Тема Алгебра

17 Степень числа → 17.04 С натуральным и нулевым показателем

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Степень числа

Арифметический корень

Квадратный корень

С дробным показателем

С натуральным и нулевым показателем

С отрицательным показателем

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#132001

Составьте числовое выражение и найдите его значение:

a) квадрат разности чисел $7$ и $5;$

б) разность квадратов чисел $7$ и $5;$

в) куб суммы чисел $4$ и $3;$

г) сумма кубов чисел $4$ и $3;$

д) сумма куба числа $5$ и квадрата числа $8;$

е) сумма квадратов чисел $2,5$ и $0,25.$

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) $(7− 5)2 = 22 = 4;$

б) $2 2 7− 5 = 49− 25 =24;$

в) $3 3 (4+ 3) =7 = 343;$

г) $3 3 4 + 3 = 64+27= 91;$

д) $3 2 5 +8 = 125+16= 141;$

е) $2 2 2,5 +0,25 = 6,25+ 0,0625= 6,3125.$

Ответ:

a) $(7− 5)2 = 4;$ б) $72− 52 =24;$ в) $(4+3)3 = 343;$ г) $43+ 33 =91;$ д) $53+ 82 = 141;$ е) $2,52+ 0,252 = 6,3125.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#132002

Сколько в $1$ км содержится:

$1)$ метров;

$2)$ сантиметров;

$3)$ миллиметров?

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$1)$ Мы знаем, что в $1$ километре $1000$ метров, то есть $10 ⋅10⋅10= 103$ метров.

$2)$ В $1$ метре $100$ сантиметров, или $2 10$ сантиметров. Тогда в 1 километре $3 2 5 10 ⋅10 = 10$ сантиметров (при перемножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а основание остается неизменным).

$3)$ В $1$ сантиметре $10$ миллиметров, тогда в $1$ километре: $3 2 6 10⋅10 ⋅10= 10$ миллиметров.

Ответ:

$1)103;2)105;3)106.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#132003

Скорость света в вакууме равна $300 000$ км/с.

$1)$ Запишите эту величину, используя степень числа $10.$

$2)$ Выразите скорость света в метрах в секунду; запишите результат, используя степень числа $10.$

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$1)300 000 =3⋅100 000= 3⋅105 (км/с).$

$2)$ В $1$ км $1000$ м, поэтому, чтобы перевести км/с в м/с, нужно умножить значение на тысячу:

$300 000 (км/с)=300 000⋅1000 (м/с)= 300 000 000(м/с).$

Используя предыдущий пункт, найдем степень числа $10:$

$5 3 8 300 000⋅1000 (м/с)= 3⋅10 ⋅10 (м/с)=3 ⋅10 (м/с).$

Ответ:

$1)3⋅105 (км/с);$ $2)3⋅108 (м/с).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#132004

Запишите выражение в виде степени:

$6 1)a ⋅a;$

$18 6 2)b :b;$

$1 5 6 3)c ⋅a :c;$

$100 5 35 4)d ⋅d :d .$

Источники: Авторская, Слесаренко Е. Е.

Показать ответ и решение

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается неизменным. При делении степеней с одинаковыми основаниями, наоборот, показатели отнимаются, а основание остается неизменным. Тогда:

$6 6+1 7 1)a ⋅a= a =a ;$

$18 6 18−6 12 2)b :b= b =b ;$

$1 5 6 1+5− 6 0 3)c ⋅a :c =c = c= 1;$

$100 5 35 100+5−35 70 4)d ⋅d :d = d = d .$

Ответ:

$1)a7;2)b12;3)1;4)d70.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#132005

Какие из чисел $− 3,$ $− 2,$ $− 1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $3$ являются корнями уравнения:

$4 1)x = 16;$

$5 2)x = −243;$

$2 3)x + x= 2;$

$3 2 4)x + x = 6x?$

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$1)$ При $x= 2$ получим: $24 = 16,$ а так как отрицательное число в четной степени положительно, то нам также подходит $x =− 2.$

$2)$ Отрицательное число в нечетной степени отрицательно, а положительное в любой степени больше нуля, поэтому нам подходит единственный корень $x= −3;$ $5 (−3)= −243.$

$3)$ Подставим $x =− 2:$

$2 (−2) + (− 2)= 4− 2= 2.$

Также, так как 1 в любой степени равно 1, то:

$2 1+ 1= 1+ 1= 2.$

$4)$ Очевидно, при $x= 0$ слагаемые и сумма обращаются в нуль, значит этот корень нам подходит. Подставим $x =−3 :$

(−3)3+ (−3)2 = 6⋅(− 3);

−27+ 9= −18;

− 18 =− 18.

