Тема Алгебра

04 Десятичные дроби → 04.01 Бесконечные непериодические дроби

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Десятичные дроби

Бесконечные непериодические дроби

Бесконечные периодические дроби

Округление

Переход к обыкновенным дробям и наоборот

Сложение и вычитание

Сравнение дробей. Числовая прямая

Умножение и деление

Уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119537

Соотнесите дроби и их названия:
а. отрицательное рациональное число
б. бесконечная периодическая десятичная дробь
в. бесконечная непериодическая десятичная дробь
г. конечная десятичная дробь
$1)$ $0,2(6)$
$2)$ $0,27$
$3)$ $2 − 3$
$4)$ $0,1357911....$

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

а) $2 − 3 :$

Число отрицательное и представлено в виде обыкновенной дроби, следовательно, это отрицательное рациональное число.

б) $0,2(6):$ Замечаем период $(6),$ значит, это бесконечная периодическая десятичная дробь.

г) $0,27:$ Дробь конечная, следовательно, это конечная десятичная дробь.

в) $0,1357911....:$ Дробь бесконечная, и отсутствует какой-либо повторяющийся период, следовательно, это бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Ответ:

а - $3,$ б - $1,$ в - $4,$ г - $2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#119539

Расположите числа в порядке возрастания:

$0,9(87)$

$0,98(7)$

$0,987$

$0,9876....$

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

$0,987$ = $0,98700000...$

$0,9(87)$ = $0,987878787...$

$0,98(7)$ = $0,987777777...$

$0,9876....$ = $0,987600000...$ (если подразумевается продолжение непериодической дробью с цифрами меньше 7)

Сравнивая разряды после тысячных:

$0,9870 <0,9876 <0,98777...<0,98787...$

Следовательно:

$0,987< 0,9876....<0,98(7)< 0,9(87)$

Ответ:

$0,987 <0,9876....< 0,98(7)<0,9(87)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119540

Соотнесите числа и их названия:

$1)$ Рациональное число

$2)$ Иррациональное число

$0,565$

$2,(3)$

$0,(432)$

$2,10110111...$

$8,6(75)$

$0,1234....$

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Рациональные числа можно представить в виде дроби $p, q$ где $p$ и $q$ - целые числа, и $q ⁄= 0.$

Иррациональные числа нельзя представить в таком виде. Это бесконечные непериодические десятичные дроби.

$0,565$ - конечная десятичная дробь, следовательно, рациональное число.
$2,(3)$ - бесконечная периодическая десятичная дробь, следовательно, рациональное число.
$0,(432)$ - бесконечная периодическая десятичная дробь, следовательно, рациональное число.
$2,10110111...$ - Дробь бесконечная и непериодическая (количество единиц после нуля увеличивается), следовательно, иррациональное число.
$8,6(75)$ - бесконечная периодическая десятичная дробь, следовательно, рациональное число.
$0,1234....$ - бесконечная непериодическая десятичная дробь, следовательно, иррациональное число.

Ответ:

$1)$ Рациональные числа: $0,565,$ $2,(3),$ $0,(432),$ $8,6(75)$

$2)$ Иррациональные числа: $2,10110111...,$ $0,1234....$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#119542

Найдите дробь, равную данной: $3,5(6)$

$1)$ $3,5656...$

$2)$ $3,5666...$

$3)$ $3,56600...$

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

$3,5(6)$ означает, что цифра 6 повторяется бесконечно: $3,566666....$

Следовательно, дробь, равная данной, это $3,5666...$

Ответ:

$2)$ $3,5666...$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#119544

Вставьте пропущенные знаки $(<,$ $>,$ или $=) :$

$1)$ $0,(12)$ и $0,12345....$

$2)$ $− 1,(3)$ и $− 1,(4)$

$3)$ $5,327327327...$ и $5,(327)$

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

$1)$ $0,(12)= 0,121212...$

$0,12345....$ = $0,12345....$

Сравнивая, видим $0,121212...< 0,12345....$

$2)$ $− 1,(3)=− 1,3333...$

$− 1,(4) =− 1,4444...$

Так как числа отрицательные, то $− 1,3333...>− 1,4444...$

$3)$ $5,327327327...= 5,(327)$ по определению.

