Тема Алгебра

11 Последовательности и прогрессии 11.02 Геометрическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела алгебра
Разделы подтемы Последовательности и прогрессии
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119495

Что такое геометрическая прогрессия?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Геометрическая прогрессия — последовательность, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число (знаменатель).
ИЛИ
Последовательность чисел называется геометрической прогрессией, если квадрат каждого члена, кроме первого и последнего, равен произведению соседей.

Ответ: Последовательность, где каждое число получается умножением предыдущего на фиксированное число

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#119497

Что такое знаменатель геометрической прогрессии?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

То число раз, в которое следующее число отличается от предыдущего, называется знаменателем геометрической прогрессии. Как и у дробей, знаменатель по определению не может быть равен 0.

Ответ: Число, на которое умножается каждый член для получения следующего

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119499

Выберите верную формулу n  -го члена геометрической прогрессии:
A)        n−1
bn =b1⋅q
B) bn =b1+ (n − 1)q
C)        q
bn =b1⋅n
D)     -b1--
bn = qn−1

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Формула для нахождения n  -го члена, где:

  • b
 1  — первый член,
  • q  — знаменатель,
  • n  — номер члена.
Ответ: A)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#119525

Чему равна сумма первых n  членов геометрической прогрессии при q ⁄= 1  :
A)     n(b1+bn)
Sn =   2
B)        q
Sn = b1 ⋅n
C)     qn−1
Sn = q−1
D)     b(1−qn)
Sn =-11−-q-

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Формула суммы учитывает:

  • Первый член (b
 1  )
  • Знаменатель (q  )
  • Количество слагаемых (n  )

При q =1  сумма вычисляется проще: Sn = n⋅b1  .

Ответ: D)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#119527

Если b = 8
 3  и b = 32,
 5  то знаменатель равен:

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

 1.  Запишем данные члены через формулу n  -го члена:

       2
b3 = b1 ⋅q = 8

       4
b5 =b1⋅q = 32

2.  Поделим второе уравнение на первое:

b5 = b1q4= q2 = 32= 4
b3   b1q2      8

3.  Находим знаменатель:

   √ -
q =  4= 2
Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#119528

Если b = 5
 1  и q = 2,  то b
 4  равен:

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

По формуле n  -го члена:

        n−1
bn =b1⋅q

      3
b4 = 5⋅2 = 5⋅8= 40
Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#119529

Найдите b ,
 3  если b = 3
 1  и q = 2

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Используем формулу:

       2     2
b3 = b1⋅q =3 ⋅2 = 3⋅4= 12
Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#119530

Найдите b ,
 2  если b = 5,
 1  а q =3

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Второй член находится простым умножением первого на знаменатель:

b2 =b1⋅q = 5⋅3= 15
Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#119531

Чему равно произведение b ⋅b,
 2 4  если b = 8
 3  и q =2?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

 1.  Находим соседние члены:

    b3  8
b2 = q =2 = 4

b4 =b3⋅q = 8⋅2= 16

2.  Перемножаем:

b2⋅b4 = 4⋅16= 64
Ответ: 64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#119533

Чему равно число членов прогрессии 3,6,...,96?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

 1.  Находим знаменатель: q = 6= 2
    3

2.  Решаем уравнение:

      n−1
96= 3⋅2

2n− 1 = 32

2n− 1 = 25

n− 1= 5

n= 6
Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#123913

Найдите первые пять членов геометрической прогрессии (b ),
  n  если:

а) b1 = 6, q =2;

б)            1
b1 = −16, q = ;
           2

в) b1 = −24, q =− 1,5;

г) b1 = 0,4, q = √2;

Источники: Учебник по математике - Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и другие (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) Найдем второй член прогрессии, исходя из предыдущего члена прогрессии: b = b   ⋅q
 n   n−1

b2 = b1⋅2

b2 = 6⋅2= 12  . Аналогично найдем следующие 3  члена прогрессии:

b3 = b2⋅q = 12⋅2= 24

b4 = b3⋅q = 24⋅2= 48

b5 = b4⋅q = 48⋅2= 96

б) Найдем второй член прогрессии, исходя из предыдущего члена прогрессии: bn =bn−1⋅q

b2 = b1⋅ 1
      2

       1
b2 = −16⋅2 =− 8  . Аналогично найдем следующие 3  члена прогрессии:

b= b ⋅q = −8⋅ 1= −4
3   2       2

            1
b4 = b3⋅q = −4⋅2= −2

b5 = b4⋅q = −2⋅ 1= −1
            2

в) Найдем второй член прогрессии, исходя из предыдущего члена прогрессии: bn =bn−1⋅q

b2 = b1⋅(− 1,5)

b2 = −24⋅(−1,5) =36  . Аналогично найдем следующие 3  члена прогрессии:

b3 = b2⋅q = 36⋅(−1,5)= −54

b4 = b3⋅q = −54⋅(− 1,5)= 81

b5 = b4⋅q = −81⋅(− 1,5)= −121,5

г) Найдем второй член прогрессии, исходя из предыдущего члена прогрессии: bn =bn−1⋅q

