Тема МВ / Финашка (Миссия выполнима. Твоё признание — финансист!)

Миссия выполнима - задания по годам → .07 Миссия выполнима 2021

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мв / финашка (миссия выполнима. твоё признание — финансист!)

Разделы подтемы Миссия выполнима - задания по годам

Миссия выполнима 2015 и ранее

Миссия выполнима 2016

Миссия выполнима 2017

Миссия выполнима 2018

Миссия выполнима 2019

Миссия выполнима 2020

Миссия выполнима 2021

Миссия выполнима 2022

Миссия выполнима 2023

Миссия выполнима 2024

Миссия выполнима 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#66354

Какие линейные размеры может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен $200см3,$ площадь полной поверхности равна $2 300см ,$ а периметр основания равен $50см$ ?

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.2 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прямоугольный параллелепипед задаётся своими сторонами, так давайте обозначим их переменными x, y, z.

Подсказка 2

Мы получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, её можно решить методом подстановки.

Показать ответ и решение

Пусть его стороны $a,b,c,$ тогда получаем систему

(| abc= 200 { 2(ab+bc+ ac) =300 |( 2(a+ b) =50

{ b =25− a c = 150−ab= 150−ab a+b 25

150−-200c- 8 c= 25 = 6− c

2 c − 6c+ 8= 0

c= 2 или c =4

Получили два случая.

В первом $c= 2,$ откуда $ab= 100,a +b= 25 ⇐⇒ a= 5,b= 20$ (второй вариант не будем включать из-за симметрии обозначений).

Во втором $c= 4$ и $25−5√17- 25+5√17 ab =50,a+b =25 ⇐⇒ a= ---2--,b= --2---.$

Ответ:

$2$ см $× 5$ см $× 20$ см (с точностью до порядка следования)

или

$4$ см $25−5√17 × 2$ см $25+5√17 × 2$ см (с точностью до порядка следования)

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#96825

При оптимизации штатного расписания в учреждении было сокращено $13$ вакансий, в результате чего их доля в расписании снизилась на $13$ процентных пунктов. Зная, что вакансии в этом учреждении еще остались, определите их количество.

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.1 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим за m количество оставшихся вакансий, а за n — количество работников. Как тогда записать условие на долю?

Подсказка 2

(m+13)/(m+n+130)- m/(m+n) = 0.13. Попробуем преобразать в произведение двух скобок! Нам повезло, что скобки целые — тогда мы решаем уравнение в натуральных числах!

Подсказка 3

(m+n)(m+n+13) = 100n. Какие выводы можно сделать о каждой скобке, на что они должны делиться?

Подсказка 4

Одна из них кратна 25, а другая — 4! Тогда несложно перебрать их значения ;)

Показать ответ и решение

Пусть в учреждении было $m + 13,$ а осталось $m >0$ вакансий. Тогда, если $n$ — число работающих, то

-m-+13-- -m--- 13- m+ n+ 13 − m +n = 100

(m + n)(m +n +13)= 100 ⋅n

Отсюда ясно, что ( $m + n$ ) и ( $m + n+ 13$ ) — натуральные числа, меньшие $100.$ Причём одно из них кратно $25,$ а другое $4.$ Перебором устанавливаем, что $m + n= 12$ либо $m +n = 75.$ В первом случае $12⋅(12+13) n = 100 = 3,$ а во втором: $75⋅(75+13) n = --100---= 66.$

Число оставшихся вакансий $m$ в обоих случаях равно $9.$

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#96826

Решите уравнение

sin4φ- cos4φ- sin2x + cos2x = 1

при всех значениях параметра $φ.$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.3 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ! А что, если обозначить квадраты синусов за a и t и выразить нужное нам выражение через них?

Подсказка 2

После приведения к общему знаменателю и выделения полного квадрата в числителе приходим к дроби, равной единице! Что тогда можно сказать о квадратах синусов?

Подсказка 3

Квадраты синусов равны! Осталось лишь аккуратно учесть ОДЗ ;)

Показать ответ и решение

ОДЗ уравнения определяется условием $sin2 x⋅cos2x⁄= 0$ , т.е. $x⁄= πk,k∈ℤ. 2$ Введем $a =sin2φ$ и $t=sin2x.$ После подстановки получим:

sin4φ cos4φ a2 (1− a)2 sin2x-+ cos2x-=-t + -1− t-=

2 2 2 2 2 = a-(1−-tt()1+−(1t)−-a)t= a-−t−2att+2-t= (a−-t)t−+t2t− t-= 1

Следовательно, $a= t⇔ sin2φ= sin2x⇔ x = ±φ+ πn,n ∈ℤ.$ При $φ ⁄= πk2 ,k∈ ℤ$ решение $x$ принадлежит ОДЗ уравнения, а при $φ = π2k,k ∈ℤ$ решений нет.

Ответ:

При $φ⁄= πk,k∈ ℤ 2$ решение $x= ±φ +πn,n ∈ℤ$ ; при $φ = πk,k ∈ℤ 2$ решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#96827

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AK$ и $CM.$ Известно, что середины отрезков $AB,BC$ и $MK$ лежат на одной прямой. Найдите $AB,$ если $BK =4,$ а $KC =5.$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.4 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны отрезки, на которые делит сторону биссектриса. Какое её свойство можно применить?