Ответ:

$1)$ $0,(12)< 0,12345....$

$2)$ $− 1,(3)>− 1,(4)$

$3)$ $5,327327327...= 5,(327)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#119545

Упростите выражение и найдите его значение при $x =1,230340...:$

$− 3⋅(2⋅x+ 5⋅y)+5 ⋅(x+ 3⋅y)$

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Сначала упростим выражение:

$− 3⋅(2⋅x+ 5⋅y)+5 ⋅(x+ 3⋅y)= −6x− 15y+ 5x+ 15y =− x$

Теперь подставим $x= 1,230340...:$

$− x= −1,230340...$

Ответ:

$− 1,230340...$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#119546

Округлите числа $a$ и $b$ с точностью до десятых $(0,1)$ и вычислите приближённую разность $a− b.$

$1)$ $a= 12,3(7);$ $b= 1,9154...$

$2)$ $a= 4,(6);$ $b= 2,6310...$

$3)$ $a= 6,4(23);$ $b= 0,5690...$

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

$1)$ $a =12,3(7)≈ 12,4;$

$b=1,9154...≈1,9;$

$a− b ≈12,4− 1,9= 10,5$

$2)$ $a= 4,(6)≈4,7;$

$b=2,6310...≈2,6;$

$a− b ≈4,7− 2,6= 2,1$

$3)$ $a= 6,4(23)≈ 6,4;$

$b=0,5690...≈0,6;$

$a− b ≈6,4− 0,6= 5,8$

Ответ:

$1)$ $10,5$

$2)$ $2,1$

$3)$ $5,8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#119547

Определите, какие из следующих утверждений верны, и запишите верное:

$1)$ $3,(45)$ - конечная десятичная дробь

$2)$ $0,555...$ - рациональное число

$3)$ $1,4(7)$ - иррациональное число

$4)$ $7,01001...$ - бесконечная периодическая дробь

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

$1)$ $3,(45)$ - конечная десятичная дробь Неверно

Конечные десятичные дроби имеют конечное число знаков после запятой. $3,(45)$ - бесконечная периодическая десятичная дробь.

$2)$ $0,555...$ - рациональное число Верно

$0,555...= 0,(5)$ - бесконечная периодическая десятичная дробь, следовательно, рациональное число.

$3)$ $1,4(7)$ - иррациональное число Неверно

$1,4(7)= 1,4777...$ - бесконечная периодическая десятичная дробь, следовательно, рациональное число. Иррациональные числа - это бесконечные непериодические десятичные дроби.

$4)$ $7,01001...$ - бесконечная периодическая дробь Неверно

$7,01001...$ - бесконечная непериодическая дробь. Периодическая дробь должна иметь повторяющуюся последовательность цифр. В данной дроби нет очевидного повторяющегося периода.

Ответ:

$2)$ $0,555...$ - рациональное число

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#119548

Между какими числами расположено иррациональное число $0,1011011...?$

$1)$ $1 3$ и $1 2$

$2)$ $1- 10$ и $1- 11$

$3)$ Нет правильного ответа

$4)$ $1- 10$ и $1 9$

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Представим дроби в десятичном виде (приближенно):

$1≈ 0,333... 3$

$1= 0,5 2$

$1-= 0,1 10$

$111 ≈ 0,0909...$

$1 9 ≈ 0,111...$

Сравним:

$0,0909...< 0,1011011...< 0,111...$

$0,1< 0,1011011...$ (не подходит, т.к. число больше обоих)

$0,333...< 0,1011011...< 0,5$ (не подходит, т.к. число меньше обоих)

Таким образом, $0,1011011...$ находится между $1- 10$ и $1. 9$

Ответ:

$4)$ $1- 10$ и $1 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#119553

Между какими числами расположено иррациональное число $0,676676667...?$

$1)$ $2 3$ и $3 4$

$2)$ $5 8$ и $-7 10$

$3)$ Нет правильного ответа

$4)$ $1 2$ и $3 5$

Источники: РЭШ (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Представим дроби в десятичном виде (приближенно):

$2≈ 0,666... 3$

$3= 0,75 4$

$5= 0,625 8$

$710 = 0,7$

$1 2 = 0,5$

$3 5 = 0,6$

Сравним:

$0,666...< 0,676676667...< 0,75$

$0,625< 0,676676667...< 0,7$ (не подходит, т.к. $0,676676667...$ не меньше $0,7)$

$0,5< 0,676676667...< 0,6$ (не подходит, т.к. $0,676676667...$ не меньше $0,6)$

Таким образом, $0,676676667...$ находится между $2 3$ и $3. 4$

Ответ:

Ответ

$1)$ $2 3$ и $3 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#119556

Радиус окружности равен 12 см. Вычислите приближенно длину окружности и площадь, ограниченного ею круга, считая $π ≈3,14.$

Источники: Мультиурок (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Длина окружности $(C)$ вычисляется по формуле: $C =2πr,$ где $r$ - радиус.

Площадь круга $(S)$ вычисляется по формуле: $2 S =πr ,$ где $r$ - радиус.

Подставим известные значения: $r= 12$ см и $π ≈ 3,14.$

$C = 2⋅3,14⋅12= 6,28 ⋅12= 75,36$ см.

$S = 3,14⋅122 = 3,14⋅144= 452,16$ см $2.$

Ответ:

Длина окружности: $75,36$ см.

Площадь круга: $452,16$ см $2 .$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#119558

Диаметр окружности равен 10 см. Вычислите приближенно длину окружности и площадь, ограниченного ею круга, считая $π ≈3,14.$

Источники: Мультиурок (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Длина окружности $(C)$ вычисляется по формуле: $C = πd,$ где $d$ - диаметр. Площадь круга $(S)$ вычисляется по формуле: $S = πr2,$ где $r$ - радиус. Поскольку $d =2r,$ то $r= d∕2.$

Подставим известные значения: $d= 10$ см, $r= 10∕2 =5$ см и $π ≈ 3,14.$

$C = 3,14⋅10= 31,4$ см.

$S = 3,14⋅52 = 3,14⋅25= 78,5$ см $2.$

Ответ:

Длина окружности: $31,4$ см.

Площадь круга: $78,5$ см $2 .$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#119561

Сравните два числа:

$X = 0,123456789101112...$

$Y = 0,123456789111213...$

Какое из этих чисел больше и на сколько?

Источники: Авторская, Арсенова Ю.А.

Показать ответ и решение

Числа $X$ и $Y$ совпадают до десятого знака после запятой (до цифры $9).$ Начиная с одиннадцатого знака:

У числа $X$ идет последовательность $10,11,12...$

У числа $Y$ идет последовательность $11,12,13...$

Поскольку $11> 10,$ то число $Y$ больше, чем число $X.$

Разность между числами можно представить как:

$Y − X =0,0◟0000◝0◜0000◞111213...− 0,0◟0000◝0◜0000◞101112...=0,000000000010101... 10нулей 10нулей$

Ответ:

$Y > X$

$Y − X =0,000000000010101...$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#119563

Сравните два числа:

$A= 0,357911131517...$

$B = 0,357911131617...$

Какое из этих чисел больше и на сколько?

Источники: Авторская, Арсенова Ю.А.

Показать ответ и решение

Числа $A$ и $B$ совпадают до девятого знака после запятой (до цифры $3).$ Начиная с десятого знака:

У числа $A$ идет последовательность $15,17...$

У числа $B$ идет последовательность $16,17...$

Поскольку $16> 15,$ то число $B$ больше, чем число $A.$

Разность между числами:

$B− A= 0,0000000001$

Ответ:

$B > A$

$B− A= 0,0000000001$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#119656

Сравните два числа:

$C = 0,2468024681012...$

$D= 0,2468024681112...$

Какое из этих чисел больше и на сколько?