      √-
b2 = b1⋅ 2

       √-    √ -
b2 = 0,4⋅ 2= 0,4 2  . Аналогично найдем следующие 3  члена прогрессии:

           √- √ -
b3 = b2⋅q = 0,4 2 ⋅ 2= 0,4⋅2 =0,8

            √ -    √-
b4 = b3⋅q = 0,8⋅ 2= 0,8 2

           √- √ -
b5 = b4⋅q = 0,8 2 ⋅ 2= 0,8⋅2 =1,6

Ответ:

а) b = 6; b =12; b = 24; b = 48; b =96;
 1    2      3     4     5

б) b1 = −16; b2 = −8; b3 = −4; b4 =− 2; b5 = −1;

в) b1 = −24; b2 = 36; b3 = −54; b4 = 81; b5 = −121,5;

г)              √ -              √-
b1 = 0,4; b2 = 0,4 2; b3 =0,8; b4 =0,8 2; b5 = 1,6.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#123963

Последовательность (x )
 n  — геометрическая прогрессия. Найдите:

а) x7,  если           1
x1 = 16, q =-;
          2

б) x,
8  если x = −810, q = 1;
 1          3

в) x10,  если      -       -
x1 = √2, q =− √2;

г) x6,  если x1 = −125, q = 0,2;

Источники: Учебник по математике - Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и другие (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) x7,  если           1
x1 = 16, q = 2

Воспользуемся формулой n  -го члена геометрической прогрессии:

bn =b1qn−1

               1       1   1
x7 =x1⋅q7−1 = 16⋅(2)6 = 16⋅64= 4= 0,25

б) x8,  если x1 = −810, q = 1;
            3

Воспользуемся формулой n  -го члена геометрической прогрессии:

bn =b1qn−1

x8 =x1⋅q8−1 = −810⋅(1)7 = −810⋅-1-=−-810-= − 10-
                  3        3187    31877    27

в) x10,  если     √-      √-
x1 = 2, q =− 2;

Воспользуемся формулой n  -го члена геометрической прогрессии:

      n−1
bn =b1q

        10−1  √ - √ -9   √--10   5
x10 = x1⋅q  =   2⋅( 2) = ( 10)  = 2 = 32

г) x6,  если x1 = −125, q = 0,2;

Воспользуемся формулой n  -го члена геометрической прогрессии:

bn =b1qn−1

       6−1         5        15     3  −5      −2   1-
x6 =x1⋅q   = −125⋅0,2 = −125⋅(5) = (−5) ⋅5   =(−5)  = −25

Ответ:

а) 0,25;

б)   10
− -;
  27

в) 32;

г) − 1.
  25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#123965

Последовательность (b )
 n  — геометрическая прогрессия. Найдите:

а) b5,  если     3    2
b1 =-, q =-;
    4    3

б) b,
4  если           √ -
b =1,8, q =-3.
 1         3

Источники: Учебник по математике - Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и другие (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой n  -го члена геометрической прогрессии:

      n−1
bn =b1q

          3  2    3  24  22  4
b5 = b1q5−1 = ⋅(-)4 =-2⋅-4 =-3 =-;
          4  3    2  3   3   27

б) Воспользуемся формулой n  -го члена геометрической прогрессии:

      n−1
bn =b1q

               √-                           √ -
b4 = b1q4−1 = 1,8⋅(-3)3 =1,8⋅( 1√-)3 =1,8⋅-1√ = 0,√6=-3.
               3          3       3 3    3   5

Ответ:

а)  4
27;

б) √-
-3.
5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#123968

Найдите седьмой и n  -й члены геометрической прогрессии:

а) 2;−6;...;

б) − 40;−20;...;

в) − 0,125;0,25;...;

г) − 10;10;...

