Тема Алгебра

17 Степень числа → 17.01 Арифметический корень

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Степень числа

Арифметический корень

Квадратный корень

С дробным показателем

С натуральным и нулевым показателем

С отрицательным показателем

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#122271

Сравните числа:

а) $1√0-- − 10$ и $4∘√5-- 99$

б) $4√- 3$ и $8∘ -√- 6 2$

в) $∘ -3√-- 2 3$ и $3√- 5$

г) $∘ -3√-- − 2 6$ и $3∘ √-- − 52$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $− 10√10$ и $∘45√99-$

Здесь мы можем сразу заметить, что левое число отрицательное, а правое — положительное, следовательно:

$1√0-- 4∘-5√-- − 10< 99$

б) $4√- 3$ и $8∘ -√- 6 2$

Возведем оба числа в $8$ степень:

$√4-8 ( 3)$ и $8∘-√-- ( 6 2)$

$2 3$ и $√- 6 2$

Возведем обе части в квадрат:

$2 9$ и $36⋅2$

$81 >72$

Следовательно $√4- 8∘-√-- 3> 6 2$

в) $∘ -√-- 233$ и $√- 35$

Возведем обе части в $6$ степень:

$√ - (23 3)3$ и $52$

$8⋅3$ и $25$

$24 <25$

Следовательно $∘-√-- √- 2 33< 35$

г) $∘ -√-- − 236$ и $∘ √-- − 3 52$

Возведем обе части в $6$ степень, оставляя знак минус за скобками:

$∘---- − (2√36)6$ и $∘--- − (35√2)6$

$− (23√6)3$ и $− (5√2)2$

$− (8⋅6)$ и $− (25⋅2)$

$− 48 >− 50$

Следовательно $---- --- − ∘2√36-> − 3∘ 5√2$

Ответ:

а) $− 10√10< ∘45√99-$

б) $4√- 8∘ -√- 3> 6 2$

в) $∘ -3√-- 3√ - 2 3< 5$

г) $∘ -3√-- ∘3√-- − 2 6> − 5 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#122272

Вычислите значение выражения:

а) $-4−3√2-- (4√2− 4√8)2$

б) $4√--√4-2 (4√243++3√66)-$

в) $(3√3√9+√6√3)2- 3+2 3+1$

г) $1−2√45+√5- (√3− 4√45)2$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $-√4−3√√2-- (42− 48)2$

Упростим знаменатель: $4√- √4-- 4√---- 4√- √4- √- 4√ - 8= 23 = 22⋅2= 4⋅ 2= 2⋅ 2$

Таким образом: $4√- √4- 4√- √- 4√- 4√- √- 2 − 8= 2− 2 ⋅ 2= 2(1− 2)$

Теперь возведем в квадрат:

$√ - √- √ - √- √- √- √- √ - √- √ - (42− 48)2 =( 42(1− 2))2 =(42)2(1− 2)2 = 2(1− 2 2+2)= 2(3− 2 2)$

Теперь подставим в выражение: $√ - √24(−3−32√22)$

Умножим числитель и знаменатель на $√-√- - √2 : (4−3-2√)2-= 4√2−√6-=− 1 2(3−2 2) 6−4 2$

б) $(4√24+√46)2 4√3+3√6$

Упростим числитель: $4√-- √4--- √- √4- 24 = 4⋅6= 2⋅ 6$

Таким образом: $4√-- 4√ - 4√- √- 24+ 6= 6( 2+ 1)$

Возведем в квадрат:

$√4-- 4√- 4√- √- √- √- √ - √- √ - √- ( 24+ 6)2 =( 6( 2+ 1))2 = 6( 2+ 1)2 = 6(2+ 2 2+ 1)= 6(3+ 2 2)$

Теперь подставим в выражение: $√6(3+2√2) -4√3+3√6-$

Упростим знаменатель: $√ - √ - √- √ -√ - √- √ - √- √- 4 3+ 3 6= 6(4 3∕ 6+3)= 6(4∕ 2+3)= 6(2 2+ 3)$

