Тема Газпром

Газпром - задания по годам → .04 Газпром 2022

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела газпром

Разделы подтемы Газпром - задания по годам

Газпром до 2020

Газпром 2020

Газпром 2021

Газпром 2022

Газпром 2023

Газпром 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67083

Решите уравнение

(x 11π) ( ( 7π )) tg 2 − 16 ⋅log2 sin 2x + 4 = 0

Источники: Газпром - 2022

Показать ответ и решение

Из данного уравнения следует:

[ tg(x− 11π-)=0 log 2(sin1(62x+ 7π)) =0. 2 4

Решим первое уравнение:

x − 11π =πn,n ∈ℤ 2 16

11π x= -8-+ 2πn.

Тогда:

( 7π) ( 18π ) (9π ) π sin 2x+ 4- = sin -4-+ 4πn = sin -2 +4πn = sin2 =1.

Значит такие $x$ нам подходят. Решим второе уравнение:

( ) sin 2x+ 7π =1 4

2x+ 7π= π + 2πk,k∈ ℤ 4 2

5π- x= − 8 + πk.

Тогда:

(x 11π) ( 5π πk 11π) ( πk) tg 2 −-16 = tg − 16 +-2 − 16- = tg −π+ -2 .

Что определено только при четных $k$ , значит такие значения $x$ при четных $k$ нам подходят. Но заметим, что решения, полученные из первого уравнения такие же, как от второго уравнения.

Ответ:

$x = 11π+ 2πn,n∈ℤ. 8$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69861

Трехметровая газовая труба проржавела в двух местах. Определить вероятность того, что все три получившиеся части можно будет использовать в качестве отводов к газовым плитам, если по нормативам плита не должна находиться на расстоянии ближе $75$ см от магистральной газовой трубы.

Источники: Газпром - 2022, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Пусть длины частей это $x,y,300− x − y.$ Очевидно, что $x,y ∈ [0,300]$ и $x+ y ≤ 300.$ Также запишем ограничения, которые следуют из расстояний между ржавчиной на трубе

( x≥ 75 x ≥75 |{ ⇐ ⇒ |( y ≥75 y ≥75 300− x− y ≥ 75 x +y ≤225

Введём координаты с длиной одного деления $5,$ получим прямоугольный треугольник $KLM,$ который удовлетворяет всем условиям.

$PIC$

Длина его катета равна $75,$ а длина катета $ABC$ равна $300$ — мы равновероятно находимся в каждом точке именно $△ABC$ (вместо прямоугольников, как раньше). Отсюда вытекает

2 p = SKLM-= 752-= 1- SABC 300 16

Ответ:

$-1 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#98163

В сферу радиуса $3$ вписана правильная треугольная призма $ABCA B C 1 1 1$ с основанием $ABC$ и боковыми ребрами $AA ,BB ,CC . 1 1 1$ Отрезок $CD$ — диаметр этой сферы. Найти объем призмы, если $√- AD = 2 6.$

Источники: Газпром - 2022, 11.6 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Плоскости оснований $ABC$ и $A B C 1 1 1$ призмы пересекают сферу по окружностям, описанным около правильных треугольников $ABC$ и $A1B1C1;$ пусть их центры — точки $O$ и $O1$ соответственно.

Легко показать, что середина $M$ отрезка $OO1$ является центром сферы.

$PIC$

Проведем через точку $C1$ диаметр $C1D$ окружности с центром в точке $O1.$ Покажем, что $CD$ — диаметр сферы. Действительно, плоскость $CC1D$ перпендикулярна плоскостям основания и, значит, вместе с точкой $O1$ содержит отрезок $OO1.$ Т.к. $C1D = 2DO1,$ прямая $CD$ пересекает отрезок $OO1$ в его середине, т.е. в центре $M$ заданной сферы.

