уравнение даст нам прямую.

Подсказка 3

Рассмотрите точки пересечения модуля и параболы, а также точку касания параболы и прямой.

Показать ответ и решение

$PIC$

На координатной плоскости Оху рассмотрим ломаную $L$ , задаваемую уравнением $√- y = 6|x|,$ и параболу $Π$ , задаваемую уравнением $x +y2 = 1.$ Ломаная $L$ пересекается с параболой $Π$ в точках с абсциссами $x= − 12$ и $x = 13$ и положительными ординатами. Прямая $ℓ(a)$ , задаваемая уравнением $2ay+ x= 1+a2,$ касается параболы $Π$ в точке $( ) 1 − a2;a.$ Найдем $a> 0,$ при которых точка касания $ℓ(a)$ и $Π$ является точкой пересечения $L$ и $Π$ , то есть удовлетворяет уравнению $L$ . Имеем: $1− a2 =− 12$ при $∘-- a= 32$ и $1− a2 = 13$ при $a = ∘2. 3$

Разберём случаи

При $a> ∘ 3- 2$ или $a ∈(∘ 2;∘ 3) 3 2$ прямая $ℓ(a)$ пересекает ломаную $L$ в двух различных точках, не лежащих на $Π$ . Следовательно, в этом случае система имеет ровно три решения.
При $∘ 2- a= 3$ и $∘-3 a= 2$ прямая $ℓ(a)$ пересекает $L$ в двух различных точках, одна из которых является точкой касания $ℓ(a)$ и $Π$ . Следовательно, в этом случае система имеет ровно два решения.

Далее найдём $( ∘ -) a1 ∈ 0; 23$ , при котором $ℓ(a1)$ параллельна прямой, задаваемой уравнением $y = −√6x$ . Получим $− 2a1 = −√16,$ т. е. $a1 = 21√6$ .

Аналогично ищем $a0 <0$ , при котором $ℓ(a0)$ параллельна прямой, задаваемой уравнением $y = √6x$ . Получаем $− 2a0 = 1√6$ , т. е. $a0 = − 1√- 26$ .

При $-- a∈ (-1√-;∘2) 2 6 3$ прямая $ℓ(a)$ пересекает ломаную $L$ в двух различных точках, не лежащих на П. Следовательно, в этом случае система имеет ровно три решения.
При $a∈ (−-1√-;-1√-] 2 6 2 6$ прямая $ℓ(a)$ пересекает $L$ в одной точке, не лежащей на П. Следовательно, в этом случае система имеет ровно два решения.
При $-1√- a≤ −2 6$ прямая $ℓ(a)$ не пересекается с $L.$ Следовательно, в этом случае система имеет ровно одно решение.

Осталось собрать те случаи, когда решения ровно два, и написать ответ.

Ответ:

$a= ∘ 2, a= ∘ 3, a∈ (−-1√-,-1√-] 3 2 2 6 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80050

Решить уравнение

( 2 ) ∘ --------2 2 2log3 x − 4 +3 log3(x+ 2) − log3(x− 2)= 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Распишите (x²-4) по формуле разности квадратов.

Подсказка 2

Запишите разность 2 логарифмов.

Подсказка 3

Сделайте замену.

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение к виду

2 ∘--------2 log3(x+ 2) + 3 log3(x+ 2) = 4

Пусть $∘ --------2 t= log3(x +2) ≥ 0.$ Тогда $2 t + 3t− 4= (t− 1)(t+ 4)= 0.$ Следовательно, $t= 1$ и $2 (x+2) = 3.$ Получаем $√- x= −2± 3,$ причем $√ - x =− 2+ 3$ не является решением, так как $2 √- √- x − 4=( 3 − 4) 3< 0$ и $( 2 ) log3 x − 4$ не определен, а $√- x= −2− 3−$ решение.

