Тема МВ / Финашка (Миссия выполнима. Твоё признание — финансист!)

Миссия выполнима - задания по годам → .02 Миссия выполнима 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мв / финашка (миссия выполнима. твоё признание — финансист!)

Разделы подтемы Миссия выполнима - задания по годам

Миссия выполнима 2015 и ранее

Миссия выполнима 2016

Миссия выполнима 2017

Миссия выполнима 2018

Миссия выполнима 2019

Миссия выполнима 2020

Миссия выполнима 2021

Миссия выполнима 2022

Миссия выполнима 2023

Миссия выполнима 2024

Миссия выполнима 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#66352

В школе учатся $1200$ школьников, у каждого из которых каждый день по пять уроков. Любой учитель этой школы проводит в день $4$ урока. Сколько учителей работает в школе, если в каждом классе ровно $30$ учеников?

Источники: Миссия выполнима - 2016, 9.3 (см. mission.fa.ru)

Показать ответ и решение

Пусть учителей $x,$ тогда они могут провести $4x$ уроков в день. Школьникам же требуется $1200⋅5= 200 30$ уроков, где первое число означает число классов, которым нужно проводить уроки. Отсюда $200 =4x ⇐ ⇒ x =50.$

Ответ:

$50$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74604

В треугольнике отметили шесть ячеек: в вершинах и в серединах сторон. Шесть последовательных натуральных чисел от 10 до 15 вписаны в эти ячейки таким образом, что суммы трех чисел на каждой из сторон равны. Какое максимальное значение может принимать эта сумма?

Показать ответ и решение

Пусть $a,b,c,d,e,f$ — указанные числа, записанные в порядке их следования в кругах при обходе по часовой стрелке и числа a, c, e располагаются в вершинах треугольника. Если $S$ — рассматриваемая сумма, то имеем:

( |{ a+ b+ c=S, |( c+ d+ e=S, e+ f + a= S.

Складывая все уравнения системы, получаем: $(a+ b+ c+d +e+ f)+ a+c+ e= 3S,$ где $a+ b+c+ d+ e+f = 75,$ то есть:

a+-c+e- 75+ a+ c+e =3S ⇔ S = 25+ 3 .

Следовательно, число $S$ не может быть больше числа $15+14+13 25+ 3 = 39.$

Приведем пример, когда $39$ достигается.

$PIC$

Ответ: 39

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#77815

Код сейфа состоит из пяти идущих подряд цифр. Василий Петрович положил деньги в сейф, а когда захотел их забрать, выяснилось, что он забыл код. Он только помнил, что в коде были числа 21 и 16. Какое наименьшее количество пятизначных номеров необходимо перебрать, чтобы наверняка открыть сейф?

Источники: Миссия выполнима 2016

Показать ответ и решение

Рассмотрим случаи.

1) Код содержит комбинацию цифр $216$ . Ее можно расположить в коде тремя способами: $∗∗216$ , $∗216∗$ или $216∗∗$ . В каждом из этих возможных кодов каждую из остальных цифр можно выбрать $10$ способами. Таким образом, получается $3⋅100 =300$ вариантов.

2) Код содержит комбинации $21$ и $16$ , причем комбинация $21$ расположена левее. Тогда оставшуюся цифру можно выбрать $10$ способами и поставить ее на одно из трех мест: перед $21$ , между $21$ и $16$ , после $16$ . То есть $30$ вариантов.

3) Код содержит комбинации $21$ и $16$ , причем комбинация $21$ расположена правее. Аналогично - $30$ вариантов. Заметим, что числа $21616$ , $21621$ , $21216$ , $16216$ мы посчитали дважды. Таким образом, чтобы открыть сейф достаточно перебрать $300 +30+ 30− 4 =356$ номеров.

Ответ: 356

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#94455

Бухгалтеры, менеджеры и экономисты банка сидят за круглым столом. Когда директор попросил поднять руку бухгалтеров, рядом с которыми сидит экономист, руку подняли $20$ человек. А когда директор попросил поднять руку менеджеров, рядом с которыми сидит экономист, руку подняли $25$ человек. Докажите, что рядом с кем-то из поднимавших руку сидит сразу два экономиста.

