Тема Алгебра

17 Степень числа → 17.05 С отрицательным показателем

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Степень числа

Арифметический корень

Квадратный корень

С дробным показателем

С натуральным и нулевым показателем

С отрицательным показателем

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#121042

Упростите выражение:

а) $(9a−2−16b−2)n- (3a−1−4b−1)n$

б) $32 −2n ((42aa−+63−b9b−4))n-$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $− 2 −2 n (9b2−1262a2)n 2 2n n 2 2n n n (9(3aa−−11−64bb−1))n-= -(-a3bb−4a)n--= (9b(3b−−164aa)n)-⋅ ((aa2b)b2)n = ((93bb−−4a16)naa)nbn = ((3(b3−b−4a4)a(3)nba+n4ab)n) = (3ba+n4abn) ab$

б) $32 −2n (2a32+ 3)n (2a32b2+3)n 322 n 64 n 386 6 4n ((42aa−+63−b9b−4))n-= -4b4−9ab26-n =-4bb4−29a6n-= (2a(4bb4−+93a)6⋅)n(a⋅b2bn)-= (2a(4bb6−+93a6abb2)n) =(2a438bb6−6+93aa66b2b4)n ( a6b4 ) (a6b4 )$

Ответ:

а) $(3b+4a)n anbn$

б) $2a38b6+3a6b4n (4b6−9a6b2 )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#121320

Упростите выражение:

а) $--a-- −n --a1−n-- ((b−a)2) :(a−b)1− 2n$

б) $−n−1 ((xx−y)4n+1)−1 :((y − x)4⋅x−1)n$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $(--a--)−n :--a1−n--= ((b−-a)2)n⋅ (a−b)1−2n = (b−a)2n(a−b)1−2n= (b−a)2n(a−b)1−2n-= (b−a)2n(−1)1−2n(b−a)1−2n-= (−1)1−2n&#x0 (b−a)2 (a−b)1−2n a a1−n ana1−n a a a a a$

б) $−n−1 − n−1 n x− y ((x−xy)4n+1)−1 :((y− x)4⋅x− 1)n = (x−xy)−(4n+1) ⋅((y−x1)4⋅x−1)n = x−n−1(x − y)4n+1 ⋅(y−x)41n⋅x−n-= x− n− 1(x− y)4n+1&#$

Ответ:

а) $a−b a$

б) $x−y x$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#121321

Упростите выражение:

$13 8−10 4a8 0,2a−7b−1 (125ab − 5b10): a−3b2$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

$(113a8b−10− 4a8-): 0.2a−7b−1 25 5b10 a−3b2$

$13- 38- 125 = 25$

$38-8 −10 4a8- 38a8−20a8 -18a8 25a b − 5b10 = 25b10 = 25b10$

$0.2a−7b−1 −7−(− 3) −1−2 −4 − 3 -a−3b2--= 0.2⋅a ⋅b = 0.2⋅a ⋅b$

$8 --1825−ab140−3 = 18a180 ⋅-1−4−3 = 18a810-⋅ 102-⋅a4b3 0.2a b 25b 0.2a b 25b$

$18⋅10-⋅a8+4⋅b3−10 = 180⋅a12 ⋅b−7 = 18a12b−7 25⋅2 50 5$

Ответ:

$18a12 5b7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#121322

Решите уравнение:

а) $−1 2 (−x) = 3$

б) $−1 4 (2x+ 1) = 5$

в) $−1 −1 3 (3x + 2) =7$

г) $−1−1 2 −2 (5− (2x) ) =(3)$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $(−x)−1 = 2 3$

$3 3 − x= 2 =⇒ x =− 2$

б) $−1 4 (2x+ 1) = 5$

$5 5 5 4 1 1 2x +1= 4 =⇒ 2x= 4 − 1= 4 − 4 = 4 =⇒ x= 8$

в) $−1 −1 3 (3x + 2) =7$

$−1 7 −1 7 7 6 1 − 1 1 3x +2= 3 =⇒ 3x = 3 − 2= 3 − 3 = 3 =⇒ x = 9 =⇒ x= 9$

г) $−1−1 (2)−2 (5− (2x) ) = 3$

$−1− 1 9 −1 4 (5− (2x) ) = 4 =⇒ 5− (2x) = 9$

$4 −1 45 4 −1 41 −1 5− 9 = (2x) =⇒ 9-− 9 = (2x) =⇒ 9-=(2x)$

$9 9 2x = 41-=⇒ x= 82$

Ответ:

а) $− 3 2$

б) $1 x= 8$

в) $x= 9$

г) $9- x = 82$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#121323

Решите уравнение:

а) $− 2 4 x = 9$

б) $−2 25− 1 (3x− 1) =( 4 )$

в) $−1−2 (2− x ) =4$

г) $−2−1 (17− (5x) ) = 1$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $x−2 = 4 9$

$2 9 3 x = 4 =⇒ x= ± 2$

б) $−2 (25)−1 (3x− 1) = 4$

$−2 4- 2 25- (3x− 1) = 25 =⇒ (3x− 1) = 4$

$5 3x − 1= ± 2$

$5 5 7 7 3x − 1= 2 =⇒ 3x= 2 + 1= 2 =⇒ x = 6$

$5 5 3 1 3x − 1= − 2 =⇒ 3x= −2 +1 =− 2 =⇒ x= − 2$

в) $−1−2 (2− x ) =4$

$−1−2 −1 2 1 (2− x ) =4 =⇒ (2− x ) = 4$

$1 2− x−1 =± 2$

$2− x−1 = 12 =⇒ x−1 = 2− 12 = 32 =⇒ x = 23$

$2− x−1 =− 12 =⇒ x−1 = 2+ 12 = 52 =⇒ x= 25$

г) $(17− (5x)−2)−1 = 1$

$(17− (5x)−2)−1 =1 =⇒ 17 − (5x)−2 = 1$

$(5x)−2 = 17 − 1= 16 =⇒ (5x)2 = 116$

$5x =± 14 =⇒ x = 120- или x= − 120-$

Ответ:

а) $x =± 3 2$

б) $7 1 x= 6,x = −2$

в) $2 2 x= 3,x = 5$

г) $1- 1- x = 20 или x =− 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#121324

Решите уравнение:

а) $3x+1− 1 2x−6 −1 (x−2 ) = ( x )$

б) $3x−1+2−1 x+2 −1 (6x−1−1) =(-3-)$

в) $−1 1−(3(1x−,52x))−1-=(3x)− 1+5x−1$

г) $(3x)−1−5−−11= 1− (0,6x)−1 (3x−5)$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $(3x+1)−1 =(2x−6)−1 x−2 x$

$x−2- -x-- 3x+1 = 2x−6$

$(x− 2)(2x− 6)=x(3x+ 1)$

$2 2 2x − 6x− 4x+12= 3x + x$

$2 2 2x − 10x+ 12 =3x + x$

$2 0= x +11x− 12$

Решим квадратное уравнение: $−11±√121+48- −11±√169- −11±13 x= 2 = 2 = 2$

$x1 =1, x2 =− 12$

б) $3x−1+2−1 x+2 −1 (6x−1−1) =(-3-)$

$−1 6x3x−1−+12-=x3+2$

$(6x−1− 1)(x+ 2)=3(3x− 1+2)$

$6− x +12x−1− 2= 6+9x−1$

$3x−1 − x− 2= 0$

$− x2 − 2x+ 3= 0$

$x2 +2x− 3= 0$

$x1 =− 3, x2 = 1$

в) $1−(3(1x−.52x))−−11-=(3x)− 1+5x−1$

$(1− 32x)⋅3x= 1+5 ⋅(3x− 2)$

$3x − 2= 1+ 15x− 10$

$3x − 2= 15x− 9$

$− 12x= −7 =⇒ x= 7- 12$

г) $(3x)−1−5−1= 1− (0.6x)−1 (3x−5)−1$

$( 1− 1)⋅(3x − 5)= 1− 10 3x 5 6x$

$3x- -5 -5 1− 5 −3x +1= 1− 3x$

$3x- 1− 5 =0$

$3x- 1= 5$

$5 x= 3$

Ответ:

а) $x = 1, x = −12 1 2$

б) $x1 =− 3, x2 = 1$

в) $7- x= 12$

г) $5 x = 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#121325

Решите уравнение:

а) $−1 x+x =2$

б) $−1 x− 3(−x) = 4$

в) $−1 x+(−x) = 1,5$

г) $−1 x +9x = 6$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $x+ x−1 = 2$