Ответ:

$− 2− √3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#70628

В пирамиде $SABC$ каждый из углов $ASB$ и $ASC$ равен $arccos√1 5$ , угол $BSC$ прямой, ребро $SB$ равно $a$ . Центр сферы, вписанной в пирамиду $SABC$ , лежит на высоте $SD$ . Найти $SA,SD$ и радиус сферы, вписанной в пирамиду $SABC.$

Источники: Вступительные в МФТИ - 2006

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Центр нашей сферы лежит на высоте, а уголки ∠ASB и ∠ASC равны. Не наблюдается ли тут какая-нибудь симметрия...

Подсказка 2

Действительно, наша картинка симметрична относительно плоскости SAD! Тогда SB=SC=a и AB=AC. Хочется доказать, что D будет центром вписанной окружности треугольника △ABC. Пускай A₁, B₁, C₁- основания перпендикуляров, опущенных из точки D на ВС, AC и AB соответственно. Что мы можем сказать про треугольники △SC₁D, △SB₁D и △SA₁D?

Подсказка 3

Они равны, ведь имеют общий катет SD, а острые уголочки, прилежащие к нему, равны в силу того, что SD содержит центр вписанной сферы. Тогда и высоты SC₁, SB₁ и SA₁ равны между собой ⇒ SC₁=SB₁=SA₁=a/√2. Как нам найти SB...

Подсказка 4

В треугольнике △ASB высота SC₁ равна a/√2, а сторона SB=a ⇒ ∠SBA=45°. Тогда в треугольнике △SAB мы знаем два угла и сторону ⇒ можем найти остальные стороны. Получается, что SA=a*√5/3 и AB=a*2√2/3. Т.к. SB=SC ⇒ A₁- середина BC ⇒ AA₁- высота △ABC. Если бы мы знали DA₁, мы бы легко нашли SD...

Подсказка 5

Т.к. DA₁ равен радиусу вписанной окружности треугольника △ABC, то нам необходимо просто посчитать его площадь. Его площадь равна AA₁*BC/2. Тогда r=AA₁*BC/(AB+BC+AC)=a/√14 ⇒ из теоремы Пифагоры для △SDA₁: SD=a*√(3/7). А как будем искать радиус вписанной сферы?

Подсказка 6

Давайте отразим A₁ относительно D и получим точку A₂. Нетрудно заметить, что радиус вписанной окружности треугольника △SA₁A₂ совпадает с радиусом сферы. В этом треугольнике мы уже все знаем, поэтому для вас найти его будет проще простого!

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как центр вписанной в пирамиду сферы лежит на её высоте $SD$ , то $SD$ образует равные углы с плоскостями $ASB, ASC, BSC$ . Кроме того, из симметрии следует, что $SB =SC = a, AB =AC$ .

Проведём плоскость через $SD$ перпендикулярно $AB$ . Пусть эта плоскость пересекает $AB$ в точке $C1$ . Аналогично построим точки $B1,A1$ . Заметим, что треугольники $SDC1, SDB1, SDA1$ равны, так как они прямоугольные, имеют общий катет $SD$ , а углы $DSC1, DSB1, DSA1$ равны, как углы между $SD$ и плоскостями $ASB, ASC, BSC$ . Тогда $SC1 =SB1 = SA1$ и эти отрезки являются высотами боковых граней пирамиды. Из прямоугольного треугольника $SBC$ находим его высоту $SA1 = a√2$ .

Рассмотрим треугольник $ASB$ . Пусть $SA = b, ∠ASB =α$ . Тогда по теореме косинусов

∘ ------------ ∘ -2--2---------- 2 2 -2- AB = a + b− 2abcos(α)= a + b− √5 ab

(1)

Так как $SC1 =SA1 = a√2$ и $AB ⋅SC1 = SA⋅SB ⋅sin(α),$ то

∘------------ √a- a2+ b2− 2√-ab= ab 2√- =⇒ a2+b2− √2ab= 8b2 2 5 5 5 5

Полагая $a b = x,$ получаем уравнение

2 3 x2− √5x− 5 =0

Откуда

1 ∘1---3 3 a a√5 x= √5-+ 5 + 5 = √5-; SA= b= x = -3--

Тогда из $(1)$ получаем $√- AB = 2a32-$ . Так как $SB =SC$ , то $A1$ является серединой $BC,$ а из равенства $AB = BC$ следует, что $AA1$ является высотой треугольника $ABC,$ причём $∘----------- AA = AB2 − ( BC)2 = a∘-8−-1= a∘ 7 1 2 9 2 3 2$ .

