Тема Алгебра

11 Последовательности и прогрессии → 11.01 Арифметическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Последовательности и прогрессии

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Числовая последовательность

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#123777

Бригада маляров красит забор длиной $240$ метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день бригада в сумме покрасила $60$ метров забора. Определите, сколько дней бригада красила весь забор.

Источники: Инфоурок, Арифметическая прогрессия (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов прогрессии:

$60⋅n 240= 2 ;480= 60 ⋅n;n =8$

Ответ: 8 дней.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#123778

Рабочие прокладывают тоннель, длиной $500$ метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили $3$ метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за $10$ дней.

Источники: Инфоурок, Арифметическая прогрессия (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой $S = (a1+an)⋅n : n 2$ $500 = (3+a10)⋅10; 2$ $1000= 30+ 10a ; 10$ $10a = 970;a =97 10 10$

Ответ: 97 м.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#123779

Васе нужно решить $434$ задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день он решил $5$ задач. Определите, сколько задач Вася решил в последний день, если со всеми задачами он справился за $14$ дней.

Источники: Инфоурок, Арифметическая прогрессия (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой $S = (a1+an)⋅n : n 2$ $434 = (5+a14)⋅14; 2$ $868 =70+ 14a ; 14$ $798=14a ; 14$ $a = 57 14$

Ответ:

$a = 57 14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#123780

Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: $− 9;x;−13;− 15...$ Найдите член прогрессии, обозначенный буквой $x$ .

Источники: Инфоурок, Арифметическая прогрессия (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Найдем разность арифметической прогрессии: $d =− 15− (−13)= −2.$ Поэтому $x= −9+ (− 2) =− 11$

Ответ: -11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#123781

Даны пятнадцать чисел, первое из которых равно $6$ , а каждое следующее больше предыдущего на $4.$ Найти пятнадцатое из данных чисел.

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Разность равна $4$ по условию. Воспользуемся формулой $a = a +(n− 1)⋅d: n 1$ $a =6 +(15− 1)⋅4= 62 15$

Ответ:

$a = 62 15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#123782

Дана арифметическая прогрессия, разность которой равна $− 8,5;a1= −6,8.$ Найдите $a . 11$

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой $a = a + (n− 1)⋅d: n 1$ $a = −6,8 +(11− 1)⋅(−8,5)= −91,8 11$

Ответ:

$a = (− 91,8) 11$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#123783

Дана арифметическая прогрессия, разность которой равна $− 2,5;a = −9,1. 1$ Найдите сумму первых $15$ её членов.

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Найдём $a :−9,1+ (15− 1)⋅(−2,5)= −44,1 15$

Воспользуемся формулой $(a1+an)⋅n- Sn = 2 :$ $(−9,1−44,1)⋅15 S15 = 2 = −399$

Ответ:

$S = −399 15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#123784

Арифметическая прогрессия задана условием: $a =1,7− 0,1n. n$

$1)$ Чему равен $31$ член прогрессии?

$2)$ Найдите сумму первых $31$ её членов.

Источники: Якласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

$1)$ $31$ член прогрессии равен: $a = 1,7 − 0,1⋅31 =− 1,4 31$

$2)$ $a1 =1,6;$ $(1,6−1,4)⋅31 S31 = 2 = 3,1$

Ответ:

$1)$ $a = −1,4 31$

$2)$ $S31 =3,1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#123785

Дана арифметическая прогрессия $(a ), n$ для которой $a =18,a =63. 13 18$ Найди разность прогрессии.

Источники: Якласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Запишем уравнения для $a 13$ и $a : 18$

$1)$ $a13 = a1+ (13− 1)⋅a= a1 +12d= 18;$

$2)$ $a18 = a1+ (18− 1)⋅d= a1 +17d= 63$

Вычтем уравнение $1$ из уравнения $2,$ чтобы исключить $a1 :$

$(a1+ 17d)− (a1 +12d)=63− 18;$

$5d =45;$

$d= 9$

Ответ: d=9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#123786

В первом ряду кинозала $30$ мест, а в каждом следующем на $2$ места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером $n?$

$1)28+ 2n$

$2)30+ 2n$

$3)32+ 2n$

$4)2n$

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Количество мест в рядах кинозала образуют арифметическую прогрессию. По формуле для нахождения $n−$ го члена арифметической прогрессии имеем:

$an = a1 +(n− 1)⋅d =30+ (n− 1)⋅2= 30+ 2n− 2 =28+ 2n$

Ответ:

$1)28 +2n$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#123787

Третий член арифметической прогрессии равен $25,$ десятый член равен $4.$ Найдите сумму первых шестнадцати членов данной прогрессии.

