Тема Алгебра

11 Последовательности и прогрессии → 11.01 Арифметическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Последовательности и прогрессии

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Числовая последовательность

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#123797

Футбольный мяч катится так, что за первую секунду он проходит путь $0,6$ м, а в каждую следующую секунду путь увеличивается на $0,6$ м по сравнению с предыдущей. Сколько секунд будет катиться мяч по горке длиной $6$ метров?

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой $S = 2a1+d⋅(n−1)⋅n: n 2$ $2⋅0,6+0,6(n−1)⋅n= 6⇒ 2$ $0,6n2+0,6n− 12 =0$ $⇒ n =− 5;n = 4. 1 2$ $n$ должно быть положительным, поэтому подходит только $n= 4$

Ответ: 4 с.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#123798

Два велосипедиста, находясь на расстоянии $153$ км друг от друга, начали двигаться одновременно навстречу друг другу. Первый велосипедист едет со скоростью $10$ км/ч, второй в первый час проехал $3$ км, а в каждый последующий - на $5$ км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов велосипедисты встретятся?

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Движение второго велосипедиста составляет арифметическую прогрессию, его путь - сумма арифметической прогрессии, количество членов $(n> 0)$ - время движения, первый член прогрессии $a1 = 3,$ разность прогрессии $d= 5.$ Так как велосипедисты едут навстречу, то $153$ - сумма их путей за одно и то же время. Составим уравнение: $2⋅3+5(n−-1) 153= 10n + 2 ⋅n ⇒ n1 = −10,2;n2 = 6.$ Нам подходит только $n =6.$

Ответ: Через 6 часов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#123799

В лесу живут белки, каждая из которых, придя на опушку, съедает $10$ орехов. В первый день на опушку пришли $6$ белок. В каждый следующий на опушку приходило на две белки больше. Сколько орехов съели белки за $30$ дней?

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Растущее количество белок на опушке составляет арифметическую прогрессию с первым членом $a =6 1$ и разностью $d =2,$ посчитав количество белок, которые придут на опушку за $n =30$ дней по формуле суммы арифметической прогрессии мы сможем найти количество съеденных орехов: $2⋅6+2⋅(30−1) S30 = 2 ⋅30= 1050$ белок посетит опушку. Значит всего они съели $1050⋅10 =10500$ орехов.

Ответ: 10500 орехов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#123800

Старший брат договорился с Мишей, что в пятницу он будет готовиться к экзамену по физике, решая задачи из сборника. За первую задачу брат разрешит ему поиграть на своей приставке $10$ минут, а за каждую следующую задачу ему можно будет играть на $3$ минуты больше, чем за предыдущую. Сколько минут можно будет поиграть Мише в воскресенье, если он решит $8$ задач?

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой $S = 2a1+d⋅(n−1)⋅n: n 2$ $S = 2⋅10+3(8−1)⋅8= 164 8 2$

Ответ: 164 минуты.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#123801

За изготовление и установку нижнего железобетонного кольца колодца заплатили $234$ рубля, а за каждое следующее кольцо платили на $18$ рублей меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы была выплачена премия $360$ рублей. Средняя стоимость изготовления и установки одного кольца с учетом премии оказалась равна $202$ рубля. Сколько колец было установлено?

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Пусть за изготовление и установку всех колец заплатили $S . n$ Тогда $S = 2a1+(n−-1)d⋅n= n 2$ $= 2⋅234−(n−1)⋅18⋅n= (243− 9n)n. 2$ Средняя стоимость установки одного кольца с учетом премии равна $202$ рубля, а значит, $360+Sn n = 202.$ Получаем: $360 +(243 − 9n)n= 202n ⇒$ $2 ⇒ 9n − 41n− 360= 0⇒ n= 9$

Ответ: 9 колец.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#123802

Клиент взял в банке кредит $100$ рублей на $n$ месяцев с условием, что по окончании первого месяца выплатит банку $-1 n$ часть кредита, а в каждый последующий месяц выплата будет на $5$ рублей больше, чем в предыдущий. Известно, что в последний месяц выплата составила $55$ руб. На какой срок был выдан кредит, если известно, что этот срок превышал полгода?

Источники: Решу ОГЭ, Арифметическая прогрессия (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Ежемесячные выплаты составляют арифметическую прогрессию с первым членом $100- n$ и разностью $5.$ Тогда за последний месяц клиент выплатил банку $100- n +5(n− 1)$ руб., что составляет $55$ руб. Решим уравнение: $100- n + 5(n − 1)= 55⇒ 100+5n(n− 1)=55n⇒$ $2 ⇒ 5n − 60n+ 100= 0⇒ n1 = 10;n2 = 2.$ По условию срок кредита превышал $6$ месяцев, значит подходит только ответ $n =10.$

Ответ: 10 месяцев.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#123803

Первоначальная цена товара на торгах повышалась несколько раз на одно и то же количество рублей. После четвертого повышения цена стала $1250$ рублей, а после десятого повышения – $1550$ рублей. Через сколько повышений цена стала на $400$ рублей больше первоначальной?

Источники: nsportal, Арифметическая прогрессия. (см. nsportal.ru)

Показать ответ и решение

Пусть первоначальная цена равна $S,$ а $x−$ величина каждого повышения. Тогда после четвертого повышения: $S+ 4x= 1250.$ После десятого повышения: $S + 10x =1550.$ Вычтем первое уравнение из второго: $(S+ 10x)− (S + 4x)= 1550 − 1250⇒ x= 50$ руб. Если одно повышение равно $50$ руб., то на $400$ руб. товар подорожает через $400- 50 =8$ повышений.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#123804

Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту $1400$ м, а затем каждый следующий день поднимались на высоту на $100$ м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту $5000$ м?

Источники: nsportal, Арифметическая прогрессия. (см. nsportal.ru)

Показать ответ и решение

Составим уравнение: $2⋅1400+(n−1)⋅(−100) ⋅n =5000⇒ n(2800+ (−100)⋅(n− 1))= 10000 ⇒ 2$ $⇒ 100n2− 2900n+ 10000= 0⇒ n2− 29n +100= 0⇒ n =4;n = 25. 1 2$ Оба решения верны, но логически подходит $n= 4,$ так как при $n =25$ высота подъёма в некоторые дни будет отрицательной, что невозможно.

Ответ: За 4 дня.

Следующая подтема