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ .

Тогда $r =DA = DB = DC 1 1 1$ . Из равенства $(AB +AC + BC)r= AA ⋅BC : 1$

( 4a√2 √-) a∘-7 √- a -3--+ a 2 r= 3 2 ⋅a 2 =⇒ r= DA1 = √14

Тогда

------ -- ∘---2----2 ∘ 1 1- ∘ 3 SD = SA 1− DA 1 = a 2 − 14 = a 7

Рассмотрим треугольник $SDA1$ . Отразив точку $A1$ симметрично $SD,$ получим точку $A2$ . Пусть радиус сферы равен $R$ . Заметим, что он равен радиусу окружности, вписанной в треугольник $A2SA1$ . Тогда $(2r +2SA1)R= 2r⋅SD :$

( ∘ -- √-) ∘-- ∘-- √- a 2+ a 2 R = a 2⋅a 3 =⇒ R = -a-3√- 7 7 7 7+ 7

Ответ:

$SA = a√5,SD = a√21,R= a√3(7−√7) 3 7 42$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#51846

Решить систему уравнений

{ (x− 2)(x +3)= y(y − 5); log (2 − y)=-x. x y2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В системах уравнений, где есть какая-то кракозябра и нормальное уравнение (а это почти каждая задача с физтеха) надо сначала поработать с нормальным уравнением, как-то его попреобразовывать, чтобы оно дало нам некоторую связь на переменные, которую мы могли бы использовать для упрощения кракозябры. Посмотрим на первое уравнение, так как именно оно претендует на нормальное. Попробуйте как-то разложить данное выражение (после переноса всего в одну часть, разумеется).

Подсказка 2

Подумаем, какими теоретически могут быть скобки. У нас точно в каждой должно быть x и y, притом понятно, с какими коэффициентами. Значит, остаётся подобрать свободные коэффициенты, чтобы у нас по итогу вышло нужное количество x и y. После этого у нас будет два выражения для y через х, при том это будут линейные выражения. Останется только проверить, подходят ли они под ОДЗ, которое получается из логарифма и после подстановки. Но остается вопрос: все ли пары (x,y), которые будут таким образом получены, будут подходить под систему и ограничения, или надо проверить их на выполнение ОДЗ? Попробуйте подумать об этом в терминах достаточных и необходимых условий, а не просто подставить их в систему.

Показать ответ и решение

Первое уравнение можно записать так:

2 2 x − y + x+ 5y − 6 =0 ⇐⇒ (x+ y− 2)(x− y +3)= 0, откуда

x =y − 3 (1)

x =2 − y (2)

Из второго уравнения системы следует, что

2− y > 0,x> 0,x⁄= 1 (3)

a) Если справедливо равенство (2), то из второго уравнения системы находим $x =y2,$ откуда, используя равенство (2), получаем $2− y = y2$ или $(y− 1)(y+ 2)=0.$ Пусть $y =1,$ тогда $x= 1,$ и не выполняются условия (3). Пусть $y = −2,$ тогда $x= 4$ и $(4;−2)$ — peшение данной системы.

б) Если справедливо равенство (1) и условия (3), то $y > 3$ и $y < 2,$ что невозможно.

Ответ:

$(4;− 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#79184

Найти все значения параметра $a$ , при которых система неравенств

{ x2+ 2x+a ≤0 x2− 4x− 6a ≤0

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные в МФТИ - 2004

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите каждое неравенство системы, первое из них приведите к виду а ≤ f(x), второе — к а ≥ g(x).