Источники: Авторская, Арсенова Ю.А.

Показать ответ и решение

Числа $C$ и $D$ совпадают до десятого знака после запятой (до цифры $0).$ Начиная с одиннадцатого знака:

У числа $C$ идет последовательность $10,12...$

У числа $D$ идет последовательность $11,12...$

Поскольку $11> 10,$ то число $D$ больше, чем число $C.$

Разность между числами:

$D− C =0,00000000001$

Ответ:

$D > C$

$D− C =0,00000000001000...=0,00000000001$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#119657

Между какими числами расположено иррациональное число $√2-$ ?

$1)$ $1,4$ и $1,5$

$2)$ $3 2$ и $4 3$

$3)$ $1,7$ и $1,8$

$4)$ $1$ и $1,2$

Источники: Авторская, Арсенова Ю.А.

Показать ответ и решение

Приближенное значение $√2 ≈1,41421356...$

Сравним:

$1)$ $1,4< 1,41421356...<1,5$ (Верно)

$2)$ $3 2 = 1,5$ и $4 3 ≈ 1,333...$

$1,333...< 1,41421356...< 1,5$ (Неверно, $1,414...$ не меньше $1,333...)$

$3)$ $1,7< 1,41421356...<1,8$ (Неверно, $1,414...$ не больше $1,7)$

$4)$ $1< 1,41421356...< 1,2$ (Неверно, $1,414...$ не меньше $1,2)$

Таким образом, $√- 2$ находится между $1,4$ и $1,5.$

Ответ:

$1)$ $1,4$ и $1,5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#119658

Между какими числами расположено иррациональное число $π$ ?

$1)$ $3,1$ и $3,2$

$2)$ $22 7$ и $3,15$

$3)$ $19 6$ и $10 3$

$4)$ $3,14$ и $3,141$

Источники: Авторская, Арсенова Ю.А.

Показать ответ и решение

Приближенное значение $π ≈ 3,14159265...$

Сравним:

$1)$ $3,1< π <3,2$ (Верно)

$2)$ $22 7 ≈ 3,142857$ и $3,15$

$22> π 7$ (Не подходит. $π$ не больше, чем $22 7$ )

$3)$ $19≈ 3,1666... 6$ и $10≈ 3,333... 3$

$19 6 > π$ (Не подходит. $π$ не меньше, чем $19 6$ )

$4)$ $3,14< π < 3,141$ (Неверно, $π$ не меньше $3,141$ )

Таким образом, $π$ находится между $3,1$ и $3,2.$

Ответ:

$1)$ $3,1$ и $3,2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#119659

Между какими числами расположено иррациональное число $e$ ?

$1)$ $2,7$ и $2,8$

$2)$ $5 2$ и $8 3$

$3)$ $2,6$ и $2,71$

$4)$ $19 7-$ и $2,72$

Источники: Авторская, Арсенова Ю.А.

Показать ответ и решение

Приближенное значение $e≈ 2,718281828...$

Сравним:

$1)$ $2,7< e< 2,8$ (Верно)

$2)$ $5 2 = 2,5$ и $8 3 ≈ 2,666...$ $8 3 < e$ (Не подходит. $e$ не меньше $8 3$ )

$3)$ $2,6< e$ и $e> 2,71$ (Неверно, $e >2,71$ )

$4)$ $19 7-≈ 2,714285...$ и $2,72$

$19 7-< e< 2,72$ (Верно)

Таким образом, $e$ находится между $2,7$ и $2,8.$

Ответ:

$1)$ $2,7$ и $2,8$

$4)$ $19 7$ и $2,72$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#119660

Вычислите значение выражения: $π +√2-$ (приближенно, $π ≈ 3,14,$ $√2 ≈1,41).$ Между какими двумя последовательными целыми числами находится результат?