Тема Алгебра

17 Степень числа → 17.02 Квадратный корень

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Степень числа

Арифметический корень

Квадратный корень

С дробным показателем

С натуральным и нулевым показателем

С отрицательным показателем

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#118440

Какое утверждение о квадратном корне верно?
A) $√- 0= 1$
B) $√- 1= ±1$
C) $√- 4= 2$
D) $√--- − 1= 1$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Квадратный корень из неотрицательного числа $a$ - это такое неотрицательное число $x$ , что $x2 = a$ .

Ответ: C)

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#118444

Какое из следующих равенств всегда верно?
A) $√---- √- √- a+ b= a+ b$
B) $√--- √- √ - a⋅b= a⋅ b$
C) $√---- √- √- a− b= a− b$
D) $∘-a a- b = √b$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

B) $√a⋅b= √a⋅√b-$ – верно.

Это одно из основных свойств квадратных корней.

Ответ: B)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#118445

Чему равно $∘ (−5)2-$ ?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

$√a2-=|a|$ , поэтому $∘(−5)2 = 5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#118614

При каких значениях $a$ выражение $√a-$ имеет действительное значение?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Квадратный корень определен для неотрицательных чисел.

Ответ: a ≥ 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#118616

Какое из чисел является полным квадратом?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

$10$ - не является квадратом целого числа.
$2 16= 4$ - квадрат целого числа.
$15$ - не является квадратом целого числа.
$20$ - не является квадратом целого числа.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#118617

Вычислите $√81.$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

√-- √--2 81= 81 = 9

Ответ: 9

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#118619

Какое число является корнем из $16 81$ ?
A) $2 3$
B) $8- 81$
C) $9 4$
D) $4 9$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

По свойству степеней: $(4)2 = 16. 9 81$

Ответ: D)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#118620

Найдите значение выражения $√49− √9.$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Вычислим значения из под корней: $√49-=7;$ $√9-= 3.$
То есть $7 − 3= 4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#118622

Вычислите $√1,44.$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

∘ ---- ∘ --2- 1,44 = 1,2 =1,2

Ответ: 1,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#118624

Найдите $√0,36.$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

∘ ---- ∘ (--)2- 0,36= -6 = -6 =0,6 10 10

Ответ: 0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#121742

Упростите:

а) $√ - √ - √ -- √- √- 3 8+ 2− 3 18+(2− 3)(2+ 3)$

б) $√- √- (a +2)(a − 2 a +4)$

в) $√- √- √ - √ - (2 a + b)(3 a− 2 b)$

Источники: Репетитор онлайн, Квадратный корень (см. www.itmathrepetitor.ru)

Показать ответ и решение

а) $3√8 +√2-− 3√18+ (2− √3 )(2+ √3)$

Упростим корни: $√- √--- √ - √- √- √ - 8= 4 ⋅2 =2 2 ⇒ 3 8 =3⋅2 2 =6 2$

$√-- √--- √- √-- √- √ - 18= 9⋅2= 3 2 ⇒ −3 18= −3⋅3 2 =− 9 2$

Подставим упрощенные значения: $√ - √- √ - √- √ - 6 2+ 2− 9 2+ (2− 3)(2 + 3)$

Упростим произведение: $√- √- 2 √- 2 (2− 3)(2+ 3)= 2 − ( 3) = 4− 3= 1$

Теперь подставим это значение: $√- √- √- 6 2+ 2− 9 2+ 1$

Объединим подобные члены: $√- √ - √ - √- (6 2 + 2− 9 2)+ 1= (−2 2)+1$

Таким образом, окончательный ответ: $√ - 1− 2 2$

б) $√- √- (a +2)(a − 2 a +4)$

Раскроем скобки, используя распределительное свойство: $√- √- √ - a(a− 2 a+ 4)+2(a− 2 a+4)$

Упростим каждую часть: $√- √ - √ - √- √ - a ⋅a − a⋅2 a+ a⋅4+ 2a− 4 a+8$

$√ - √- √- a a− 2a +4 a +2a− 4 a+ 8$

Объединим подобные члены: $√- a a+ 8$

в) $√- √- √ - √ - (2 a + b)(3 a− 2 b)$

Раскроем скобки: $√- √- √- √ - √- √- √- √- 2 a ⋅3 a +2 a ⋅(−2 b)+ b⋅3 a+ b⋅(−2 b)$