Подсказка 2

В системе координат хОа выполните построение графиков функций а = f(x), а = g(x).

Подсказка 3

Зафиксируйте область, которая соответствует решению неравенств. То есть определите, какие точки являются множеством решения для каждого из неравенств. ("Выше", "Ниже", "Не выше" или "Не ниже" параболы)

Подсказка 4

Стоит отметить, что множеством решений системы является область, удовлетворяющая обоим неравенствам, так как перед нами система.

Подсказка 5

Посмотрите, при каком а будет единственное решение. Для этого необходимо понять, при каких значениях параметра горизонтальная прямая будет иметь с выделенной областью ровно одну точку пересечения.

Показать ответ и решение

Перепишем исходную систему в виде

(| 2 {a ≤− x2 − 2x |(a ≥ x-− 4x 6

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ ℝ,$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S.$

Построим на плоскости множества решений каждого из неравенств системы, а затем найдем пересечение этих множеств.

Множеством решений первого неравенства являются точки, лежащие не выше параболы $f(x)= −x2− 2x.$
Множеством решений второго неравенства являются точки, лежащие не ниже параболы $g(x)= x2− 4x. 6$

Убедимся, что вершина параболы $f$ лежит выше параболы $g.$ Ее координаты равны

x1 = − 2−⋅2(−1)-=− 1; a1 =f(−1)= 1

Так как $g(−1)= 5< 1= f(− 1), 6$ то вершина параболы $f$ действительно лежит выше параболы $g.$

Построим графики.

$PIC$

Множеством $S$ решений системы является пересечение внутренних областей парабол $f$ и $g,$ включая границы.

Только горизонтальные прямые $l1 :a= 0$ и $l2 :a= 1$ будут иметь с $S$ ровно одну точку пересечения. При этом $l2$ — касательная в вершине параболы $f,$ а не прямая, проходящая через точку пересечения парабол.

Любая горизонтальная прямая ниже $l1$ или выше $l2$ не будет иметь пересечений с множеством $S.$

Прямые между $l1$ и $l2$ будут иметь больше одной точки пересечения с $S.$

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при

a∈ {0;1}

Ответ:

${0;1}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#79186

Найти все значения параметра $a$ , при которых уравнение

x log7(7 − log7a)= 2x

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные в МФТИ - 2004 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перепишем уравнение в более приятном виде: 7^x - log_7(a) = 7^2x (учитываем ли мы ОДЗ?). Здесь видно, что можно сделать замену t = 7^x и получить квадратное уравнение. Какие тогда у нас случаи возможны, если мы хотим, чтобы было ровно одно решение нашего исходного уравнения?

Подсказка 2

Верно, у нашего квадратного уравнения либо должен быть ровно 1 положительный корень, либо корни разных знаков (то есть 1 положительный, а другой неположительный). Первая ситуация понятно описывается на математическом языке. А как быть со второй? Какую систему условий надо сделать, ко второму случаю?

Подсказка 3

Верно, во-первых, D > 0, во-вторых, log_7(a) ≤ 0. Осталось решить систему, найти решения для первого случая и записать ответ!

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно $7x − log a =72x 7$ (заметьте, что ограничение на аргумент логарифма учитывается, так как $72x > 0)$

При замене $x 7 =t$ требование единственности решения для $x$ равносильно требованию единственности положительного решения для $t$ у уравнения

2 t − t+ log7a= 0

Это возможно в двух случаях: либо уравнение имеет единственное решение $t >0 0$ , либо уравнение имеет два корня разных знаков.

В первом случае получаем $1− 4log a= 0, 7$ то есть $log a= 1. 7 4$ И тогда $t= 1> 0, 2$ поэтому $a= 714$ подходит.