Пусть $D1$ — проекция точки $D$ на плоскость основания $ABC,$ высота призмы равна $h,$ а радиусы окружностей с центрами $O$ и $O1$ равны $r.$ Рассмотрим треугольники $CC1D$ и $ADD1.$ Учитывая, что $C1D = 2r,AD1 =r$ (треугольник $AOD1$ равносторонний), $CC1 = DD1 =h,$ по т. Пифагора получаем систему уравнений:

{ h2+4r2 = 62√ h2+r2 =(2 6)2

Решая систему, находим, что $√- r= 2,h =2 5.$ Тогда сторона основания равна $√ - 2 3,$ его площадь $√ - S =3 3,$ и следовательно, объем призмы $√-- V = S⋅h =6 15.$

Ответ:

$6√15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#99200

Решить уравнение:

9 3 √---- x − 2021x + 2022= 0.

Источники: Газпром - 2022, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Разложим на скобки:

9 3 3 √---- x − 2022x +x + 2022= 0

x3(x6− 2022)+ x3+ √2022-=0

x3 (x3 − √2022)(x3+ √2022) +(x3+ √2022) = 0

( 3 √----)( 6 3√ ---- ) x + 2022 x − x 2022+ 1 = 0

[ √---- x3+ 2√022-=0 x6− x3 2022+ 1= 0

Первое уравнение совокупности имеет одно решение $6√---- x =− 2022$ .

Введём замену во втором уравнении $t= x3$ , тогда:

√ ---- t2− t 2022+ 1= 0

[ √2022+√2018 t= √20222−√2018 t= 2

Вернемся к исходной переменной и получим

∘ √------√---- x = 3--2022±--2018 2

Ответ:

$−√62022; 3∘ √2022±√2018 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99201

Задана числовая последовательность:

1 -1-- x0 = n и xk = n− k (x0+x1+ ...+ xk−1),

где $k =1,2,...,n− 1.$ Найти

Sn = x0+ x1 +...+ xn−1,

если $n =2022.$

Источники: Газпром - 2022, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

С помощью математической индукции докажем, что

1 x0+x1+ ...+ xk−1+ xk = n−-k.

Для $k= 0$ это равенство выполняется. Для $k =1$ :

x0+ x1 = 1 +-1- ⋅ 1=--1-. n n − 1 n n − 1

Предположим, что это равенство выполняется для всех $m ≤k,$ тогда оно должно выполняться и для $k+ 1.$ Проверим это:

(x0+x1+ ...+ xk)+xk+1 =--1- +xk+1 =--1- + ---1----(x0 +x1+ ...+ xk)= n − k n − k n− (k+ 1) =--1- + ------1------= ----1--- n − k (n − k − 1)(n − k) n − (k+ 1)

Значит, это равенство выполняется и для $k+ 1.$ Следовательно, наше предположение, что

-1-- x0+ x1+...+xk−1+ xk = n− k

верно. Тогда при $n= 2022$ и $k =n − 1 =2021:$

1 S2022 = x0+x1+ ...+ x2021 = 2022− 2021 = 1.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#99206

Функция $f(x)$ удовлетворяет условию: для любых действительных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство

(a+ 2b) f(a)+2f(b) f --3-- = ----3----.

Найти значение функции $f(2021)$ , если $f(1)=1,f(4)= 7.$

Источники: Газпром - 2022, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Подставляя в заданное равенство пары чисел $a= 4,b =1$ и $a= 1,b=4,$ соответственно, получим:

- Если $a= 4,b= 1$ , то

( 4+ 2) f(4)+2f(1) 7 +2⋅1 f -3-- = ----3----;f(2) =---3-- =3.

- Если $a= 1,b= 4$ , то

( ) f 1+-2⋅4 = f(1)+2f(4);f(3) = 1-+2⋅7 =5. 3 3 3

Если взять $a =0,b= 3$ , получим

f( 0+-2⋅3)= f(0)+2f(3);f(2)= f(0)+2f(3). 3 3 3

Значит,

f(0)= 3f(2)− 2f(3)= 3⋅3− 2⋅5= −1.

