Тема Росатом

Росатом - задания по годам → .01 Росатом 2015 и ранее

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Разделы подтемы Росатом - задания по годам

Росатом 2015 и ранее

Росатом 2016

Росатом 2017

Росатом 2018

Росатом 2019

Росатом 2020

Росатом 2021

Росатом 2022

Росатом 2023

Росатом 2024

Росатом 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#49158

Положительное целое число $x$ при делении на $7$ имеет остаток $2,$ а его квадрат $x2$ при делении на $49$ имеет в остатке $39.$ Сколько таких чисел находится на отрезке $[100;1000]$ ?

Источники: Росатом-14, 11.4 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если число дает остаток 2 по модулю 7, то какой остаток оно может давать по модулю 49?

Подсказка 2

Да, только остатки 2,9,16,23,30,37,44. Но при этом у нас есть условие и про квадрат этого числа. Все ли остатки из списка выше подходят под условие?

Подсказка 3

Нет, под условие подходит только остаток 23, а это значит, что чтобы записать ответ, осталось лишь найти все числа х=23(mod49) !

Показать ответ и решение

Числа, дающие по модулю $7$ остаток $2$ , могут давать по модулю $49$ только остатки $2,9,16,23,30,37,44$ . При возведении этого остатка в квадрат должно получиться $39$ по модулю $49$ — этому условию удовлетворяет только остаток $23$ . Отсюда нам подходят те и только те числа, которые дают остаток $23$ по модулю $49$ . Это числа $121,170,...954$ , которых $18$ штук.

Ответ:

$18$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#76942

Математический бильярд имеет форму параллелограмма $ABCD$ . На сторонах $AD$ и $CD$ соответственной расположены точки $E$ и $F$ так, что $AE :ED =1 :2$ , а $DF :FC =1 :3$ . Шар находится в точке $M$ пересечения прямых $BF$ и $CE$ . Известно, что шар, направленный в точку $N$ борта $BC$ , отразившись от четырех различных бортов, вернулся в точку $M$ и, продолжив свое движение, повторил свою предыдущую траекторию. Найти величину отношения $BN$ : $NC$ , если известно, что траектория шара — выпуклый четырехугольник.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм... Бильярдный стол формы параллелограмма, интересно, конечно, но не очень практично. К тому же, наш шар катится по одной и той же выпуклой траектории, вряд ли такое могло произойти в обычном параллелограмме. Давайте попробуем выяснить что-то ещё про форму ABCD, посчитав уголочки отражения.

Подсказка 2

Действительно, если посчитать углы, то выясним, что они разбиваются на две пары равных. А из этого следует, что ABCD не только параллелограмм, но и прямоугольник!

Подсказка 3

Прежде чем размышлять о том, как выглядит траектория шара, хорошо бы понять, откуда она начинается. Давайте введём декартову систему координат с началом в точке A. Тогда нетрудно найти уравнения, задающие прямые CE и BF.

Подсказка 4

Раз уж мы ввели систему координат, то, наверное, хочется найти уравнение прямой MN, чтобы понять, в каком отношении точка N делит BC. Кроме того, не просто так нам сказали про точку M', а мы пока никак ей не воспользовались. Подумайте, как нам использовать M' для построение уравнения прямой MN.

Подсказка 5

Равные углы отражения и тот факт, что бильярдный стол — это прямоугольник, намекают нам на то, что мы должны выпрямить нашу траекторию в один отрезок с начало в M и концом в M'. Давайте поочерёдно отразим наш прямоугольник относительно всех его сторон, чтобы выпрямить траекторию.

Показать ответ и решение

Рассмотрим траекторию движения, следуя правилу "угол падения равен углу отражения". Пусть эти углы равны $α ,α ,α ,α 1 2 3 4$ для случаев отражения от бортов $BC$ , $AB$ , $AD$ , $CD$ соответственно. Тогда выполняются равенства $α1+ α4 = α2+α3$ и $α1+ α2 = α3+ α4$ из тех соображений, что противоположные углы параллелограмма равны. Из этих равенств вытекает, что $α1 = α3$ и $α2 = α4$ , из чего, в свою очередь, следует, что $ABCD$ – прямоугольник.

$PIC$

Введём аффинную систему координат, в которой $A(0;0)$ , $D(1;0)$ , $B(0;1)$ , $C(1;1)$ и выпишем уравнения прямых $CE$ и $BF$ . Поскольку $E(13;0)$ и $F(1;14)$ , прямые $CE$ и $BF$ задаются уравнениями:

y = 3x− 1 и y = − 3x+1 2 2 4

соответственно, а их точкой пересечения будет $M (2;1). 3 2$

Теперь отразим прямоугольник $ABCD$ зеркально сначала от стороны $AB$ , затем от стороны, в которую перешла $BC$ при этом отражении, и далее для двух оставшихся сторон по тому же принципу. Это стандартная процедура "выпрямления"бильярдной траектории, соответствующая равенству угла падения углу отражения.