$x= −3$ — второй корень уравнения.

Ответ:

$1)x= −2;2;$ $2)x= −3;$ $3)x= −2;1;$ $4)x= −3;0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#132007

Разложите на множители:

$2 3 4 1)36m n − 49m n;$

$2 3 2)49xy − y .$

Источники: Дидактические материалы по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$1)$ Вынесем общий множитель за скобки, учитывая умножение степеней с одинаковым основанием:

$23 4 2 2 2 36m n − 49m n= m n ⋅(36n − 49m ).$

В скобках можно заметить разность квадратов:

$2 2 36n − 49m = (6n − 7m )(6n+ 7m ).$

Тогда в итоге получим:

$2 m n(6n − 7m)(6n +7m ).$

$2)$ Вынесем за скобки общий множитель $(y)$ и воспользуемся формулой разности квадратов:

$2 3 2 2 49x y− y = y(49x − y )= y(7x− y)(7x+ y).$

Ответ:

$1)m2n(6n − 7m )(6n+ 7m );$ $2)y(7x − y)(7x+ y).$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#132008

Выполняя задания на преобразования выражений, содержащих степени, ученик допустил следующие ошибки:

$5 1)5⋅5⋅5⋅5= 4;$

$2 2)(−3) =− 3⋅3 =− 9;$

$0 3)0 = 1;$

$1 4)7 = 1.$

Источники: Дидактические материалы по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$1)$ Степенью числа a с натуральным показателем n, б´oльшим $1,$ называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a. Исходя из определения степени, которое не знает ученик, $4 5⋅5⋅5⋅5= 5 .$

$2)$ При возведении отрицательного числа в четную степень число будет умножено само на себя четное число раз, в результате получится положительное число: $2 (−3) = (− 3)⋅(−3)= 9.$

$3)$ Число ноль в любой степени, кроме нулевой, будет равно нулю. В нашем случае $0 0$ — неопределенное выражение.

$4)$ Любое число, возведенное в первую степень, равно самому себе. Тогда $1 7 = 7.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#132009

При каком значении $\text{[math]}$ равно нулю значение выражения:

$2 1)(2x − 3) ;$

$4 2)(x+4) ;$

$5 3)(6x − 1) ?$

Источники: Дидактические материалы по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

2 1)(2x− 3) = 0;

2x − 3= 0;

x= 1,5.

1)(x +4)4 = 0;

x+ 4= 0;

x= −4.

5 3)(6x− 1) = 0;

6x − 1= 0;

1 x= 6.

Ответ:

$1)x= 1,5;2)x= −4;3)x = 1. 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#132010

При каких натуральных значениях n верно неравенство $8< 3n < 85?$

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Рассмотрим степени тройки:

1 3 = 3;

2 3 = 9;

33 =27;

34 =81;

35 = 243.

$3$ в искомой степени должно быть больше $8,$ но меньше $85,$ поэтому нам подходят $9;$ $27;$ $81,$ значит, $n= 2;3;4.$

Ответ:

$n =2;3;4.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#132011

Докажите, что выражение $x2+(x− 1)2$ принимает только положительные значения.

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать доказательство

Любое число в квадрате больше либо равно нуля. Соответственно, сумма квадратов любых двух чисел тоже больше либо равна нуля. Осталось доказать, что $2 2 x + (x− 1)$ не равно нулю.

Сумма равна нулю, если оба слагаемых равны нулю. Какое число при возведении во вторую степень дает 0? Очевидно, само это число. Однако, слагаемые $x$ и $x− 1$ не могут быть равны нулю одновременно, значит, выражение $2 2 x + (x − 1)$ принимает только положительные значения.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#132012

При каких значениях $x$ и $y$ верно равенство:

а) $2 2 x +y = 0;$

б) $4 6 (x− 1) +(y+ 2)= 0?$

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) Сумма равна нулю, если оба слагаемых равны нулю, либо слагаемые противоположны (второй случай нам не подходит, так как число в квадрате всегда больше либо равно нуля). При возведении во вторую степень получим $0,$ только если само число равно $0.$ Поэтому $x= 0;$ $y =0.$

б) Сумма равна нулю, если оба слагаемых равны нулю, либо слагаемые противоположны (второй случай нам не подходит, так как число в четной степени всегда больше либо равно нуля). Тогда:

1)(x − 1)4 = 0;

x− 1= 0;

x =1;

2)(y+ 2)6 =0;

y+ 2= 0;

y = −2.