Таким образом, имеем $f(0)= −1,f(1)= 1,f(2)= 3,f(3)=5,f(4)= 7$ . Составим цепочку равенств

( 2021+ 2⋅2) f(2021)+ 2f(2) f ---3-----= ------3-----= f(675), (675+-2⋅0) f(675)+-2f(0) f 3 = 3 = f(225) (225+-2⋅0) f(225)+-2f(0) f 3 = 3 = f(75) f(75+-2⋅0)= f(75)+2f(0) =f(25) ( 3 ) 3 f 25+-2⋅1 = f(25)+2f(1) =f(9) ( 3 ) 3 f 9+-2⋅0 = f(9)+2f(0)= f(3) 3 3

Вычисляя в обратном порядке, получим:

f(9)=3f(3)− 2f(0), т. е. f(9)= 3⋅5− 2⋅(− 1)= 17 f(25) =3f(9)− 2f(1), т. е. f(25)= 3⋅17 − 2⋅1= 49 f(75)= 3f(25)− 2f(0), т. е. f(75)=3⋅49− 2⋅(− 1)=149 f(225)= 3f(75)− 2f(0), т. е. f(225)= 3⋅149− 2⋅(−1)= 449 f(675)= 3f(225)− 2f(0), т. е. f(675)= 3⋅449− 2⋅(−1)= 1349 f(2021)= 3f(675)− 2f(2), т. е. f(2021)= 3⋅1349− 2 ⋅3 =4041.

Ответ:

$4041$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#99213

На торги выставлен лот из трёх пакетов акций нефтедобывающих компаний: Разнефти, Дванефти и Тринефти. Суммарное количество акций пакетов Разнефти и Дванефти совпадает с количеством акций в пакете Тринефти. Пакет акций Дванефти в $4$ раза дешевле пакета Разнефти, а их суммарная стоимость совпадает со стоимостью пакета Тринефти. Одна акция Разнефти превышает стоимость одной акции Дванефти на величину от $16$ тыс. руб. до $20$ тыс. руб., а цена одной акции Тринефти колеблется в пределах от $42$ тыс. руб. до $60$ тыс. руб. Определить, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций в лоте может составлять пакет акций Дванефти.

Источники: Газпром - 2022, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Показать ответ и решение

Введем обозначения: $x$ — цена одной акции Дванефти, $y$ — цена одной акции Разнефти, $z$ — цена одной акции Тринефти; $n$ — количество акций в пакете Дванефти, $m$ — количество акций в пакете Разнефти. Остальные условия задачи запишем в виде системы уравнений и неравенств:

(| (| m- 4x- ||||| 4xn =ym, ||||| n = y , |{ xn +ym = z(m + n), |{ y = x+a,am- ||| 16≤ y− x≤ 20, ⇒ ||| z = x+ n+m, ||||( 42≤ z ≤ 60 ||||( 16 ≤a ≤20 42 ≤z ≤60

Необходимо найти переделы изменения величины

n n n+-m-+(n+-m)-⋅100% = 2(n+-m)-⋅100%

Если удастся найти отношения $mn,$ то задача будет решена, так как $( ) 2(n+nm) =2 1+ mn- .$ Определим сначала, при каких условиях процент акций Разнефти в общем лоте будет наименьшим. Для этого $2(nn+m-) → min,$ если $n→ min,m → max,y − x → min ,$ следовательно, $y− x= 16,$ значит, $a =16.$ Если $n → min,m → max ,$ то $z = x+ 1n6+mm-→ max,$ следовательно, $z = 60.$ Тогда,

m- = -4x-,x= -16m--,z = -16m--+ -16m-= 60 n x+16 4n− m 4n − m n +m

16m(m + n)+ 16m(4n− m)= 60(4n− m)(n +m )

