Тема Росатом

Росатом - задания по годам → .02 Росатом 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Разделы подтемы Росатом - задания по годам

Росатом 2015 и ранее

Росатом 2016

Росатом 2017

Росатом 2018

Росатом 2019

Росатом 2020

Росатом 2021

Росатом 2022

Росатом 2023

Росатом 2024

Росатом 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#44069

Сколько пар $(x;y)$ целых чисел, являющихся решениями уравнения $7x − 5y = 23,$ удовлетворяют неравенству $x2+ y2 ≤37?$ Найти пару $(x;y),$ для которой $x+ y$ наибольшее.

Показать ответ и решение

Легко видеть, что $|x|≤ 6,|y|≤6.$ При $y ∈ [−6,6]$ выражение $23+ 5y$ кратно семи только при $y ∈ {− 6,1}.$ Для $x$ имеем соответственно ${−1,4}.$ Наибольшее значение $x+ y$ равно $5.$

Ответ:

$2$ пары, наибольшую сумму имеет пара $(4,1)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#46108

Вершины куба случайным образом покрашены в два цвета, причем четыре вершины в желтый цвет, а остальные четыре – в зеленый. Петя, не обращая внимания на раскраску вершин, бросает кубик на стол. Найти вероятность того, что все вершины, оказавшиеся на плоскости стола, будут желтыми.

Источники: Росатом-16, 11.4 (см. rsr-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Всего способов покрасить $8$ вершин кубика в $2$ цвета, то есть разделить на две группы по $4$ вершины, имеется $C4 =70 8$ штук.

Из них есть $6$ , когда жёлтые вершины окажутся в плоскости одной грани (потому что всего граней $6$ ). Так что вероятность того, что в кубе окажется "жёлтая"грань равна $-6 70.$

При этом вероятность попадания нужной "жёлтой"грани (при условии того, что она есть) равна $1 6$ . Откуда по формуле условной вероятности искомая вероятность равна $6- 1 70 ⋅6$ .

Ответ:

$-1 70$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#46109

Васе предложили участвовать в соревнованиях по стрельбе из рогатки, пневматического пистолета и ружья. Вероятность поражения мишени из рогатки равна $0,2$ , из пистолета — $0,7$ , из ружья — $0,8$ . Вася стрелял из каждого оружия по два раза. Найти вероятность того, что он допустил только один промах.

Источники: Росатом-16, 11.4 (см. rsr-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Возможны три несовместных случая, разберём каждый и сложим вероятности.

Вася промахнулся только один раз — из рогатки. С учётом порядка этого промаха из двух выстрелов имеем вероятность
$P(A)= 2⋅0.2⋅0.8⋅0.72⋅0.82$
Вася промахнулся только один раз — из пистолета. Аналогично получаем
$P(B)= 2⋅0.7⋅0.3⋅0.22⋅0.82$
Был только один промах — из ружья. Здесь
$P(C)= 2⋅0.2⋅0.8⋅0.22⋅0.72$

В итоге $P(промах ровно один)= P(A )+P(B)+ P(C)= 0.117376.$

Ответ:

$0.117376$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#46110

Петя и Вова играют в кости на деньги. Ведущий игру Петя выигрывает, если при бросании им двух игральных кубиков сумма выпавших на них очков не превосходит $4$ и проигрывает во всех остальных случаях. Проиграв, Петя отдаёт Вове $1$ рубль, выиграв — получает от Вовы $k$ рублей. Игра считается справедливой, если среднее значение выигрыша каждым игроком равна нулю. Найти значение $k,$ при котором игра будет справедливой.

Источники: Росатом-16, 11.4 (см. rsr-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что Петя выигрывает с вероятностью $p= 1 6$ (подходят исходы $(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2)$ — их $6$ из $36$ ). Справедливая цена игра означает, что Петя имеет нулевой средний выигрыш, то есть

p⋅k+ (1 − p)⋅(− 1) =0

1− p k = p = 5

Ответ:

$5$

Предыдущая подтема

Следующая подтема