Упростим каждую часть: $√ -- √-- 6a+ (− 4 ab)+ 3 ab− 2b$

Объединим подобные члены: $√-- √ -- √ -- 6a − 2b− 4 ab+3 ab =6a− 2b− ab$

Ответ:

а) $1− 2√2;$ б) $a√a+ 8;$ в) $6a− 2b− √ab.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#121781

Проверьте равенство:

а) $∘9- 4 =1,5$

б) $√-6 3 a = a (a≥ 0)$

в) $√---- 25a2 =− 5a (a ≤0)$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

а) $∘ 9= 1.5 4$

Вычислим левую часть:

$∘9- √√9 3 4 = 4 = 2 =1.5$

Таким образом, равенство верно

б) $√-6 3 a = a (a≥ 0)$

Вычислим левую часть:

$√-6 6∕2 3 a = a = a$

Поскольку $a≥ 0,$ то $√-- 3 a6 = a$ верно. Таким образом, равенство верно.

в) $√---- 25a2 =− 5a (a ≤0)$

Вычислим левую часть:

$√---- √ --√ -- 25a2 = 25 ⋅ a2 = 5|a|$

Поскольку $a≤ 0,$ то $|a|= −a.$ Таким образом:

$√---- 25a2 =5(−a)= −5a$

Таким образом, равенство верно.

Ответ: Все три равенства верны.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#121782

Решите уравнение:

а) $2 x =25$

б) $2 z =3$

в) $2 (x− 2) =9$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

а) $x2 = 25$

Чтобы решить это уравнение, возьмем квадратный корень из обеих сторон:

$√-- x= ± 25$

$x= ±5$

$x= 5 или x =− 5$

б) $2 z =3$

$√- z = ± 3$

$√- √- z = 3 или z = − 3$

в) $2 (x− 2) =9$

$√- x− 2 =± 9$

$x− 2 =±3$

Теперь решим два случая:

$x− 2 =3 =⇒ x= 3+2 =5$

$x− 2 =− 3 =⇒ x= −3+ 2= −1$

$x= 5 или x =− 1$

Ответ:

а) $x =5$ или $x= −5$

б) $√ - z = 3$ или $√- z =− 3$

в) $x= 5$ или $x =− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#121783

Одна из сторон прямоугольного участка составляет $25%$ другой стороны. Найдите периметр участка, если его площадь равна $16$ м $2 .$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим одну сторону прямоугольного участка как $x,$ а другую сторону как $y.$ По условию задачи, одна сторона составляет $25%$ другой стороны, что можно записать как:

$x= 0.25y$

Также известно, что площадь прямоугольника равна $2 16м :$

$xy =16$

Теперь подставим выражение для $x$ в уравнение площади:

$(0,25y)y = 16$

$2 0,25y =16$

$2 y =64$

$√ -- 4y = 64=8$

Теперь подставим значение $y$ обратно в выражение для $x:$

$x= 0,25y = 0,25⋅8= 2$

Теперь у нас есть обе стороны прямоугольника: $x= 2$ и $y = 8.$

Теперь найдем периметр прямоугольника:

$P = 2(x +y)= 2(2 +8)= 2⋅10= 20$

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#121809

Упростите выражение:

а) $∘-----2---- (a+ 1) − 4a$

б) $∘--2---2----2 (a − 4) + 16a$

в) $∘-2-------√--2------- a + a+ 4+ a − 6a+ 9 (a≥ 3)$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

а) $∘ (a-+1)2−-4a-$

$∘--2---------- √ -2---------- √-2------- (a +2a+ 1)− 4a = a +2a+ 1− 4a= a − 2a +1$

$2 2 a − 2a+ 1= (a − 1)$

$∘-----2 (a− 1) = |a − 1|$

б) $∘--2---2----2 (a − 4) + 16a$

$∘--4---2---------2 √-4---2---- (a − 8a + 16)+ 16a = a +8a + 16$

$∘--2---2 2 (a +4) = |a + 4|$

Поскольку $2 a + 4$ всегда положительно, мы можем убрать модуль:

$∘------------ 2 (a2− 4)2+ 16a2 = a + 44$

в) $∘---------√---------- a2+ a+ 4+ a2− 6a+ 9 (a≥ 3)$

Упростим подкоренное выражение: $a2− 6a+ 9= (a − 3)2$

Таким образом: $√--------- a2− 6a+9 =|a− 3|$

Поскольку $a≥ 3,$ то $|a − 3|= a− 3.$

Подставим это обратно в выражение:

$∘--------------- √ ------------- √--------- a2+ a+ 4+(a− 3)= a2+a +4+ a− 3= a2+ 2a+ 1$

$∘------ (a+ 1)2 = |a +1|$

Поскольку $a+ 1$ всегда положительно для $a≥ 3,$ мы можем убрать модуль:

$∘---------√---------- a2+ a+ 4+ a2− 6a+ 9= a+ 1$

Ответ:

а) $|a− 1|$

б) $2 a +4$

в) $a+1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#121816

Выполните умножение:

а) $√- √ - √- (2+ 6)(3 2− 2 3)$

б) $√-- √ - √ - (1+ 15)( 3− 5$

в) $∘---√- ∘ ---√- 3+ 2⋅ 3− 2$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

а) $(2+ √6)(3√2-− 2√3) =2⋅3√2 +2⋅(−2√3)+ √6⋅3√2+ √6⋅(−2√3)= 6√2− 4√3+ 3√12− 2√18-=6√2-− 4√3-+6√3 − 6√2 =2√3$

б) $√-- √ - √ - √ - √ - √-- √- √ -- √ - √ - √ - √ - √ - √- √- (1+ 15)( 3− 5) =1⋅ 3+1 ⋅(− 5)+ 15⋅ 3 + 15 ⋅(− 5) = 3− 5+ 3 5− 5 3= −4 3+ 2 5$

в) $∘---√- ∘ ---√- ∘ ---√-----√--- ∘ -2--√--2 √---- √- 3+ 2⋅ 3− 2= (3+ 2)(3 − 2)= 3 − ( 2) = 9− 2= 7$

Ответ:

а) $2√3;$ б) $− 4√3 +2√5;$ в) $√7.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#121818

Решите уравнение:

$√ -- √ -- 3 8x+ 2x= 1$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

$3√8x+ √2x =1$

$√-- √ -- 3(2 2x)+ 2x= 1$

$√ -- √ -- 6 2x+ 2x= 1$

$√ -- 7 2x= 1$

$√-- 1 2x= 7$

$1 2 2x =(7)$

$1- 2x = 49$

$1 x= 98$

Ответ:

$x = 1 98$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#121820

Решите уравнение:

$√- √ - (2+ x)(3 − x)=1− x$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

$(2+ √x)(3− √x)= 1− x$

$√- √ - 2⋅3− 2 x +3 x− x =1 − x$

$√ - 6+ x− x= 1− x$

$√ - 6+ x= 1$

$√- x= 1− 6$

$√- x= −5$

Поскольку $√- x$ не может быть отрицательным, уравнение не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#121823

Выполнить действия:

а) $√- √- 2 (3 a − 2 b)$

б) $√-- √- 2 (2 ab+ a)$

в) $√- √- (x+ 1+ 3)(x +1− 3)$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

а) $(3√a− 2√b)2$

$√- √- 2 √- 2 √- √ - √ -2 √ -- (3 a − 2 b) = (3 a) − 2⋅(3 a)(2 b)+ (2 b) = 9a− 12 ab+4b$

б) $√-- √- 2 (2 ab+ a)$

$√-- √- 2 √-- 2 √-- √- √ -2 √ - (2 ab+ a) = (2 ab) +2 ⋅(2 ab)( a)+ ( a)= 4ab+ 4a b+a$

в) $√- √- (x+ 1+ 3)(x +1− 3)$

$√- √- 2 √ -2 2 2 (x+ 1+ 3)(x +1− 3)= (x+1) − ( 3) = (x +2x+ 1)− 3 =x + 2x− 2$

Ответ:

а) $9a− 12√ab-+4b$

б) $√- 4ab+ 4a b+ a$

в) $2 x +2x− 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#121858

Упростите выражение, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата:

а) $∘----√- 4+ 2 3$

б) $∘----√- 9− 4 5$

в) $∘----√---- a+ 2 a− 1$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

а) $∘4-+-2√3-= ∘1-+2√3+-3= ∘ (1-+√3)2 = 1+ √3$

б) $∘----√- ∘ ---√----- ∘ -√------ √- 9− 4 5= 5− 4 5+4 = ( 5− 2)2 = 5 − 2$

в) $∘--------- ∘ ---------------- ∘ ---------- a+ 2√a−-1= (a− 1)+2√a-− 1-+1= (√a-−-1+1)2 = √a−-1+ 1$

Ответ:

а) $1+ √3$

б) $√- 5− 2$

в) $√---- a− 1+1$

Предыдущая подтема

Следующая подтема