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Запишем уравнения для $a 3$ и $a : 10$

$1)$ $a3 =a1+ (3− 1)⋅d= a1+ 2d =25$

$2)$ $a10 = a1+ (10− 1)⋅d= a1 +9d= 4$

Вычтем уравнение $1$ из уравнения $2,$ чтобы исключить $a1 :$

$(a1+ 9d)− (a1+2d)= 4− 25;$

$7d =− 21;$

$d= −3$

Теперь найдём $a1$ из уравнения $1:$

$a1 +2d= 25;$

$a1 − 6= 25;$

$a1 =31$

Найдём $a16 :$

$a16 = 31+ (16− 1)⋅(−3)= −14$

Осталось найти сумму первых $16$ членов прогрессии: $S16 = (31−142)⋅16= 136$

Ответ:

$S = 136 16$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#123788

Улитка ползёт от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и тоже расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни она проползла в общей сложности $10$ метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно $150$ метрам.

Источники: Инфоурок, Арифметическая прогрессия (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $150= 10⋅n; 2$ $300= 10n;$ $n = 30.$

Ответ: 30 дней.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#123789

Вера решила начать делать зарядку по утрам. В первый день она сделала $30$ приседаний, а в каждый следующий день она делала на одно и то же количество приседаний больше, чем в предыдущий день. За $15$ дней она сделала всего $975$ приседаний. Сколько приседаний сделала Вера в пятый день?

Источники: Инфоурок, Арифметическая прогрессия (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Для начала воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

$(30+a15)⋅15 975= 2 ;$ $1950= 450+ 15a15;$ $1500 =15a15;$ $a15 = 100$

Теперь мы можем найти разность: $100= 30 +(15− 1)⋅d;$ $70= 14d;$ $d= 5$

Осталось найти $a5 :$ $a5 = 30+(5− 1)⋅5 =30+ 20= 50.$

Ответ: 50 приседаний.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#123790

Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке $15$ минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке на $7$ минут. За сколько занятий Андрей проведёт на дорожке в общей сложности $2$ часа $25$ минут, если будет следовать советам тренера?

Источники: Инфоурок, Арифметическая прогрессия (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Переведём часы в минуты: $2$ часа $25$ минут $=145$ минут.

Воспользуемся формулой $2a1+d⋅(n−-1)- Sn = 2 ⋅n :$

$30+7⋅(n−1) 145= 2 ⋅n;$ $2 290= 30n +7n − 7n;$ $2 7n +23n− 290= 0$

Решим квадратное уравнение: $58 n1 = 5;n2 = − 7$

По условию задачи подходит только $n = 5.$

Ответ: За 5 дней.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#123791

Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой $S = 2a1+d⋅(n−1)⋅n: n 2$ $120= 2⋅10+5d-⋅6⇒ d= 4 2$

Тогда за третий день турист прошёл: $a3 = 10+(3− 1)⋅4 =18.$

Ответ: 18 км.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#123792

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им $4200$ рублей, а за каждый следующий метр - на $1300$ рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной $11$ метров?

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой $S = 2a1+d⋅(n−1)⋅n: n 2$ $S = 2⋅4200+10⋅1300⋅11= 117700 11 2$

Ответ: 117700 руб

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#123793

В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из $25$ выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах - одно штрафное очко, за каждый последующий - на $0,5$ очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший $7$ штрафных очков?

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой $S = 2a1+d⋅(n−1)⋅n: n 2$

$2⋅1+(n−1)⋅0,5 2 7= 2 ⋅n ⇒ n⋅(2 +0,5(n− 1))=14⇒ 0,5n + 1,5n− 14= 0⇒ n1 = 4;n2 =− 7$

Поскольку $n$ должно быть положительным числом, стрелок совершил $4$ промаха, а значит, $21$ попадание.

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#123794

Для асфальтирования участка длиной $99$ м используются $2$ катка. Первый каток был установлен в одном конце участка, второй - в противоположном. Работать они начали одновременно. Первый каток в каждую минуту проходил $5$ м, а второй каток за первую минуту прошел $1,5$ м, а за каждую следующую минуту проходил на $0,5$ м больше, чем за предыдущую. Через сколько минут катки встретились?

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть катки встретились через $n$ минут. Первый каток движется равномерно, поэтому к моменту встречи пройдет $5n$ метров. Расстояние, пройденное вторым катком, является суммой $n$ первых членов арифметической прогрессии с первым членом $1,5$ и разностью $0,5.$ Тогда $Sn +5n= 99,$ откуда получаем:

$2⋅1,5+0,5(n−1) 2 2 ⋅n+ 5n= 99⇒ n + 25n − 396= 0⇒ n =11$

Ответ: Через 11 минут.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#123795

Занятия йогой начинают с $15$ минут в день и увеличивают на $10$ минут время каждый следующий день. Сколько дней следует заниматься йогой в указанном режиме, чтобы суммарная продолжительность занятий составила $2$ часа?

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой $S = 2a1+d⋅(n−1)⋅n: n 2$ $120= 30+10⋅(n−1)⋅n⇒ 2$ $240= 30n+10n2− 10n$

$2 ⇒ 10n +20n− 240= 0⇒ n1 = −6;n2 = 4$

$n$ должно быть положительным числом, поэтому нам подходит только $n =4.$

Ответ: 4 дня.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#123796

При свободном падении тело прошло в первую секунду $5$ м, а в каждую следующую на $10$ м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через $5$ с после начала падения.

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

$S = 10+40⋅5= 125 5 2$

Ответ: 125 м.

Следующая подтема