Подсказка 2

Отношение сторон равно отношению отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону! Здорово, теперь мы можем записать некоторые равенства отношений. А что можно сказать о точке O на BP, если она лежит на отрезке, соединяющем середины двух сторон?

Подсказка 3

О лежит на средней линии треугольника, значит, является серединой BP! Какую интересную нам фигуру тогда можно заметить на рисунке?

Подсказка 4

O — середина BP и средней линии. Отсюда мы можем заприметить некоторые параллельности и попробовать записать равенства на отношения. А какая теорема может помочь нам в их записи?

Подсказка 5

Используйте теорему Фалеса!

Показать ответ и решение

$PIC$

По свойству биссектрисы $AK : AABC-= BKKC-= 45$ и биссектрисы $CM : BACC-= MABM-.$ Пусть т. $O$ - середина отрезка $MK,$ а т. $P$ - точка пересечения прямых $BO$ и $AC.$ Заметим, что из условия следует, что т. $O$ лежит на средней линии $△ABC$ параллельной $AC.$ Следовательно, по теореме Фалеса $BO = OP$ и четырёхугольник $MBKP$ параллелограмм (диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам). Ещё дважды применяя теорему Фалеса, получим $AMMB- =PACP= BKKC-= 45,$ откуда

AB = 4 ⋅ 4⋅(4 +5)= 144= 5,76 5 5 25

Ответ:

$5,76$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#96828

Приведите пример квадратного многочлена $f(x)$ и кубического многочлена $g(x)$ таких, что уравнению $f(g(x))= 0$ удовлетворяют числа $±1;±2$ и $± 3.$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.5 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что наше уравнение — это по сути квадратное уравнение относительно g(x). Как его тогда можно представить?

Подсказка 2

Тогда оно раскладывается в виде произведения двух скобок. Нам нужно сделать так, чтобы при некоторых из указанных шести корней обнулялась первая скобка, а при остальных — вторая. Как их можно распределить?

Подсказка 3

Попробуйте найти такой кубический многочлен, что в точках -3, 1, 2 он принимает одно значение, а в -1, -2, 3 — другое!

Показать ответ и решение

Будем искать такие $f(x)$ и $g(x)$ для которых выполняется

f(g(x))= (g(x)− α)(g(x)− β),

причем, $α= g(−3)=g(1)=g(2)$ , а $β = g(− 2) =g(−1)= g(3),$

где $g(x)= px3+ qx2+ rx +s.$ Система уравнений

{ g(− 3)= g(1) =g(2) g(−2)= g(−1)= g(3)

оказывается недоопределенной и эквивалентна $q = 0$ и $r= −7p.$ Тогда для получения примера функции $g(x)$ достаточно положить $p =1$ и $s= 0.$ В итоге

g(x)=x3+ 0x2− 7x +0,α= −6,β = 6

f(x)=(x+ 6)(x− 6)= x2 − 36

Ответ:

$f(x)= x2 − 36,g(x)= x3− 7x$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#96829

Около шара радиуса $1$ описана правильная $n$ -угольная призма, все ребра которой касаются некоторого другого шара. Докажите, что $n =4$ и найдите объём этой призмы.

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.6 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче самое главное — связать боковую сторону и сторону многоугольника основания. Так как в основании у нас правильный многоугольник, в который вписана окружность радиуса 1, то чему в этом случае равна сторона основания? А какой факт можно извлечь из того, что вторая сфера касается каждого ребра?

Подсказка 2

В этом случае, сторона равна 2tg(pi/n) — просто опускаем высоту из центра на какую-нибудь сторону и вычисляем. А вот из того, что вторая сфера касается каждого ребра, следует, что прямоугольник боковой стороны является описанным. Осталось связать этот факт и тот, что в призму вписана сфера с радиусом 1, и получим ответ!

Показать ответ и решение

Высота призмы и боковое ребро равны $2$ (диаметру вписанного шара).

$PIC$

Основания призмы являются правильными $n$ -угольниками, описанными около окружностей радиуса $1.$ Согласно известной формуле, сторона основания в этом случае равна $π 2tgn.$

$PIC$

Поверхность шара, касающегося рёбер призмы, пересекает каждую из граней по окружности.

$PIC$

Это значит, что прямоугольники, служащие боковыми гранями, описанные, а потому являются квадратами. Отсюда $2tg πn = 2$ и $n =4.$

Таким образом, призма представляет собой куб $2× 2×2.$

Ответ:

$V = 8$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#96830

Найдите множество значений функции $y = log x. 2x−1$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.7 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем переписать логарифмическую функцию в виде степени. Держать 2х-1 в основании степени нам неудобно, так что давайте введём перемeнную z, и будем решать уравнение относительно y и z!

Подсказка 2

Не забывайте про изначальные ОДЗ! Сразу появляются ограничения на z, а что насчёт возможных значений у?

Подсказка 3

Верно, возможны только у из интервала от 0 до 1! Исследуем функции z^y и 1/2(z+1) и их пересечения на этом интервале.