Во втором случае существуют корни $t1$ и $t2$ при

1 D >0 ⇐ ⇒ 1− 4log7a >0 ⇐⇒ 0< a< 74

По теореме Виета $t1⋅t2 =log a, 7$ так что уравнение имеет ровно один положительный корень только при $log a≤0, 7$ то есть $0 <a ≤1.$

Ответ:

$(0;1]∪{√47-}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#46603

Решите уравнение

2x− 1 π arctg x +arcsinx= 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно ли избавиться от π/2?

Подсказка 2

Воспользуйтесь формулами приведения для одной из аркфункций.

Подсказка 3

Можно применить к обеим частям уравнения косинус или тангенс, но кажется, что работать с такой вещью будет неудобно... А может ли нам помочь какая-то тригонометрическая формула?

Подсказка 4

Вспомните формулу квадрата тангенса.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

2x−-1 arctg x =arccosx

С учётом формулы

1− cos2(arccosx) 1 − x2 tg2(arccosx)= --cos2(arccosx)-= --x2-

получаем уравнение-следствие:

√----- 2x−-1= -1-− x2 x x

На ОДЗ $0< |x|≤ 1$ можно домножить на знаменатель и возвести в квадрат:

2 2 4x − 4x+ 1= 1− x

x = 4 5

Теперь обязательно надо проверить, что найденное значение подходит в исходное уравнение:

245 −-1 4 arctg 45 = arccos 5?

arctg 34 =arccos45 =arcsin35 ∈ (− π2;π2)

Ответ:

$4 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#51849

Решить неравенство

√ ---- √ ---- 2 log2x−12( x+ 1− 9− x) <1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что нужно делать, когда видите много логарифмов и корней (да и вообще, если просто видите логарифмы) — писать ОДЗ. Второе, что мы здесь видим — левая и правая часть есть логарифмы по одному основанию, так как 1 можно представить схожим образом. Значит, остаётся неравенство на выражения внутри логарифмов. Здесь мы можем либо применить метод рационализации, либо просто рассмотреть два случая. А каких? И почему, если мы не знаем волшебного метода, надо рассматривать два случая при получении неравенства на логарифмы с одним и тем же переменным основанием?

Подсказка 2

Верно, потому что если наше основание будет меньше 1, то неравенство будет в одну сторону, а если больше 1, в другую, так как возведение чисел в отрицательную степень меняет порядок. Значит, надо рассмотреть эти два случая и в каждом из них получить свои интервалы, после чего правильно их склеить и получить ответ!

Показать ответ и решение

ОДЗ определяется условиями:

√---- √ ---- x≥ −1, x≤ 9, x +1 > 9− x, 2x− 12> 0,2x− 12⁄= 1

x∈ (6;6,5)∪ (6,5;9]

На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

2log (√x+-1− √9−-x)< log (2x − 12) (∗) 2x−12 2x−12

1) Пусть $x ∈(6,123 ),$ тогда неравенство (*) равносильно каждому из неравенств $(√x-+-1− √9-−-x)2 > 2(x− 6)$ , $11− x > √9+-8x-− x2$ , $121− 22x +x2 > 9+ 8x− x2$ , $x2− 15x+56 =(x− 7)(x− 8)>0,$ откуда следует, что значения $x$ из интервала $(6,123)−$ решения неравенства (*).

2) Пусть $x∈(13,9], 2$ тогда неравенство (*) равносильно неравенству $(x− 7)(x− 8)< 0,$ откуда $7< x< 8$ .

Ответ:

$(6;13)∪ (7;8) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#78772

Найти все значения $a$ , при которых система

{ log(3− x+ y)+ 3= log (25 − 6x+ 7y), y +22 =(x− 2a)2+ a+ 22x.

имеет ровно два решения.

Источники: Вступительные в МФТИ - 2002 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу после того, как мы преобразовали нашу систему к более приемлемому виду (а именно засунули тройку в логарифм и переписали вместе с ОДЗ систему) можно, к примеру, подставить значение y из первого уравнения во второе.