Ответ:

а) $x= 0;y =0;$ б) $x= 1;y =−2.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#132013

При каком значении переменной принимает наименьшее значение выражение:

$2 1)x + 7;$

$4 2)(x− 1) + 16?$

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$1)$ Так как $x2$ при любых значениях $x$ принимает неотрицательные значения, то сумма $x2+ 7$ будет наименьшей, если $x2$ тоже наименьшее. Тогда $x= 0$ и $2 x + 7= 7.$

$2)$ Число в четной степени всегда неотрицательно, поэтому сумма будет наименьшей, если $4 (x− 1)$ наименьшее, или $4 (x− 1) = 0,$ откуда $x= 1.$

Ответ:

$1)x= 0;2)x= 1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#132014

Докажите, что значение выражения:

$2 2 1)12 +120+ 5$ кратно $17;$

$2 2 2)180 − 51$ кратно $129;$

$3 3 3)18 +1130$ кратно $287;$

$3 3 4)201 − 16$ кратно $185.$

Источники: Авторская, Слесаренко Е. Е.

Показать доказательство

$1)$ Нетрудно заметить, что перед нами формула квадрата суммы $122+ 120+ 52 = (12+ 5)2.$ Посчитаем значение в скобках: $12+ 5= 17,$ значит и $2 2 2 .. ((12 +5) = 12 + 120+5 ).17.$

$2)$ Воспользуемся формулой разности квадратов:

$2 2 180 − 51 =(180− 51)⋅(180+ 51)= 129⋅231.$

Так как один из множителей делится на $129,$ то и все выражение кратно этому числу, и $2 2 .. (180− 51 ).129.$

$3)$ Используем формулу суммы кубов:

$3 3 2 2 2 2 18 + 1130 = (18+1130)⋅(18 − 18⋅1130+1130) =(1148)⋅(18 − 18⋅1130+ 1130 ).$

Проверим, делится ли $1148$ на $287.$ $1148:287 =4,$ значит $.. 1148.287$ и $3 3 .. (18 + 1130 ).287.$

$4)$ По формуле разности кубов получим:

$2013− 163 =(201− 16)⋅(2012+ 201⋅16+ 162)= (185)⋅(2012+ 201⋅16+ 162).$

Первый множитель кратен $185,$ значит, и все выражение тоже кратно $185.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#132015

Докажите, что значение выражения:

$101 103 1)101 + 103$ делится нацело на $2;$

$n 2)6 − 1$ делится нацело на $5$ при любом натуральном значении n.

$10 3)10 − 7$ делится нацело на $3;$

$7 8 9 4)16 +15 − 11$ делится нацело на $10;$

Источники: Учебник по математике 7 класс А.Г. Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир (см. go.11klasov.net)

Показать доказательство

$1)$ Нечетное число в нечетной степени — нечетно. Значит, перед нами сумма двух нечетных чисел, которая равна четному числу. Поэтому $101 103 .. (101 +103 ).2.$

$2)$ Заметим, что число $6$ в любой степени оканчивается на цифру $6,$ например: $2 3 6 =36;6 = 256$ и т.д. Тогда, если из $n 6$ вычесть единицу, то число будет оканчиваться на $5$ и, соответственно, делиться нацело на $5.$

$3)$ Число $10 10$ состоит из $1$ и $10$ нулей. Если мы вычтем 7, то получим число, состоящее из девяти девяток и трех.

Число делится нацело на $3,$ если его сумма цифр делится на $3.$ В нашем случае $.. (9 ⋅9 +3).3,$ тогда и $10 .. (10 − 7).3.$

$4)$ Число $6$ в любой степени оканчивается на цифру $6,$ $5$ в любой степени — на $5,$ а $1$ — на $1.$ Тогда последняя цифра в значении $7 8 9 16 + 15 − 11$ будет равна $6 +5− 1= 0,$ а выражение $7 8 9 16 +15 − 11$ делится нацело на $10.$

Предыдущая подтема

Следующая подтема