$PIC$

При таких "зеркальных"отражениях траектория становится отрезком $MM ′$ , где $M ′$ - образ точки $M$ после серии отражений. Её координаты легко вычислить: после четырёх отражений прямоугольник сохранил ориентацию, и сдвинулся на два размера влево и на два размера вверх. Таким образом, $M ′(23 − 2;12 + 2)$ , и прямая $MM ′$ имеет угловой коэффициент $− 1$ . Её уравнением будет

y =− x+ 7 6

и прямую $BC$ , заданную уравнением $y = 1$ , она пересекает в точке с абсциссой $x= 16$ . Это значит, что точка $N$ , в которую был направлен шар, делит отрезок $BC$ в отношении $1:5$ .

Ответ: 1 : 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#49156

Для каких натуральных $y$ уравнение

2 x + НОД (y;4)⋅x − 6Н ОД(y;3)= 0

имеет целые решения?

Источники: Росатом-12, 11.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По сути перед нами квадратное уравнение относительно х, но со странными коэффициентами. Подумайте, как можно в явном виде определить эти коэффициенты.

Подсказка 2

Да, мы можем определить эти коэффициенты только по остатку от y при делении на 12. То есть нужно перебрать 12(на самом деле меньше вариантов), получить квадратное уравнение и решить задачу(но главное-правильно записать ответ, ведь мы берем только остаток, и а y может быть и другим)

Показать ответ и решение

Заметим, что $a= НОД(y;4)∈ {1,2,4},b= НО Д(y;3)∈{1,3}$ , обе принадлежности определяются остатком $y$ по модулю $12$ . Разберём случаи

$a =1,b= 1$ . Получаем уравнение $x2+ x− 6= 0$ , которое имеет целые корни $x= −3,2$ . Этому случаю удовлетворяют остатки $1,5,7,11$ .
$a =2,b= 1$ . Получаем уравнение $2 x +2x− 6= 0$ , которое целых корней не имеет.
$a =4,b= 1$ . Получаем уравнение $2 x +4x− 6= 0$ , которое целых корней не имеет.
$a =1,b= 3$ . Получаем уравнение $x2 +x− 18= 0$ , корней нет.
$a =2,b= 3$ . Получаем уравнение $x2 +2x− 18= 0$ , корней нет.
$a =4,b= 3$ . Получаем уравнение $x2 +4x− 18= 0$ , корней нет.

Ответ:

$y ∈{{1,5}+ 6k}, k∈ ℕ∪{0}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49161

Найдите натуральные числа $n$ , для которых

( 2 ) ( 2 ) НОК n,n +15 ⋅НОК(n,n+ 3)=5 n + 45 .

Источники: Росатом-12, 11.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте поподстовлять достаточно большие n в это уравнение и что-то заметить. Какая часть уравнения выбивается и почему?

Подсказка 2

Давайте посмотрим на выражение. Видно, что слева что-то очень большое, как минимум потому, что НОК(n,n^2+15)-это что-то (по примерным оценкам) точно большее квадрата(если мы оцениваем в общем виде), да еще, к тому же, НОК(n,n+3)-это тоже что-то большое, так как их максимальный НОД это 3(их разница делится лишь на 1 и 3). Значит, в задаче используется оценка. Подумайте как оценить каждый НОК

Подсказка 3

Любой НОК(a,b)>=max(a,b). Зная это, каждый из НОК-ов оценивается понятно, и произведение НОК-ов - кубическая функция. Но при этом квадратная ее больше или равна. Часто ли такое случается?

Подсказка 4

Ну конечно же, не часто. Потому что рано или поздно кубическая функция станет больше квадратичной. И это происходит только при n<=5. Осталось перебрать и получить ответ.

Показать ответ и решение

Воспользуемся очевидным неравенством $Н ОК(a,b)≥ max{a,b}$ . Отсюда следует

2 2 3 2 5(n +45)≥(n + 15)⋅(n+ 3) ⇐ ⇒ f(n)= n − 2n + 15n− 180 ≤0

Заметим, что $f′(x)= 3x2 − 4x+ 15> 0∀x∈ ℝ$ , то есть функция монотонно возрастает. Поскольку при $n = 6$ имеем $f(n)=54> 0$ , то $n ≤5$ . Заметим также, что один из НОК-ов должен делиться на $5$ , что не выполняется при $n= 1,3,4$ , поэтому остаётся перебрать два случая

$n =2$ . Получаем $38⋅5⁄= 5⋅(1+45)$ .
$n =5$ . Получаем $40⋅40⁄= 5⋅70$ .

Ответ:

решений нет

Следующая подтема