Источники: Миссия выполнима 2016

Показать доказательство

Назовем группой экономистов несколько (возможно, одного) экономиста, сидящих подряд, слева и справа от которых сидят представители других профессий. При этом если нет менеджера или бухгалтера, рядом с которым сидят два экономиста, то каждый человек поднял руку не более одного раза, а тогда общее количество поднявших руку людей равно удвоенному количеству групп, т.е. четно. А по условию их $45.$ Противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#97440

Докажите, что для любых действительных чисел $a,b,c$ таких, что $0 <a,b,c< 1$ , выполнено следующее неравенство

√ --- ∘--------------- abc+ (1− a)(1− b)(1− c)< 1

Показать доказательство

Сделаем замены:

2 2 2 π a =sin x, b= sin y, c= sin z, где 0< x,y,z < 2.

Тогда неравенство перепишется в виде:

sinxsin ysinz+ cosxcosycosz <1

sin xsinysinz +cosxcosycosz < sinxsin y+cosxcosy =cos(x − y)≤ 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#97447

Егоров решил открыть накопительный вклад для покупки автомобиля стоимостью $900000$ руб. Начальная сумма вклада равна $300000$ руб. Через месяц и далее ежемесячно Егоров планирует пополнять свой вклад на $15000$ руб. Банк начисляет ежемесячно проценты по ставке $12%$ годовых. Начисленные за месяц проценты перечисляются на вклад, и в следующем месяце на них также начисляются проценты. Через какое наименьшее число месяцев на вкладе будет сумма достаточная для покупки автомобиля?

Источники: Миссия выполнима 2016

Показать ответ и решение

Пусть $S n$ - сумма вклада через $n$ месяцев после начисления процентов и после внесения дополнительных взносов $D$ ( 15000 руб.). Так как в месяц банк начисляет $1%$ , то

S1 =300000(1+ 0,01)+D, S2 =S1(1+ 0,01)+ D = (S0(1+0,01)+ D)(1+ 0,01)+D = S0(1+ 0,01)2 +D (1+ (1+0,01)) S3 =S2(1+ 0,01) =(S0(1 +0,01)2+D (1 +0,01)+ D)(1+ 0,01)+ D = = S0(1+ 0,01)3+ D ((1+ 0,01)2 +(1+ 0,01)+ 1) .........................................(................... ) Sn = S0(1+ 0,01)n +D (1+ 0,01)n− 1+(1+ 0,01)n−2+ ...+ (1 +0,01)+ 1

По формуле суммы $n$ членов геометрической прогрессии получаем

1,01n− 1 1,01n − 1 (1 +0,01)n−1+(1+ 0,01)n−2+ ...+ (1+0,01)+ 1= -1,01− 1-=--0,01--

Следовательно, $Sn = S0(1+ 0,01)n +D 1,001n,0−1-1$ . Искомое число месяцев удовлетворяет неравенству

300000⋅1,01n+ 150001,01n−-1 ≥900000 ⇔ 0,01 ⇔ 3⋅1,01n+15(1,01n− 1)≥9 ⇔ ⇔ 18 ⋅1,01n ≥24⇔ 1,01n ≥ 24-⇔ n≥ 28,91 18

Таким образом, достаточная для покупки автомобиля сумма будет на вкладе через 29 месяцев.

Ответ: 29

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#97448

Несколько бизнесменов решили открыть фирму и делить всю прибыль на равные части. Одного из бизнесменов назначили директором. Однажды этот директор фирмы перевел часть прибыли со счета фирмы на свой собственный счет. Эта часть денег была втрое больше, чем часть каждого из остальных, если бы они разделили остаток прибыли между собой поровну. После этого директор покинул фирму. Следующий директор фирмы, один из оставшихся бизнесменов, сразу же поступил точно также, как и предыдущий и т. д. В конце концов, предпоследний директор фирмы перевел на свой собственный счет часть прибыли, которая также была в три раза больше, чем осталось у последнего бизнесмена. В результате этих распределений доходов последний бизнесмен получил денег в $190$ раз меньше, чем первый директор фирмы. Сколько бизнесменов открыли эту фирму?