Тема Алгебра

17 Степень числа → 17.02 Квадратный корень

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Степень числа

Арифметический корень

Квадратный корень

С дробным показателем

С натуральным и нулевым показателем

С отрицательным показателем

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#121859

Вычислите:

а) $∘ ---√-- ∘ ----√- 2 ( 3+ 2 2− 3− 2 2)$

б) $∘ ---√- ∘---√- 4 ( 3+ 5+ 3− 5)$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

а) $(∘3-+2√2 − ∘3-−-2√2-)2$

Упростим каждое из выражений под корнем: $∘ ---√-- ∘-√----2- √ - 3+2 2= ( 2+ 1) = 2+1$

$∘----√- ∘ √------- √- 3− 2 2= ( 2− 1)2 = 2− 1$

Теперь подставим в выражение: $∘------ ∘ ------ ( 3 +2√2 − 3− 2√2-)2 = ((√2-+ 1)− (√2− 1))2 = (1 +1)2 = 22 =4$

б) $∘ ----- ∘----- ( 3+ √5+ 3− √5)4$

Обозначим $∘ ----- ∘----- x = 3+ √5+ 3 − √5$

Найдем $x2 :$ $----- ----- ∘ ------------- ∘ -------- x2 = (∘ 3+ √5+ ∘ 3− √5)2 = (3+√5 )+(3− √5)+2 (3 +√5)(3− √5-)=6 +2 32 − (√5)2 = 6+2√9-− 5-=6+ 2√4= 6+ 4= 10$

Теперь найдем $x4 :$ $x4 =(x2)2 = 102 = 100$

Ответ:

а) $4;$ б) $100.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#121860

Разложите на множители:

а) $√ - √ - √- √- a a+ b b+a b +b a$

б) $√ - √ - √-- a b− a+ ab− 1$

в) $√ - x− 6 x+5$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

а) $a√a +b√b+ a√b+ b√a$

Группируем слагаемые: $√ - √- √ - √- (a a+b b)+ (a b+b a)$

$√- √- a(a +b)+ b(a+ b)$

$√- √- (a+ b)( a + b)$

б) $√ - √ - √-- a b− a+ ab− 1$

$√- √-- √ - (a b+ ab)− ( a+1)$

$√--√- √ - ab( a +1)− ( a+1)$

$√ - √ -- ( a+1)( ab− 1)$

в) $√ - x− 6 x+5$

Обозначим $√ - x= y,$ тогда $x =y2 :$ $y2− 6y+ 5$

Разложим квадратное уравнение: $(y− 1)(y− 5)$

Подставим обратно $√- x:$ $√- √ - ( x − 1)( x− 5)$

Ответ:

а) $(a+ b)(√a+ √b);$ б) $(√a-+1)(√ab-− 1);$ в) $(√x − 1)(√x− 5).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#121861

Сократите дроби:

а) $a+2√a+1- a−1$

б) $√2+1 √2+2$

в) $√- 2 (3√+31+)2-$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

а) $a+2√a+1 a−1$

$√ - √- 2 a+2 a+1 =( a +1)$

$(√a+1)2 a−1$

$(√a+1)2 (√a−1)(√a+1)$

$√- √aa+−11$

б) $√√2+1 2+2$

$(√√2+1)(√√2−2) (√2+1)(√2−2) (√2+1)(√2−2) (2+2)( 2−2) = 2−4 = −2$

$√- √- √- √- √- √- √- √- (2⋅-2−-2−22+-2−2)= (2−2-2−+2-2−2)= −−22= -22$

в) $√- (3√+31+)22-$

$4+√2√3- 3+2$

$2(2+√3) √3+2 = 2$

Ответ:

а) $√√a+1; a−1$ б) $√2; 2$ в) $2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#121863

Решите уравнение:

$√- (x+ 1)⋅ 3= x+ 3$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

$(x+ 1)⋅√3 = x+ 3$

$√- √- 3x+ 3= x+ 3$

$√- √ - 3x− x= 3− 3$

$√- √- x( 3 − 1)= 3− 3$

$3−√3 x= √3−1$

$√- √- √- √- √ - √- x= (3(√−3−31))((√33++11)) = (3-3+33−−31−-3)-= 223= 3$

Ответ:

$x =√3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#121865

Решите уравнение:

$√- √- √ - (2− x 6)⋅ 2= 2(x− 6)$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

$(2− x√6)⋅√2= 2(x − √6)$

$√ - √ -- √- 2 2− x 12= 2x − 2 6$

$√ - √ - √- 2 2− 2x 3= 2x − 2 6$

$√ - √ - √- 2 2+2 6= 2x +2x 3$

$√- √- √ - 2( 2+ 6)= 2x(1 + 3)$

$√2+√6 x= 1+√3$

$√- √- x= -21(1++√33)$

$√- x= 2$

Ответ:

$x =√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#121869

Приведите знаменатель дроби к рациональному виду:

а) $√-1--- a+3− 2$

б) $√x−1-- x+3− 2$

в) $----b---- ∘a+√a2−b2$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

а) $√--1-- a+3−2$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя:

$√-1--- √√a+3+2 √√a+3+2-- a+3− 2 ⋅ a+3+2 = ( a+3)2− 22$

$√--- √--- aa++33+−24-= -aa+−31+2$

б) $√xx−+13−-2$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя:

$√--- √--- √xx−+13−-2 ⋅√xx++33++22 = (x−(1√)x(+x3)+23−+222)$

$√--- √--- (x−1)(x+x3−+43+2)-= (x−1)(x−x1+3+2)-=√x-+-3+2$

в) $∘--√b---- a+ a2−b2$

$∘--√----- ∘--√----- ∘--√b----⋅∘a−√a2−b2= -∘--√b-a−-a∘2−b2√------ a+ a2−b2 a− a2−b2 ( a+ a2− b2)(a− a2−b2)$

$∘--√----- ∘--√----- ∘--√----- ∘ -√------ ∘--√b-a−-a2−b√2----= b√-a−-a2−b2= b-a−√-a2−b2-= b-a−--a2−b2- (a+ a2−b2)(a− a2−b2) a2−(a2−b2) b2 |b|$

Учитывая, что $b$ может быть положительным или отрицательным, мы можем записать:

$∘ --√--2--2- sgn(b)⋅ a− a − b$

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#122015

Приведите к рациональному виду числитель дроби:

а) $√6 3$

б) $√6−2 2$

в) $2−-√a+3- a−1$

Источники: Математушка, Квадратный корень (см. matematushka.ru)

Показать ответ и решение

а) $√6- 3$

$√6 √√6 √6- 2√- 3 ⋅ 6 = 3 6 = 6$

б) $√6−2 -2--$

$√- √- √- √- -62−2⋅√66++22 = (-62−(2)√(6+26+)2)= 2(6−√6+42) = 2(√26+2) = √61+2$

в) $--- 2−a√−a+13-$

$2−-√a+3-⋅ 2+√√a+3= (2−√a+3)(2√+√a+3) a−1 2+ a+3 (a−1)(2+ a+3)$

$22−(√a+3)2 4−(a+3) 4−a−3 1−a (a−1)(2+√a+3)-= (a−1)(2+√a+3) = (a−1)(2+√a+3) = (a−1)(2+√a+3)$

$(a−−1)((a2−+1√)a+3)-= 2+−√a1+3-$

Ответ:

а) $√2- 6$

б) $√1-- 6+2$

в) $--−√1-- 2+ a+3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#122016

Сравните числа:

а) $√ - 3 5$ и $√ - 5 3$

б) $√ - 3 5$ и $√ - 4 3$

в) $∘-√- 5 3$ и $∘ -√- 6 2$

г) $√ - 2 3$ и $∘ -√- 6 2$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $3√5$ и $5√3$

$√- 2 √- 2 (3 5) = 9⋅5= 45; (5 3) = 25⋅3= 75$

Теперь сравним:

$45 <75$

Следовательно,

$√ - √ - 3 5< 5 3$

б) $√ - 3 5$ и $√ - 4 3$

$√- 2 √- 2 (3 5) = 9⋅5= 45; (4 3) = 16⋅3= 48$

Теперь сравним:

$45 <48$

Следовательно,

$√ - √ - 3 5< 4 3$

в) $∘-√- 5 3$ и $∘ -√- 6 2$

$∘-√-2 √- ∘ -√-2 √- 5 3 = 5 3; 6 2 = 6 2$

$√- √- (5 3)2 = 25⋅3=75; (6 2)2 = 36 ⋅2 =72$

Теперь сравним:

$75 >72$

Следовательно,

$√ - √ - 5 3> 6 2$

$∘--- ∘ --- 5√3 > 6√2$

г) $2√3-$ и $∘ --- 6√2$

$∘--- (2√3)2 = 4⋅3= 12; 6√22 = 6√2$

$(6√2)2 = 36⋅2=72$

Теперь сравним:

$12 <72$

Следовательно,

$2√3 < ∘6√2$

Ответ:

а) $3√5 <5√3-$

б) $√ - √ - 3 5< 4 3$

в) $∘-√- ∘ -√- 5 3 > 6 2$

г) $√ - ∘-√- 2 3< 6 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#122017

Упростите выражения:

а) $∘-2-------√--2------- a + a+ 4+ a − 6a+ 9$ при $a≥ 3$

б) $∘--------√-4----2--- 10a+ 23 + a +4a + 4$

в) $∘-2----------√-2------- a − 13a +45+ a − 8a+16$ при $a≤ 4$

г) $∘ --------√-4-----2--- 20a+ 92+ a + 16a +64$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $∘a2-+a-+4+-√a2−-6a+-9= ∘a2+-a+-4+-(a−-3)= √a2+-2a-+1-=∘ (a-+1)2 = a+ 1 (a≥ 3)$

б) $∘--------√-4----2--- ∘----------2--- √-2-------- ∘ -----2 10a+ 23 + a +4a + 4= 10a+ 23 +(a + 2)= a + 10a+ 25 = (a+5) = a+ 5$

в) $∘-2----------√-2------- ∘ -2--------------- √-2-------- ∘-----2 a − 13a +45+ a − 8a+16 = a − 13a+ 45+ (4− a)= a − 14a+ 49= (a− 7) =7− a (a ≤4)$

г) $∘ --------√-4-----2--- ∘ ---------2---- √-2--------- ∘------2 20a+ 92+ a + 16a +64= 20a +92+ (a + 8)= a + 20a+ 100= (a+ 10) = a+ 10$

Ответ:

а) $a+ 1$

б) $a+5$

в) $7− a$

г) $a +10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#122018

Упростите выражения:

а) $√-2-------- m − 2m +1$ при $m ≤1$

б) $√--2-------- 9m − 6m+ 1$ при $1 m < 3$

в) $∘-2-------- ∘-2-------- y − 10y +25+ y − 14y+ 49$ при $y ≥ 7$

г) $√ -2------- √-2------- z − 4z+ 4+ z + 8z+16$ при $− 4≤ z ≤ 2$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $√m2-−-2m+-1-$ при $m ≤1$

$√-2-------- ∘ -----2- m − 2m +1 = (m− 1) =|m − 1|= 1− m (m ≤ 1)$

б) $√--2-------- 9m − 6m+ 1$ при $1 m < 3$

$√--2-------- ∘ ------2- 1 9m − 6m +1= (3m − 1) = |3m − 1|= 1− 3m (m < 3)$

в) $∘-2-------- ∘-2-------- y − 10y +25+ y − 14y+ 49$ при $y ≥ 7$

$∘-2-------- ∘ -----2 ∘-2-------- ∘ -----2 y − 10y +25= (y− 5) =|y− 5|= y− 5 (y ≥ 7); y − 14y+49 = (y− 7) = |y− 7|=y − 7 (y ≥7)$

Сложим результаты: $(y − 5)+ (y− 7)= 2y− 12$

г) $√ --------- √--------- z2− 4z+ 4+ z2+ 8z+16$ при $− 4≤ z ≤ 2$

$√--------- ∘ ------ √--------- ∘ ------ z2− 4z+ 4= (z− 2)2 =|z− 2|= 2− z (z ≤ 2); z2+ 8z +16= (z+ 4)2 =|z+ 4|= z+ 4 (z ≥ −4)$

Сложим результаты: $(2 − z)+ (z+ 4)= 6$

Ответ:

а) $1− m$

б) $1− 3m$

в) $2y − 12$

г) $6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#122019

Одна из сторон прямоугольного участка в $2$ раза больше другой. Найдите периметр участка, если его площадь равна 8м $2 ?$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим меньшую сторону прямоугольного участка как $x.$ Тогда большая сторона будет равна $2x.$

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $2 x⋅2x= 2x.$ Согласно условию, площадь равна $2 2 8м :2x = 8.$

Разделим обе стороны на $2 2:x = 4$

$x= 2м$

Теперь найдем большую сторону: $2x= 2⋅2= 4м$

Теперь можем найти периметр прямоугольника: $P = 2(x+ 2x)= 2(2+ 4)=2 ⋅6 =12м$

Ответ: 12 м

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#122020

Вычислите выражение:

$√9√8⋅(√12)−3- √1623⋅√√23 16$

Источники: Студворк, Решение примеров с корнями(см. studwork.ru)

Показать ответ и решение

Упростим числитель

$√-- √---- √- 98= 49⋅2= 7 2$

$√ --−3 √ --−3 -√1-- √-1- √-1- -1√-- --1√- --1√- ( 12) = ( 12) = ( 12)3 = 123 = 1728 = 12 12 = 12⋅2 3 = 24 3$

Теперь числитель: $√- √- 7 2⋅214√3 = 724√23$

Упростим знаменатель

$√-2- ∘ --2 ∘-- √11663-= 11663 = 116-= 14$

Таким образом, знаменатель: $√- √ - 14 ⋅√23 = 4√23$

Подставим упрощенные части в выражение

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение: $√- 724√√23- 42√3$

$- - - 7√√2-⋅ 4√√3-=-7⋅4√⋅√2√-= 2284 = 76 24 3 2 24⋅ 3⋅ 2$

Ответ:

$7. 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#122021

Вычислите выражение при $x= 2.$

$√x2−1⋅√(x+5)2- (x+5)√√(x2−1)4-- (x−1)(x+1)$

Источники: Студворк, Решение примеров с корнями(см. studwork.ru)

Показать ответ и решение

Упростим числитель:

$√-2--- ∘-----2 ∘ -2---- x − 1⋅ (x+ 5) = (x − 1)⋅(x +5)$

Упростим знаменатель: $√(x2−-1)4 (x2−1)2 (x+ 5)⋅√(x−1)(x+1) = (x+ 5)⋅√-(x−1)(x+1)$

Теперь подставим это в выражение: $√ ---- ----x2−1⋅(2x+5)2-- (x+5)⋅√((xx−−11)()x+1)-$

Сократим $(x+ 5)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x +5⁄= 0$ ):

$√---- √-(xx22−−1)12-- (x−1)(x+1)$

$√--------√-2-- -(x−-1)((xx2+−11)⋅)2x-−1$

$√x2−1⋅√x2−1 (x2−1)2$

$-x2−1-- (x2−1)2$

$1 x2−1-$

Теперь подставим $x= 2:$

В знаменателе: $x2− 1= 22− 1=4 − 1 =3$

Тогда само выражение равно $13.$

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#122022

Вычисли без калькулятора:

а) $∘-----2 (−2,9)$

б) $∘ ---2- 19− (− 7)$

Источники: Авторская, Казека А.А.

Показать ответ и решение

а) $∘ (−-2,9)2 = ∘2,92 = 2,9$

б) $∘ ---2- √-2 19− (− 7) = 19− 7 = 19− 7 =12$

Ответ:

а) $2,9$

б) $12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#122023

Найдите значения корней:

а) $√-- 81$

б) $√---- 4900$

в) $√--- 121$

г) $√ --- 169$

Источники: Авторская, Казека А.А.

