Тема Росатом

Росатом - задания по годам → .01 Росатом 2015 и ранее

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Разделы подтемы Росатом - задания по годам

Росатом 2015 и ранее

Росатом 2016

Росатом 2017

Росатом 2018

Росатом 2019

Росатом 2020

Росатом 2021

Росатом 2022

Росатом 2023

Росатом 2024

Росатом 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#49158

Положительное целое число $x$ при делении на $7$ имеет остаток $2,$ а его квадрат $x2$ при делении на $49$ имеет в остатке $39.$ Сколько таких чисел находится на отрезке $[100;1000]$ ?

Источники: Росатом-14, 11.4 (см. rsr-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Числа, дающие по модулю $7$ остаток $2$ , могут давать по модулю $49$ только остатки $2,9,16,23,30,37,44$ . При возведении этого остатка в квадрат должно получиться $39$ по модулю $49$ — этому условию удовлетворяет только остаток $23$ . Отсюда нам подходят те и только те числа, которые дают остаток $23$ по модулю $49$ . Это числа $121,170,...954$ , которых $18$ штук.

Ответ:

$18$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#76942

Математический бильярд имеет форму параллелограмма $ABCD$ . На сторонах $AD$ и $CD$ соответственной расположены точки $E$ и $F$ так, что $AE :ED =1 :2$ , а $DF :FC =1 :3$ . Шар находится в точке $M$ пересечения прямых $BF$ и $CE$ . Известно, что шар, направленный в точку $N$ борта $BC$ , отразившись от четырех различных бортов, вернулся в точку $M$ и, продолжив свое движение, повторил свою предыдущую траекторию. Найти величину отношения $BN$ : $NC$ , если известно, что траектория шара — выпуклый четырехугольник.

Показать ответ и решение

Рассмотрим траекторию движения, следуя правилу "угол падения равен углу отражения". Пусть эти углы равны $α ,α ,α ,α 1 2 3 4$ для случаев отражения от бортов $BC$ , $AB$ , $AD$ , $CD$ соответственно. Тогда выполняются равенства $α1+ α4 = α2+α3$ и $α1+ α2 = α3+ α4$ из тех соображений, что противоположные углы параллелограмма равны. Из этих равенств вытекает, что $α1 = α3$ и $α2 = α4$ , из чего, в свою очередь, следует, что $ABCD$ – прямоугольник.

$PIC$

Введём аффинную систему координат, в которой $A(0;0)$ , $D(1;0)$ , $B(0;1)$ , $C(1;1)$ и выпишем уравнения прямых $CE$ и $BF$ . Поскольку $E(13;0)$ и $F(1;14)$ , прямые $CE$ и $BF$ задаются уравнениями:

y = 3x− 1 и y = − 3x+1 2 2 4

соответственно, а их точкой пересечения будет $M (2;1). 3 2$

Теперь отразим прямоугольник $ABCD$ зеркально сначала от стороны $AB$ , затем от стороны, в которую перешла $BC$ при этом отражении, и далее для двух оставшихся сторон по тому же принципу. Это стандартная процедура "выпрямления"бильярдной траектории, соответствующая равенству угла падения углу отражения.

$PIC$

При таких "зеркальных"отражениях траектория становится отрезком $MM ′$ , где $M ′$ - образ точки $M$ после серии отражений. Её координаты легко вычислить: после четырёх отражений прямоугольник сохранил ориентацию, и сдвинулся на два размера влево и на два размера вверх. Таким образом, $M ′(23 − 2;12 + 2)$ , и прямая $MM ′$ имеет угловой коэффициент $− 1$ . Её уравнением будет

y =− x+ 7 6

и прямую $BC$ , заданную уравнением $y = 1$ , она пересекает в точке с абсциссой $x= 16$ . Это значит, что точка $N$ , в которую был направлен шар, делит отрезок $BC$ в отношении $1:5$ .

Ответ: 1 : 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#49156

Для каких натуральных $y$ уравнение

2 x + НОД (y;4)⋅x − 6Н ОД(y;3)= 0

имеет целые решения?

Источники: Росатом-12, 11.5

Показать ответ и решение

Заметим, что $a= НОД(y;4)∈ {1,2,4},b= НО Д(y;3)∈{1,3}$ , обе принадлежности определяются остатком $y$ по модулю $12$ . Разберём случаи

$a =1,b= 1$ . Получаем уравнение $x2+ x− 6= 0$ , которое имеет целые корни $x= −3,2$ . Этому случаю удовлетворяют остатки $1,5,7,11$ .
$a =2,b= 1$ . Получаем уравнение $2 x +2x− 6= 0$ , которое целых корней не имеет.
$a =4,b= 1$ . Получаем уравнение $2 x +4x− 6= 0$ , которое целых корней не имеет.
$a =1,b= 3$ . Получаем уравнение $x2 +x− 18= 0$ , корней нет.
$a =2,b= 3$ . Получаем уравнение $x2 +2x− 18= 0$ , корней нет.
$a =4,b= 3$ . Получаем уравнение $x2 +4x− 18= 0$ , корней нет.

Ответ:

$y ∈{{1,5}+ 6k}, k∈ ℕ∪{0}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49161

Найдите натуральные числа $n$ , для которых

( 2 ) ( 2 ) НОК n,n +15 ⋅НОК(n,n+ 3)=5 n + 45 .

Источники: Росатом-12, 11.4

Показать ответ и решение

Воспользуемся очевидным неравенством $Н ОК(a,b)≥ max{a,b}$ . Отсюда следует

2 2 3 2 5(n +45)≥(n + 15)⋅(n+ 3) ⇐ ⇒ f(n)= n − 2n + 15n− 180 ≤0

Заметим, что $f′(x)= 3x2 − 4x+ 15> 0∀x∈ ℝ$ , то есть функция монотонно возрастает. Поскольку при $n = 6$ имеем $f(n)=54> 0$ , то $n ≤5$ . Заметим также, что один из НОК-ов должен делиться на $5$ , что не выполняется при $n= 1,3,4$ , поэтому остаётся перебрать два случая

$n =2$ . Получаем $38⋅5⁄= 5⋅(1+45)$ .
$n =5$ . Получаем $40⋅40⁄= 5⋅70$ .

Ответ:

решений нет

Следующая подтема