Подсказка 2

У нас получится система x > -4, (x - 2a)^2 = 3 - a. По условию нам нужно, чтобы было два решения. Как это можно переформулировать для полученной системы?

Подсказка 3

Это значит, что полученное квадратное уравнение должно иметь два различных корня, больших -4. Для этого нужен положительный дискриминант, вершина с абсциссой правее точки -4 и положительное значение функции в самой точке х=-4. Осталось решить эту систему и найти ответ!

Показать ответ и решение

Первое уравнение системы по свойствам логарифмов равносильно $24− 8x+8y =25− 6x+ 7y >0,$ поэтому после приведения подобных получаем

( |{ y = 1+2x |( x− y < 3 2 y+2 =(x− 2a)+ a+ 2x

{ x> −4 (x − 2a)2 = 3− a

Чтобы исходная система имела ровно $2$ решения, нужно, чтобы полученная система имела $2$ решения, потому что $y =1+ 2x$ каждому $x$ соответствует ровно одна пара решений.

Значит, нужно найти такие значения $a$ , при которых квадратное относительно $x$ уравнение

(x− 2a)2 = 3− a

имеет два различных корня $x1, x2 >− 4.$ Рассмотрим, когда график параболы $f(x)= x2− 4ax+4a2+ a− 3$ удовлетворяет условиям:

$PIC$

Необходимо и достаточно, чтобы

( |{ D > 0 | xв > −4 ( f(−4)= 16+16a+ 4a2 +a− 3> 0

Решив получившуюся систему, получаем ответ.

Ответ:

$(−1;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#78856

Решить уравнение

2 2 cos2x- sin 2x+ sin 4x= 1− cos3x

Источники: Вступительные в МФТИ - 2002 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Согласитесь, неудобно работать с синусами и косинусами от разных аргументов, так еще и в разных степенях. Подумайте, с помощью какой формулы можно избавиться сразу и от синусов, и от квадратов?

Подсказка 2

Давайте понизим степень у синусов и сложим две полученные дроби. Тогда после приведения подобных мы слева получили сумму косинусов, а справа произведение, так еще и аргументы у них у всех разные. Какой формулой можно облегчить своё положение? Обратите внимание, что (8x-4x)/2=2x.

Подсказка 3

Давайте в левой части уравнения преобразуем сумму в произведение, теперь наше уравнение приобрело следующий вид: cos(6x)2x = cos(2x)/cos(3x). Что можно дальше сделать с ним?

Подсказка 4

Приведем всё к одному знаменателю и вынесем общий множитель. Получаем совокупность уравнений cos(2x) = 0; cos(3x)cos(6x) = 1. С первым всё понятно, а в каком случае второе уравнение будет иметь решения?

Подсказка 5

Вспомним, что функция косинуса принимает значения от -1 до 1, а значит, произведение косинусов может быть равно 1 в крайне редких случаях.

Показать ответ и решение

По формуле понижения степени получаем

1− cos4x 1−-cos8x cos2x 2 + 2 =1− cos3x

cos4x+ cos8x cos2x -----2-----= cos3x-

По формуле суммы косинусов получаем

cos6xcos2x = cos2x- cos3x

cos2x(cos3x⋅cos6x − 1)= 0, cos3x⁄= 0

Уравнение $cos2x = 0$ имеет корни

x= π + πn ,n ∈ℤ 4 2

а, уравнение $cos3xcos6x =1$ по методу оценки имеет корни только в случае $|cos3x|= 1.$

Если $|cos3x|= 1,$ то $cos6x= 2cos23x− 1= 1$ и поэтому

cos3xcos6x =1

будет равносильно

cos3x =1

2πn x= -3-,n∈ ℤ

Ответ:

$π + πn, 2πn, n ∈ℤ 4 2 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#106680

Окружность с центром на стороне $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ $(AB = BC)$ касается отрезка $AC$ в точке $F,$ пересекает отрезок $BC$ а точке $G,$ проходит через точку $B$ и пеpeceкaeт отрезок $AB$ в точке $E,$ причем $AE = a,∠BF G =γ.$ Найти радиус окружности.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим угол OBG за x и посчитаем некоторые уголочки. Как воспользоваться углом из условия. Как он связан с углом x?