Теперь упростим дробь: $√6(3+2√2) √- √6(2√2+3) = 32+√22+23 = 1$

в) $√- √- (3√39+6√3)2- 3+2 3+1$

Возведем в квадрат числитель: $(3√9-+√3)2 = 3√92-+2(3√9⋅√3)+ 3= 33√3+ 26√92⋅33+ 3= 33√3+ 66√3+ 3= 3(3√3+ 26√3+ 1)$

Теперь подставим в дробь: $3(√3√3+2√6√3+1) =3 33+2 63+1$

г) $√4-√- 1−(√23−√5+4455)2-$

Упростим числитель: $√ - √ - √ - 1 − 24 5+ 5= (1− 45)2$

Упростим знаменатель: $√-- √--- √ - √- 445= 49 ⋅5 = 3⋅ 45$

$√- √-- √- √- √- √- √- 3− 445= 3 − 3 ⋅ 45= 3(1− 45)$

Теперь возведем в квадрат: $- -- - - - (√ 3− 4√45)2 = (√3(1− 4√5))2 = 3(1 −√45)2$

Теперь подставим в дробь: $√- 3(1(−1− 454√)5)22 = 13$

Ответ:

а) $− 1$

б) $1$

в) $3$

г) $1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#122273

Вычислите значение выражения:

а) $∘----√- ∘4-----√-- 3− 2 2⋅ 17+12 2$

б) $3∘√---- 9∘-----√-- 3− 2 ⋅ 26+ 15 3$

в) $∘ √---- 6∘ -√------ 5+ 2⋅ 17 5− 38$

г) $3∘-√---- ∘6-----√-- 2 6 − 5⋅ 49+ 20 6$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $∘3-−-2√2-⋅ 4∘17-+12√2$

Упростим $∘ ----√- 3− 2 2:$

$√- √- 2 3− 2 2 =( 2 − 1)$

Таким образом: $∘----√- ∘ -√------ √ - 3 − 2 2 = ( 2− 1)2 = 2− 1$

Упростим $4∘-----√-- 17+ 12 2:$

$√- √- 17 +12 2= (2 2+ 3)2$

Таким образом: $∘ -----√-- ∘ -√------ ∘ √----- ∘-√------ √ - 4 17 +12 2= 4(2 2+ 3)2 = 2 2+ 3= ( 2+ 1)2 = 2+1$

Теперь подставим в выражение: $√- √- ( 2− 1)( 2 +1)= 2− 1= 1$

б) $∘----- ∘-------- 3√ 3− 2 ⋅ 926+ 15√ 3$

Упростим $∘-------- 926+ 15√3-:26+ 15√3-=(2+ √3)3$

Таким образом: $∘ -------- ∘ ------- 9∘26-+15√3= 9(2+√3-)3 = 3(2+√3-)$

Теперь подставим в выражение: $∘3√---- ∘3---√--- 3 − 2⋅ (2+ 3)$

$∘-√--------√-- √--- 3( 3 − 2)(2+ 3)= 3− 1= −1$

в) $∘ √---- ∘ -√------ 5+ 2⋅ 6 17 5− 38$

$∘-------- ∘-------- 6(√5 +2)3⋅ 617√5− 38$

$6∘(√5-+2)3⋅(17√5−-38)$

$6∘--√--------√--------√------ (5 5+ 30+ 12 5 +8)⋅(17 5 − 38)$

$∘------------------- 6(17√5+ 38)⋅(17√5-− 38)$

$6√1445− 1444= 6√1 =1$

г) $∘------ ∘ -------- 32√6 − 5⋅ 649+ 20√6$

Упростим $-------- 6∘49+ 20√6-:49+ 20√6-=(5+ 2√6)2$

Теперь подставим в выражение: $∘ -------- ∘32-√6−-5⋅ 6 (5 +2√6)2$

Объединим под одним корнем: $∘3-√---------√--- (2 6− 5)(5+2 6)$

$3√------ 3√--- 24− 25 = −1 =−1$

Ответ:

а) $1$

б) $− 1$

в) $1$

г) $− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#122274

Вычислите значение выражения:

а) $3∘-----√- 3∘ ----√-- 10+ 6 3+ 10− 6 3$

б) $3∘-√---- ∘3-√---- 5 2 +7− 5 2− 7$

в) $3∘------√- 3∘ -----√-- 20+ 14 2+ 20− 14 2$

г) $3∘-----√-- ∘ ---√-- 26+ 15 3− 4− 2 3$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $∘310-+-6√3-+ 3∘10−-6√3$

$3∘----√-------√- 3∘ ---√-------√-- 1 +3 3+ 9+ 3 3+ 1− 3 3+9 − 3 3$

$3∘----√--3 3∘----√-3- (1+ 3) + (1− 3)$

$√- √- (1+ 3)+ (1 − 3)= 2$

б) $3∘-√---- ∘3-√---- 5 2 +7− 5 2− 7$

$3∘----√-------√- 3∘ ---√-- 1 +3 2+ 6+ 2 2+ 7− 5 2$

$3∘----√--3 3∘----√------√-- (1+ 2) + 1− 3 2+ 6− 2 2$

$∘----√--- ∘----√--- 3(1+ 2)3+ 3(1− 2)3$

$√- √- (1+ 2)+ (1 − 2)= 2$

в) $∘------√- ∘ -----√-- 320+ 14 2+ 3 20− 14 2$

$∘---------------- ∘---------------- 38 +12√2+ 12+2√ 2+ 38− 12√2+ 12− 2√ 2$

$∘-------- ∘-------- 3(2+ √2)3+ 3(2− √2)3$

$(2+ √2)+ (2 − √2)= 4$

г) $∘-------- ∘------ 326+ 15√3-− 4− 2√3$

Упростим $------ ------ ∘ 4− 2√3:4− 2√3= (√3− 1)2 =⇒ ∘ 4− 2√3= √3 − 1$

Упростим $3∘26+-15√3-:$

$∘-------- 3∘8-+12√3+-18+3√3-= 3(2+ √3)3 = 2+√3$

Подставим все в выражение: $(2+ √3)− (√3-− 1)= 2+ √3− √3 +1= 3$

Ответ:

а) $2$

б) $2$

в) $4$

г) $3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#122275

Сократите дробь:

а) $√a− 3√b2 4√a−√3b$

б) $√- 3 a√ba−+a4√b-$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $√a−-3√√b2- 4√a− 3b$

Умножим и разделим дробь на $- √- √- 3√-- 4√- 3√- 4√a+ 3b): ((4√aa−−√b3b2))((4√aa++3√bb))$

Теперь в знаменателе: $(4√a)2 − (3√b)2 = √a− 3√b2$

Теперь упростим: $(√a− 3√b2)(√4√a+√3b)= √4a + 3√b √a− 3b2$

б) $√ - 3 a√b−a+a4√b$

Умножим и разделим дробь на $- - a√a-− 4√b:-(√√b−a34√)(a√√a− 4√b4√) (a a+ b)(a a− b)$

Теперь в числителе: $√- 3 √- 4√- ( b− a)(a a− b)$

В знаменателе: $√- 4√ - √ - 4√- 3 √ - (a a+ b)(a a− b)= a − b$

Подставляем: $(√b−a3)(a√a−-4√b) √4- √ - a3−√b = b− a a$

Ответ:

а) $√4a-+ 3√b$

б) $4√- √- b− a a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#122276

Сократите дробь:

а) $4√a3+b- 4√a+3√b$

б) $√- √ - √a6a−−b√bb$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $-4√a3+√b 4√a+3b$

$4√- 3√- √- 4√-3√- 3√-- (-a+--b)(4√aa−+3√ab-b+-b2)$

$√a− 4√a√3b-+ 3√b2$

$√a− 12√a3b4+ 3√b2-$

б) $√√a6−b√√b- a− b$

$(6√a− √b)(3√a+6√a√b+b) ------6√a−√b-------$

$√- √-√ - 3a+ 6a b+b$

$√- √--- 3a+ 6ab3+ b$

Ответ:

а) $√a-− 1√2a3b4+ 3√b2$

б) $3√- 6√--3 a+ ab + b$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#122277

Сократите дробь:

а) $-a−b-- 4√b− 4√a$

б) $√ -√3-- ba2b++b4√a2b-$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $-√a−b- 4b− 4√a$

$4√- 4√- ((4√a−b−-b)4√(a)(b+4√b+a4√)a)$

$(a−b√)(4√b√+4√a) b− a$

$4√- 4√- √- √- (a−b(√)(b−b√+a)a(√)b(+b√+a)a)$

$- - (a−b)(4√b+4√a)(√b+√a) b−a$

$− (√4b-+ 4√a)(√b+ √a)$

$− 4√b3− 4√ba2− 4√ab2−√4a3-$

б) $b√b+√3a√2- a2+b4 b$

$(b√b+3√a2)(a2−b4√b) (a2+b4√b)(a2−b4√b)$

$√- √-- √ - (b-b+3a42)(a92−b4-b) a−b$

$a2b√b−b6+a2 3√a2−b4√6a4b3 a4−b9$

Ответ:

а) $−√4b3-−√4ba2− √4ab2− 4√a3-$

б) $a2b√b−b6+a2 3√a2−b4 6√a4b3 a4−b9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#122279

Сократите дробь:

а) $---1−√a---- 6√a(a+1)−23√a2$

б) $√- 4√- 4√-- 1−--b+√b−b−b--b3$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $----1−√a√-- 6√a(a+1)−23a2$

$√- √- (6√a((a1−+1)−a)2(3√1+a2a)()1+√a)$

$6√-------3√-12−a6√4------6√-7 a(a+1)−2 a+ a(a+1)−2 a$

$-√--√---√--1−a√---√----√-- a6a+6a−23a2+a6a4+ 3a2−2a6a$

$------1−a------- −a6√a+6√a−√3a2+a3√a2$

$(6√a−-13√−aa2)(1−a)$

$6√-13√-2- a− a$

б) $1−-√b+-4√b−-4√b3 √b−b$

$√- 4√- 4√-- √- (1−-b(+√bb−−b)(√bb3+)(b)b+b)-$

$(1−√b+4√b− 4√b3)(√b+b) b−b2$

$√- 4√3-√45- √ - 4√- 4√-3 -b−b+--b−--bb+−bb−2b-b+b-b−b-b-$

$√- √-- √- √-- -b+4b3−bb−b2b−b4b3$

$√b(1−b)+√4b3(1−b) b(1−b)$

$√b+4√b3 --b---$

Ответ:

а) $---1√-- 6√a− 3a2$

б) $√- 4√-- -b+b-b3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#122282

Решите уравнения:

а) $4√- 8√- x− 3 x − 4= 0$

б) $√ - 28√ 7- 3 x= 7− 4 x$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

а) $√4x-− 38√x− 4= 0$

Пусть $8√- x= a,$ тогда:

$2 a − 3a− 4= 0$

По теореме Виета корни $a =− 1, a= 4$

Значит

$8√- x= −1$ или $√8- x= 4$

Первый случай невозможен, так как корень восьмой степени не может быть отрицательным

$8√- x= 4$

$8 x= 4$

$x= 65536$

б) $√ - 28√ -- 3 x= 7− 4 x7$

$√ - √- 3 x+ 44x− 7= 0$

Пусть $√- 4x= b,$ тогда:

$3b2+ 4b− 7 =0$

Заметим, что $1$ является корнем, а так как по теореме Виета произведение корней в данном случае будет равно $− 73,$ то второй корень равен $− 73 :1 =− 73.$ Но тогда $√ - 4 x= − 73,$ чего быть не может, так как корень четвертой степень не может быть отрицательным числом. Значит есть только один вариант: