Миссия выполнима - задания по годам → .07 Миссия выполнима 2021

Пусть его стороны тогда получаем систему

Получили два случая.

В первом откуда (второй вариант не будем включать из-за симметрии обозначений).

Во втором и

Пусть в учреждении было а осталось вакансий. Тогда, если — число работающих, то

Отсюда ясно, что ( ) и ( ) — натуральные числа, меньшие Причём одно из них кратно а другое Перебором устанавливаем, что либо В первом случае а во втором:

Число оставшихся вакансий в обоих случаях равно

ОДЗ уравнения определяется условием , т.е. Введем и После подстановки получим:

Следовательно, При решение принадлежит ОДЗ уравнения, а при решений нет.

По свойству биссектрисы и биссектрисы Пусть т. - середина отрезка а т. - точка пересечения прямых и Заметим, что из условия следует, что т. лежит на средней линии параллельной Следовательно, по теореме Фалеса и четырёхугольник параллелограмм (диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам). Ещё дважды применяя теорему Фалеса, получим откуда

Будем искать такие и для которых выполняется

причем, , а

где Система уравнений

оказывается недоопределенной и эквивалентна и Тогда для получения примера функции достаточно положить и В итоге

Высота призмы и боковое ребро равны (диаметру вписанного шара). Основания призмы являются правильными -угольниками, описанными около окружностей радиуса Согласно известной формуле, сторона основания в этом случае равна Поверхность шара, касающегося рёбер призмы, пересекает каждую из граней по окружности. Это значит, что прямоугольники, служащие боковыми гранями, описанные, а потому являются квадратами. Отсюда и

Таким образом, призма представляет собой куб

ОДЗ функции: Пропотенцируем уравнение по основанию логарифма: и, переобозначив , получим

Выясним, при каких данное уравнение имеет решение, удовлетворяющее Сразу исключим два очевидных случая и

Остается рассмотреть вариант Заметим, что левая часть уравнения для указанных степеней является выпуклой вверх функцией, т.к.

Это значит, что её график лежит строго ниже любой касательной к нему (кроме точки касания) и для случая, когда правая часть уравнения является касательной к графику при , уравнение корней среди не имеет.

Во всех оставшихся случаях будет пересекаться с прямой при

Действительно, в случае касательная, проведённая к в точке оказывается в некоторой левой окрестности точки касания выше прямой а следовательно, и сам график находится выше прямой в некоторой (возможно меньшей) левой окрестности точки Однако в точке функция обнуляется и её график становится уже ниже прямой В силу непрерывности обеих функций строго внутри интервала найдётся точка пересечения их графиков.

В случае будет наблюдаться аналогичная ситуация: в некоторой правой окрестности точки касания график находится выше прямой Однако,

следовательно, рано или поздно график функции станет ниже прямой и в силу непрерывности обеих функций на луче найдётся точка пересечения их графиков.

Чек на сумму более рублей будем называть большим. Заметим, что при округлении одного чека пекарня теряет не более коп., а при округлении чеков — не более руб. Поэтому чеки были выбраны на общую сумму, не превышавшую руб.

Пусть ровно чеков из выбранных были большими. Тогда при округлении всех чеков пекарня получила бы не меньше, чем рублей. Следовательно, без округления получено не меньше, чем руб. Наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству равно И оно, действительно, могло быть реализовано на чеках. Например, при чеках на сумму руб. каждый, чеках на сумму руб. каждый и одном чеке на сумму руб.