( ) 80mn = 60 4n2+ 3mn − m2

3m2 − 5mn − 12n2 = 0

(m )2 m 3 -n − 5n-− 12= 0

[ m-= 3 nm-= − 4 n 3

По условию задачи выбираем $m = 3n,$ тогда наименьший процент

---n---100% = 12,5% 2(n+ m)

Аналогично найдем наибольший процент: для этого $--n-- 2(n+m) → max,$ если $n→ max,m → min,y − x → max,$ следовательно, $y− x =20,$ значит, $a= 20.$ Если $n→ max,m → min,$ то $-20m- z =x +n+m → min,$ следовательно, $z = 42.$ Тогда, $-20m- x= 4n−m$ , $20m- 20m- z = 4n−m + n+m = 42.$ Имеем:

21m2 − 13mn − 84n2 = 0

(m-)2 m- 21 n − 13 n − 84= 0

{ m-= 7 nm-=−312 n 7

По условию задачи выбираем $m = 73n,$ наибольший процент $2(nn+m-)100% =15%.$

Ответ:

$12,5%$ и $15%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#106012

Функция $f(x)$ удовлетворяет условию: для любых действительных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство $f (a+2b) = f(a)+2f(b). 3 3$ Найти значение функции $f(2021),$ если $f(1)= 5,f(4)= 2.$

Показать ответ и решение

Если $a =4,b= 1$ , то

(4+ 2) f(4)+ 2f(1) 2+2 ⋅5 f --3- = ----3----,f(2)= --3---= 4

Если $a= 1,b= 4$ , то

( ) f 1+-2⋅4 = f(1)+-2f(4),f(3)= 5+2-⋅2-= 3 3 3 3

Если взять $a =0,b= 3$ , получнм

( ) f 0+-2⋅3 = f(0)+2f(3),f(2)= f(0)+-2f(3) 3 3 3

Значит,

f(0)= 3f(2)− 2f(3)= 3⋅4− 2 ⋅3 =6

Таким образом, имеем $f(0)= 6,f(1)= 5,f(2)=4,f(3)= 3,f(4)= 2$ . Составим цепочку равенств

( 2021+-2⋅2) f(2021)+-2f(2) f 3 = 3 = f(675), ( 675+-2⋅0) f(675)+2f(0)- f 3 = 3 =f(225), ( 225+-2⋅0) f(225)+2f(0)- f 3 = 3 =f(75), f( 75-+2⋅0) = f(75)+-2f(0)= f(25), ( 3 ) 3 f 25-+2⋅1- = f(25)+-2f(1)= f(9), ( 3 ) 3 f 9+2⋅0- = f(9)+-2f(0)= f(3). 3 3

Вычисляя в обратном порядке, получим:

f(9)= 3f(3)− 2f(0), т.е. f(9)= 3⋅3− 2 ⋅6 =− 3; f(25)= 3f(9)− 2f(1), т.e. f(25)=3⋅(−3)− 2⋅5= −19; f(75)= 3f(25)− 2f(0), т.e. f(75)= 3⋅(−19)− 2⋅6= −69; f(225)= 3f(75)− 2f(0), т.e. f(225)= 3⋅(− 69)− 2⋅6= −219; f(675)= 3f(225)− 2f(0), т.e. f(675)= 3⋅(−219)− 2 ⋅6 =− 669; f(2021)=3f(675)− 2f(2), т.e. f(2021)=3 ⋅(−669)− 2 ⋅4 =− 2015.

Ответ: -2015

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#76409

Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны 65 и 31 соответственно, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов $−−→ AD$ и $−−→ BC.$

Источники: ОММО - 2015, задача 4, и Газпром - 2022, задача 3 (9-11 классы)

Показать ответ и решение

Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ . Из подобия треугольников $AOB$ и $COD$ следует, что $−O−→C = 31−→AO 65$ , а $−−→ 31−−→ OD = 65BO$ . Обозначим вектор $−→ AO$ через $⃗a$ , а вектор $−−→ BO$ через $⃗b$ . Тогда, из условия следует, что $(⃗a,⃗b)= 0$ и