Подсказка 4

Так как левая часть уравнения — выпуклая вверх функция, то правая часть — либо её касательная, либо находится ниже касательной и пересекает показательную функцию, либо не пересекает вовсе. Проверим, какие значения соответствуют z не из области допустимых значений,и аккуратно с помощью монотонной непрерывности докажем, что в остальных точках решения есть.

Показать ответ и решение

ОДЗ функции: $x> 1,x⁄= 1. 2$ Пропотенцируем уравнение $y = log x 2x− 1$ по основанию логарифма: $(2x − 1)y = x$ и, переобозначив $z =2x− 1$ , получим

y 1 z = 2(z+ 1) при z > 0,z ⁄=1.

Выясним, при каких $y$ данное уравнение имеет решение, удовлетворяющее $z > 0,z ⁄=1.$ Сразу исключим два очевидных случая $y ≤0$ и $y ≥ 1.$

Остается рассмотреть вариант $0< y < 1.$ Заметим, что левая часть уравнения $zy$ для указанных степеней $y$ является выпуклой вверх функцией, т.к.

(zy)′′ = y(y− 1)zy−2 < 0.

Это значит, что её график лежит строго ниже любой касательной к нему (кроме точки касания) и для случая, когда правая часть уравнения $1 2(z+ 1)$ является касательной к графику при $1 y = 2$ , уравнение $y 1 z = 2(z+1)$ корней среди $z > 0,z ⁄=1$ не имеет.

Во всех оставшихся случаях $zy$ будет пересекаться с прямой $12(z +1)$ при $z >0,z ⁄=$ $1.$

Действительно, в случае $0 <y < 12$ касательная, проведённая к $zy$ в точке $z =1,$ оказывается в некоторой левой окрестности точки касания выше прямой $12(z+ 1),$ а следовательно, и сам график $zy$ находится выше прямой $12(z+ 1)$ в некоторой (возможно меньшей) левой окрестности точки $z = 1.$ Однако в точке $z = 0$ функция $zy$ обнуляется и её график становится уже ниже прямой $12(z+ 1).$ В силу непрерывности обеих функций строго внутри интервала $(0,1)$ найдётся точка пересечения их графиков.

В случае $12 < y < 1$ будет наблюдаться аналогичная ситуация: в некоторой правой окрестности точки касания $z = 1$ график $zy$ находится выше прямой $12(z+1).$ Однако,

y xl→im+∞ 1-z---= xl→im+∞2zy− 1 =0, 2(z+ 1)

следовательно, рано или поздно график функции $zy$ станет ниже прямой $1(z+1), 2$ и в силу непрерывности обеих функций на луче $(1,+ ∞ )$ найдётся точка пересечения их графиков.

Ответ:

$(0;1 )∪( 1;1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#96831

Пекарня планирует перейти на округление чеков в меньшую сторону (покупатель будет платить $p$ рублей за товар ценой в $p$ рублей с копейками). В связи с этим коммерческий директор выбрал $100$ чеков и подсчитал, что выручка при таком округлении снизилась бы на $1%.$ Известно, что чеков на сумму менее $10$ рублей не было, и что все цены в пекарне кратны $10$ копейкам. Каким наибольшим (среди этих чеков) могло быть количество чеков на сумму более $100$ рублей каждый?

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.8 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, а какое вообще количество может потерять пекарня с одного чека? А со всех?

Подсказка 2

С одного чека теряет не более 90 копеек, значит, мы можем оценить потери со всех чеков и с помощью условия оценить сумму всех чеков!

Подсказка 3

Отлично, теперь попробуем посчитать сумму всех чеков другим способом. Что, если ввести переменную, отвечающую за количество чеков на сумму от 100 рублей? Сколько тогда пекарня могла получить после округления?

Подсказка 4

Если больших (на сумму от 100 рублей) было n, то после округления пекарня получила бы не меньше, чем 100n + 10*(100-n). Теперь, исходя из условия, мы можем оценить сумму чеков до округления! Здорово, ведь эту сумму можно сравнить с суммой из подсказки 2 ;)

Показать ответ и решение

Чек на сумму более $100$ рублей будем называть большим. Заметим, что при округлении одного чека пекарня теряет не более $90$ коп., а при округлении $100$ чеков — не более $90$ руб. Поэтому чеки были выбраны на общую сумму, не превышавшую $9000$ руб.

Пусть ровно $n$ чеков из выбранных были большими. Тогда при округлении всех $100$ чеков пекарня получила бы не меньше, чем $100⋅n+ 10⋅(100− n)=90⋅n +1000$ рублей. Следовательно, без округления получено не меньше, чем $90⋅n+1000 100⋅(90⋅n+1000) 0,99 = 99$ руб. Наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству $100⋅(90⋅n+1000) -----99-----< 9000,$ равно $87.$ И оно, действительно, могло быть реализовано на чеках. Например, при $87$ чеках на сумму $100,9$ руб. каждый, $12$ чеках на сумму $16,9$ руб. каждый и одном чеке на сумму $18,9$ руб.

Ответ:

$n =87$

Предыдущая подтема

Следующая подтема