Источники: Учебник по математике - Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и другие (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) Из последовательности 2;−6;...;  Находим, что b = 2
 1  . по формуле знаменателя геометрической прогрессии, находим

    b    − 6
q =-n--= ---= −3
   bn−1    2

Теперь можем найти седьмой член прогрессии:

b7 = b1q6 =2 ⋅(−3)6 = 2⋅729 =1458

Найдем n  -й член геометрической прогрессии:

bn =b1qn−1 = 2⋅(−3)n−1

б) Из последовательности − 40;−20;...;  Находим, что b1 = −40  . по формуле знаменателя геометрической прогрессии, находим

q =-bn--= −-20-= 1
   bn−1   −40   2

Теперь можем найти седьмой член прогрессии:

     6       1 6      1-   5
b7 = b1q =− 40 ⋅(2) = −40⋅64= −8

Найдем n  -й член геометрической прогрессии:

bn =b1qn−1 = −40⋅(1)n−1
               2

в) Из последовательности − 0,125;0,25;...;  Находим, что b1 = −0,125  . по формуле знаменателя геометрической прогрессии, находим

   -bn--  -0,25--
q = bn−1 = −0,125= −2

Теперь можем найти седьмой член прогрессии:

                       1
b7 = b1q6 =− 0,125⋅(− 2)6 = − 8⋅64 =− 8

Найдем n  -й член геометрической прогрессии:

bn =b1qn−1 = −0,125⋅(−2)n−1

г) Из последовательности − 10;10;...;  Находим, что b1 = −10  . по формуле знаменателя геометрической прогрессии, находим

q =-bn--= −-10-=− 1
   bn−1    10

Теперь можем найти седьмой член прогрессии:

b7 = b1q6 =− 10 ⋅(−1)6 = −10⋅1= −10

Найдем n  -й член геометрической прогрессии:

bn =b1qn−1 = −10⋅(−1)n−1

Ответ:

а) b = 1458, d = 2⋅(−3)n−1;
 7       n

б)      5          1
b7 = − , bn = −40⋅()n−1;
     8          2

в) b7 = −8, bn =− 0.125⋅(−2)n−1

г) b7 = −10, bn =− 10 ⋅(−1)n−1.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#123971

Найдите шестой и n  -й члены геометрической прогрессии:

а) 48;12;...;

б) 64 − 32
-;----;...;
9   3

в) − 0,001;−0,01;...;

г) − 100;10;...

Источники: Учебник по математике - Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и другие (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) Из последовательности 48;12;...;  Находим, что b =48
1  . по формуле знаменателя геометрической прогрессии, находим

    b    12   1
q =-n--= --= -
   bn−1   48   4

Теперь можем найти шестой член прогрессии:

b6 = b1q5 =48⋅(1)5 =48⋅-1-=-3
            4      512  64

Найдем n  -й член геометрической прогрессии:

              1
bn =b1qn−1 = 48 ⋅(4)n−1 = 48 ⋅41−n

б) Из последовательности 64- 32
9;− 3;...;  Находим, что     64
b1 = 9  . по формуле знаменателя геометрической прогрессии, находим

   -bn--  32-⋅9-   3
q = bn−1 = 3⋅64 =− 2

Теперь можем найти шестой член прогрессии:

         64    3
b6 = b1q5 = 9-⋅(− 2)5 = −2⋅33 = −54

Найдем n  -й член геометрической прогрессии:

bn =b1qn−1 = 64⋅(− 3)n−1
           9    2

в) Из последовательности − 0,001;−0,01;...;  Находим, что b = −0,001.
 1  по формуле знаменателя геометрической прогрессии, находим

q =-bn--= −-0,01= 10
   bn−1   −0,001

Теперь можем найти шестой член прогрессии:

b6 = b1q5 =− 0,001⋅105 =− 0,001⋅100000= −100

Найдем n  -й член геометрической прогрессии:

bn =b1qn−1 = −0,001⋅10n− 1

г) Из последовательности − 100;10;...;  Находим, что b1 = −100.  по формуле знаменателя геометрической прогрессии, находим

q =-bn--= -10--=− 0,1
   bn−1   −100

Теперь можем найти шестой член прогрессии:

b6 = b1q5 =− 100⋅(−0,1)5 = −100⋅(−0,00001)= 0,001.

Найдем n  -й член геометрической прогрессии:

bn =b1qn−1 = −100 ⋅(−0,1)n−1.

Ответ:

а)      3
b6 = 64, bn = 48⋅41−n;

б)             64   3
b6 = −54, bn = 9-⋅(−2)n−1;

в) b6 = −100; bn = −0,001⋅10n−1;

г) b6 = 0,001; bn =− 100⋅(−0,1)n−1.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#123972

Найдите первый член геометрической прогрессии (b ),
 n  если:

а) b6 = 3, q =3;

б)      1      1
b5 = 17-, q = −2-.
     2      2

Источники: Учебник по математике - Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и другие (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) Найдем b
 1  через формулы n  -го члена геометрической прогрессии:

      n−1
bn =b1q

     6−1    5
b6 = b1q = b1q  Подставим b6 = 3  и q = 3  в выражение:

      5
3= b1⋅3

    3        1
b1 =-5 = 3−4 =-;
   3        81

б) Найдем b1  через формулы n  -го члена геометрической прогрессии:

      n−1
bn =b1q

b5 = b1q5−1 = b1q4  Подставим b5 = 171
     2  и q = −21
     2  в выражение:

171 =b ⋅(−21)4
 2   1    2

35= b1⋅(− 5)4
2       2

b1 = 35⋅(2)4 = 35-⋅ 16-= 7⋅8-=-56.
    2  5    2  625   1⋅125  125

Ответ:

а)      1
b1 = 81;

б) b1 =-56.
   125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#123974

Найдите знаменатель геометрической прогрессии c,
n  если:

а) c5 = −6, c7 =− 54;

б) c6 = 25, c8 = 4.