Подсказка 2

В треугольнике OBG все углы выражаются через x и γ, и мы можем выразить один через другой! А что можно сказать про углы треугольника ABC?

Подсказка 3

Угол A также можно выразить через угол x, а, значит, и через угол γ! А каким условием мы еще не пользовались?

Подсказка 4

AF — касательная к окружности! Какие выводы можно сделать из этого?

Подсказка 5

Треугольник AOF — прямоугольный, у которого нам надо найти катет через уже известные нам углы и отрезки ;)

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности радиуса $R,∠OBG = φ,$ тогда

∠BOG =2γ, 2φ +2γ = π,

откуда

π π φ- π γ φ= 2 − γ, ∠A = 2 − 2 = 4 + 2.

$PIC$

Из треугольника $OAF$

R = (R +a)sinA

R(1− sin A)= asinA

(π γ) R = a-sin-4( +-2γ) 1− sin π4 + 2

Ответ:

$-asin(π4 +-γ2) 1 − sin (π4 + γ2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#79281

Решить систему уравнений

{ 3x+y+1+7 ⋅3y−2 = 8 ∘x-+-y2 =x +y

Источники: Вступительные в МФТИ - 2001 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое уравнение выглядит проще и что с ним можно сделать, как преобразовать?

Подсказка 2

Конечно, второе уравнение выглядит приятнее, и мы можем просто возвести обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня. И оно сразу на скобочки раскладывается, как тогда можем продолжить решение?

Подсказка 3

Мы знаем, чему равен x, тогда можем просто подставить это в первое уравнение, чтобы найти y! Получаются показательные уравнения, которые уже легко решаются через замену

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Потребуем, чтобы $x +y > 0$ и возведем его в квадрат, тогда получим:

2 2 2 x+ y = x + 2xy +y

Откуда получаем

x(x+ 2y − 1)= 0

Тогда либо $x = 0,$ либо $x =1 − 2y.$

Если $x= 0$ (подставим в первое уравнение системы):

3y+1+ 7⋅3y−2 = 8

( ) 3y 3+ 7 =8 9

( ) 3y = 36⇒ y =log3 36 17 17

Если же $x =1 − 2y :$

32−y+ 7⋅3y−2 = 8

-1--+7⋅3y−2 = 8 3y−2

Сделаем замену $t= 3y−2$ и получим уравнение:

7t2− 8t+1 =0

Корни которого будут равны $t1 =1$ и $t2 = 1. 7$

При $t1 = 1$ нужно решить уравнение $3y−2 = 1⇒ y =2$ . Получаем, что $x= 1− 2y =− 3.$ Вспоминаем, что $x +y >0,$ значит, это решение не подходит.

При $t2 = 1 7$ нужно решить $3y− 2 = 1, 7$ то есть $y = 2− log3 7,$ а $x= 2log37− 3.$ Проверим, что $x+ y > 0.$

x+ y = log37− 1> log33− 1= 0

Значит, это решение нам подходит.

Ответ:

$(0, log (36)) , (2log 7− 3, 2− log 7) 3 17 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#80048

Через точку $A$ проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке $B,$ а другая пересекает эту окружность в точках $C$ и $D$ так, что $D$ лежит на отрезке $AC.$ Найти $AB,CD$ и радиус окружности, если $1 BC = 4,BD =3,∠BAC = arccos3.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим AB за x, AD за y. Проведена касательная к окружности — какие равенства это за собой влечёт?

Подсказка 2

Угол между касательной и хордой равен углу, опирающемуся на эту хорду! Тогда можно обратить внимание на то, в каких треугольниках присутствуют равные углы. Ищем отрезки, значит, стоит записать какие-то отношения!