Показать ответ и решение

а) $√81-=√81-=9.$

б) $√---- √ ---- 4900 = 4900= 70.$

в) $√--- √ --- 121 = 121 =11.$

г) $√ --- √ --- 169 = 169 =13.$

Ответ:

а) $9$ б) $70$ в) $11$ г) $13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#122024

Вычислите:

а) $√-- √ --- 25+ 144$

б) $√----- 0,0081$

в) $√-- √ ---- 36− 0,16$

г) $√ ----√- 24,5⋅ 2$

д) $√7,5 √0,3$

е) $√-√- -9⋅√63-$

Источники: Меташкола, Квадратные корни (см. metaschool.ru)

Показать ответ и решение

а) $√25-+√144-$

$√-- √--- √-- √--- 25= 5, 144= 12.][ 25+ 144= 5+12= 17.$

б) $√----- 0.0081$

$√----- ∘-81- --√81-- 9-- 0.0081= 10000 =√ 10000 = 100 =0.09.$

в) $√-- √ --- 36− 0.16$

$√-- √--- √-- √--- 36= 6, 0.16= 0.4.][ 36− 0.16= 6− 0.4= 5.6.$

г) $√ --- √- 24.5⋅ 2$

$√--- √- √ ----- √-- 24.5⋅ 2 = 24.5⋅2= 49= 7.$

д) $√7.5 √0.3$

$√-- ∘ --- √ -- √70.5.3 = 70.5.3 = 25 =5.$

е) $√9⋅√√3- 6$

$√9√⋅√3- 3⋅√√3 3√√3 3√√3 √3√3√-- 3√- 3√2 6 = 6 = 6 = 2⋅3 = 2⋅3 = 2 = 2 .$

Ответ:

а) $17$ ; б) $0.09$ ; в) $5.6$ ; г) $7$ ; д) $5$ ; е) $3√2-. 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#122025

Выполните действия и найдите значение выражения при $x = 11$ и $y = 7:$

$√x+√y x+y √x32−√y ⋅x−y$

Источники: ИнтернетУрок, Свойства квадратного корня. (см. interneturok.ru)

Показать ответ и решение

$-√x+3√y x+y (√x+√y)(√x−√y) x+y x−y x+y x+y √x2−√y ⋅x−y = 6 ⋅x−y = 6 ⋅x−y = 6$

Подставляем $x= 11$ и $y = 7: 11+67-= 186-=3$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#122026

Решите уравнения:

а) $∘---∘----√--- 6+ 15 − 2x =3$

б) $∘---∘----√--- 8+ 14 − 5x =4$

Источники: Инфоурок, арифметический квадратный корень (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

а) $∘6-+-∘15−-√2x= 3$

$∘ ----√-- 6+ 15− 2x= 9.$

$∘----√-- 15− 2x= 3.$

$√-- 15 − 2x =9.$

$√-- 2x= 6.$

$2x =36.$

$x= 18.$

б) $∘---∘----√--- 8+ 14 − 5x =4$

$∘ ----√-- 8+ 14− 5x= 16.$

$∘----√-- 14− 5x= 16− 8= 8.$

$√-- 14 − 5x =64.$

$√-- 5x= −50.$

Поскольку $√-- 5x$ не может быть отрицательным, уравнение не имеет решений.

Ответ:

а) $18$

б) Нет решений.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#122027

При каких значениях $x$ верно равенство:

а) $∘-----2 (x− 8) = x+ 15$

б) $∘-----2 (x− 7) = 12− x$

Источники: Инфоурок, арифметический квадратный корень (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

а) $∘ (x-− 8)2 = x+ 15$

$|x− 8|=x +15.$

Рассмотрим два случая:

Случай $1:x− 8= x+ 15$

$− 8=15 (нет решений).$

Случай $2:x− 8= −(x+15)$

$x− 8 =− x− 15.$

$7 2x =− 7 ⇒ x =− 2.$

б) $∘------ (x− 7)2 = 12− x$

$|x− 7|=12− x.$

Рассмотрим два случая:

Случай $1:x− 7= 12 − x$

$x+x =12+ 7 ⇒ 2x = 19 ⇒ x= 192 .$

Случай $2:x− 7= −(12− x)$

$x− 7 =− 12 +x.$

$− 7=− 12 (нет решений).$

Ответ:

а) $x =− 7. 2$

б) $19 x= 2 .$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#122028

Найдите значения выражений, разложив подкоренное выражение на простые множители:

а) $√----- 26244$

б) $√----- 46656$

Источники: Инфоурок, арифметический квадратный корень (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

а) $√26244= √22⋅38 = 2⋅34 =162$

б) $√----- √-6--6 3 3 46656= 2 ⋅3 = 2 ⋅3 =216$

Ответ:

а) $162$

б) $216$

Предыдущая подтема

Следующая подтема