$2 x +1= 2x$

$2 x − 2x+ 1= 0$

$2 (x− 1) =0 =⇒ x= 1$

б) $−1 x− 3(−x) = 4$

$2 − x +3= −4x$

$2 2 − x +4x+ 3= 0 =⇒ x − 4x− 3 =0$

$4±√16+12 4±√28 4±2√7 √- x= ---2---= --2--= --2--= 2± 7$

в) $−1 x+(−x) = 1.5$

$− x2 − 1= −1.5x$

$− x2 +1.5x +1= 0 =⇒ x2− 1.5x− 1= 0$

$1.5±√(1.5)2+4 √----- √--- x= ----2-----= 1.5±-22.25+4= 1.5±26.25= 1.5±22.5$

$x1 =2, x2 =− 0.5$

г) $x +9x−1 = 6$

$x2 +9= 6x$

$x2 − 6x+ 9= 0$

$(x− 3)2 =0 =⇒ x= 3$

Ответ:

а) $x =1$

б) $√ - 2± 7$

в) $x1 =2, x2 =− 0.5$

г) $x =3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#121326

Решите уравнение:

а) $− 2 −1 x − 3x + 2= 0$

б) $− 4 −2 x − 5x + 4= 0$

в) $−2 −1 (2x+ 1) − 3(2x +1) − 4= 0$

г) $x+4 −4 x −2 ( 2 ) + (2+ 2) − 2= 0$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $x−2− 3x−1+ 2= 0$

Пусть $− 1 y = x ,$ тогда $2 −2 y = x :$

$2 y − 3y+ 2= 0$

$(y− 1)(y− 2)=0 =⇒ y = 1 или y =2$

Возвращаемся к $x :$

$− 1 x = 1 =⇒ x= 1$

$− 1 1 x = 2 =⇒ x= 2$

б) $− 4 −2 x − 5x + 4= 0$

Пусть $− 2 y = x ,$ тогда $2 −4 y = x :$

$y2 − 5y+ 4= 0$

$(y− 1)(y− 4)=0 =⇒ y = 1 или y =4$

Возвращаемся к $x :$

$x− 2 = 1 =⇒ x= 1 или x= −1$

$x− 2 = 4 =⇒ x= 12 или x= − 12$

в) $(2x+ 1)−2 − 3(2x +1)−1− 4= 0$

Пусть $y = (2x+ 1)−1,$ тогда $y2 = (2x+ 1)− 2):$

$y2 − 3y− 4= 0$

$(y− 4)(y+ 1)=0 =⇒ y = 4 или y =− 1$

Возвращаемся к $x :$

$(2x+ 1)−1 =4 =⇒ 2x +1 = 14 =⇒ 2x= 14 − 1= − 34 =⇒ x= − 38$

$(2x+ 1)−1 =− 1 =⇒ 2x+ 1= −1 =⇒ 2x= −2 =⇒ x =− 1$

г) $(x+24)−4+ (2+ x2)−2− 2= 0$

Пусть $y = x+24,$ тогда $x2 = y− 2 :$

$y−4 +(y)−2 − 2 =0$

Пусть $z = y−2 :$

$z2 +z− 2= 0$

$(z− 1)(z+ 2)=0 =⇒ z = 1 или z =− 2$

Возвращаемся к $y :$

$y−2 =1 =⇒ y = 1 или y =− 1$

$y = 1 =⇒ x+4= 1 =⇒ x+ 4= 2 =⇒ x =− 2 2$

$y = −1 =⇒ x+4= −1 =⇒ x+ 4= −2 =⇒ x= −6 2$

Ответ:

а) $x =1,x= 1 2$

б) $x= 1 или x =− 1$

$1 1 x= 2 или x= −2$

в) $3 x= −8,x= −1$

г) $x =− 2,x =− 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#121327

Решите неравенство:

а) $− 1 x >0$

б) $− 1 (x+ 1) < 0$

в) $−1 (3− 2x) <0$

г) $−1 (4x− 2) >0$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $x−1 > 0$

$1 x > 0$

Неравенство выполняется, когда $x > 0.$

б) $− 1 (x+ 1) < 0$

Неравенство выполняется, когда $x +1 <0$ и $x+ 1⁄= 0:$

$x< −1$

в) $−1 (3− 2x) <0$

Неравенство выполняется, когда $3 − 2x< 0:$

$3 3< 2x =⇒ x> 2$

г) $(4x− 2)−1 >0$

Неравенство выполняется, когда $4x − 2> 0:$

$4x >2 =⇒ x> 12$

Ответ:

а) $x >0.$

б) $x< −1$

в) $3 x> 2$

г) $1 x > 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#121328

Решите неравенство:

а) $x+1 −1 (x−2) < 1$

б) $3x+1− 1 √ -−2 (x+2 ) < ( 3)$

в) $--2x−5-- (2x)−1−5−1 < 0$

г) $−1 −1 x3−−3x--> 0$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $(x+1)−1 < 1 x−2$

$x−2 x+1 < 1$

Умножим обе стороны на $x+ 1$ (при условии, что $x +1⁄= 0):$

$x− 2 <x +1 (при x+1 >0)$

$− 2<1 (всегда верно)$

Теперь рассмотрим случай, когда $x +1< 0:$

$x− 2 >x +1$

$− 2>1 (невозм ож но)$

Теперь найдем, когда $x +1= 0$ и $x− 2= 0:$

$x+1 =0 =⇒ x= −1$

$x− 2 =0 =⇒ x= 2$

Теперь определим знак выражения $xx−+21 :$

Для $x< −1 :$ $xx−+21 > 0$

Для $− 1< x< 2:$ $x−x+12< 0$

Для $x> 2:$ $xx−+21 > 0$

Таким образом, решение: $− 1< x< 2$

б) $√ - (3xx++12 )− 1 < ( 3)−2$

Перепишем неравенство: $x3x++21-< 13$

Умножим обе стороны на $3(3x +1)$ (при условии, что $3x+ 1⁄= 0$ ):

$3(x+ 2)<3x +1$

$3x +6< 3x+ 1$

$6< 1 (невозмож но)$

Теперь найдем, когда $3x+ 1= 0$ и $x+ 2= 0:$

$3x +1= 0 =⇒ x =− 13$

$x+2 =0 =⇒ x= −2$

Теперь определим знак выражения $x3x++21-:$

Для $x< −2 :$ $x+2-< 0 3x+1$

Для $− 2< x< − 1: 3$ $-x+2-> 0 3x+1$

Для $x> − 1: 3$ $-x+2-> 0 3x+1$

Таким образом, решение: $(−2,− 1) 3$

в) $--2x−5--< 0 (2x)−1−5−1$

Упростим знаменатель: $(2x)−1− 5−1 = 1-− 1 = 5−-2x 2x 5 10x$

Теперь подставим это в неравенство: $2x−5< 0 5−102xx-$

Умножим обе стороны на $10x$ (при условии, что $x⁄= 0$ ):

$(2x− 5)(10x) <5− 2x$

Раскроем скобки: $2 20x − 50x< 5− 2x$

Переносим все в одну сторону: $2 20x − 48x− 5< 0$

Решим квадратное уравнение $2 20x − 48x− 5= 0$ с помощью дискриминанта:

$D= (−48)2− 4⋅20⋅(− 5) =2304+400= 2704$

Теперь найдем корни:

$√-- √--- x= −b±2a-D-= 48±420704-$

$√---- 2704 =52 =⇒ x = 48±4502$

Находим корни:

$x1 = 10400 = 2.5$

$x2 = −440 = −0.1$

Теперь у нас есть корни $x1 = 2.5$ и $x2 = −0.1.$ Неравенство $20x2− 48x− 5< 0$ будет выполняться между корнями.

Теперь определим знаки на интервалах:

Для $x< −0.1:$ $20x2− 48x− 5> 0$

Для $− 0.1 <x <2.5:$ $20x2− 48x− 5< 0$

Для $x> 2.5 :$ $20x2− 48x− 5> 0$

Таким образом, решение: $(−0.1,2.5)$

г) $x−13−−3x−1> 0$

$1x− 13-> 0 3−x$

$3−x 33x−x > 0$

Сократим $3 − x$ (при условии, что $3− x ⁄=0$ ):

$13x-> 0$

Это неравенство выполняется, когда $x > 0.$

Теперь учтем, что $3− x ⁄= 0$ (то есть $x ⁄=3).$

Таким образом, решение: $x> 0 и x⁄= 3$

Ответ:

а) $− 1< x <2$

б) $1 (−2,−3)$

в) $(−0.1,2.5)$

г) $x >0 и x ⁄= 3$

Предыдущая подтема