Подсказка 3

Треугольники ABC и ABD подобны! Тогда можно выразить какие-то отрезки через введённые переменные. Как думаете, зачем нам дали арккосинус?) Как он может помочь в счёте отрезков?

Подсказка 4

Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC. Тогда мы сможем выразить x ;)

Подсказка 5

А как связаны y и x на картинке? Как они были построены?

Подсказка 6

Воспользуемся свойством о квадрате касательной! Тогда можно будет найти y ;)

Подсказка 7

А как мы ищем радиус описанной окружности, если известны какие-то и углы и стороны треугольника?

Подсказка 8

Воспользуемся теоремой синусов!

Показать ответ и решение

Обозначим $AB = x,AD = y,∠BAD = α,∠ACB = φ$ . Тогда $∠ABD = φ.$

$PIC$

Из подобия треугольников $ABC$ и $ABD$ следует, что $AB- AD- 3 AC = BC = 4,$ откуда $4 AC = 3x$ .

Из треугольника $ABC$ по теореме косинусов получаем

BC2 = AB2 +AC2 − 2AB⋅AC ⋅cosα

2 16 2 4 1 17 2 16= x + 9 x − 2x⋅3 x⋅3 = 9 x

, oткyда $-12- AB = x= √17.$

По свойству касательной и секущей

AB2 = AD ⋅AC,

2 4 x = y⋅3x,

откуда

9 16 9 7 AD = √17,DC = AC− AD = √17 − √17-= √17

Пусть $R$ — радиус окружности, тогда

R= -BD--= --3--. 2sin φ 2sin φ

Из треугольника $ABD$ по теореме синусов имеем

AD--= BD-, sinφ sinα

где

2√2 AD sin α ∘-2- 3√17 sinα = -3-,sinφ= ---3---= 2 17,R = 4√2-

Ответ:

$AB = √12-,CD = √7,R = 3√1√7 17 17 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#51604

Решить уравнение

sin27x cos27x sin2x = 16cos4x(1+ 2cos4x)+ cos2x .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте похожие слагаемые перенесём в одну часть. Чему равна разность дробей? Приведём к общему знаменателю!

Подсказка 2

После приведения к общему знаменателю в числителе появится разность квадратов. А что получится внутри каждой скобки после разложения?)

Подсказка 3

В числителе образуется произведение синусов двойных углов, которые также можно расписать в произведение. Теперь хочется некоторую часть числителя преобразовать так, чтобы получить что-то похожее на скобку из правой части уравнения.

Подсказка 4

Попробуйте расписать cos(6x)cos(2x).

Подсказка 4

cos(6x)cos(2x) = sin(2x)cos(2x)(1+2cos(4x)). Тогда можно подставить это в числитель нашей дроби и сократить всё, что можно! Останется несложное уравнение на косинусы ;)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sin2x⁄= 0$ . Воспользуемся равенствами

sin27x cos2-7x sin8xsin6x- 16cos4xsin2xcos2xsin6x sin2 x − cos2x = sin2xcos2x = sin22x

1 1 cos2xsin6x= 2(sin8x+ sin4x)= 2sin 4x(1+ 2cos4x)= sin2xcos2x(1+ 2cos4x)

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

2 16cos4x-sin-2xco2s2x(1-+2cos4x)= 16cos4x(1+ 2cos4x) sin 2x

Это уравнение на ОДЗ равносильно уравнению

cos4x(1+2cos4x)cos2x= cos4x(1+2cos4x)

а уравнение это равносильно совокупности уравнений

⌊ cos4x= 0 |⌈ cos4x= − 12 cos2x= 1

Первые два уравнения имеют корни $x= π8 + π4n,$ $n∈ ℤ$ и $x= ±π6 + πn2-,$ $n∈ ℤ$ и эти корни удовлетворяют ОДЗ, а из последнего следует, что $sin2x= 0$ .

Ответ:

$π + πn,± π+ πn, n∈ ℤ 8 4 6 2$

Следующая подтема