Источники: Учебник по математике - Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и другие (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) Найдем q  по формуле     bn
q = bn−1  . Так как в нашем случае bn  и bn−2,  то мы найдем q2  :      bn
q2 = bn−2

q2 =-− 54
    − 6

q2 =9

q =3

б) Найдем q  по формуле     bn--
q = bn−1  . Так как в нашем случае bn  и bn−2,  то мы найдем  2
q  : 2  -bn-
q =bn−2

2  -4
q =25

    2
q =±-
    5

q =±0,4

Ответ:

а) q = 3;

б) q =±0,4.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#123975

Последовательность b
n  — геометрическая прогрессия. Найдите:

а) x1,  если x6 = 0,32, q =0,2;

б) q,  если x3 = −162, x5 = −18.

Источники: Учебник по математике - Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и другие (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) Найдем x
 1  через формулу x  =x qn−1
 n   1

       5
x6 =x1⋅q

          5
0,32= x1⋅0,2

     0,32
x1 = ------=1000
    0,00032

б) Найдем q  по формуле     bn--
q = bn−1  . Так как в нашем случае bn  и bn−2,  то мы найдем  2
q  : 2  -bn-
q =bn−2

    − 18
q2 =----
   − 162

2  1
q =9

    1
q =± 3

Ответ:

а) 1000;

б)   1
± -.
  3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#123977

Последовательность b
n  — геометрическая прогрессия. Найдите:

а) b6,  если b1 =125, b3 = 5;

б) b7,  если      2
b1 =−-, b3 = −2;
     9

в) b1,  если b4 =− 1, b6 = 100.

Источники: Учебник по математике - Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и другие (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) Сначала найдем q  по формуле     bn
q = bn−1  . Так как в нашем случае bn  и bn−2,  то мы найдем q2  :      bn
q2 = bn−2-

q2 =-5-
   125

2   1
q =25

q =± 1
    5

Теперь можем найти b6  по формуле       n−1
bn = b1q  :

b6 = 125⋅(± 1)5 =53⋅(±5)−5 =± 1
         5               25

б) Сначала найдем q  по формуле q =-bn-
   bn−1  . Так как в нашем случае bn  и bn−2,  то мы найдем q2  : q2 =-bn--
    bn−2

         9
q2 =− 2⋅(− 2)

2
q =9

q =±3

Теперь можем найти b7  по формуле       n−1
bn = b1q  :

b7 = − 2⋅(− 3)6 = − 2 ⋅9 ⋅34 = −2 ⋅81= −162
     9        9

в) Сначала найдем q  по формуле     b
q =--n-
   bn−1  . Так как в нашем случае bn  и bn−2,  то мы найдем q2  :      b
q2 =-n--
    bn−2

    − 100
q2 =--−1-

2
q =100

q =±10

Теперь можем найти b1  по формуле       n−1
bn = b1q  :

1) q = 10

       3
b4 = b1⋅10

         3
− 1=b1⋅10

b1 = −0,001

2) q = −10

− 1=b1⋅(−10)3

b1 = 0,001

Итого: b1 = ±0,001.

Ответ:

а)   1
±25;

б) − 162;

в) ±0,001.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#123981

Между числами 2  и 162  вставьте такие три числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.

Источники: Учебник по математике - Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и другие (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Исходя из условия, последовательность будет выглядеть следующим образом: 2;x ;x ;x;162
   2 3  4

Сначала найдем q  по формуле     x
q =--n-
   xn−1  . Так как в нашем случае xn  и xn−4,  то мы найдем q4  :      x
q4 = -n--
    xn− 4

Тогда 162= 2⋅q4

q4 = 162
    2

q4 =81

q =±3

1) q = 3:

x2 =x1⋅q =2⋅3= 6

x3 =x2⋅q =6⋅3= 18

x4 =x3⋅q =18⋅3= 54

2) q = −3:

x2 =x1⋅q =2⋅−3 =− 6

x3 =x2⋅q =−6 ⋅− 3= 18

x4 =x3⋅q =18⋅−3 =−54

Ответ:

 6;18;54  или − 6,18;− 54.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!