Тема Алгебра

20 Функции → 20.02 Свойства функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Функции

Понятие функции

Свойства функции

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#116787

На рисунках изображены графики функций, заданных формулами $y = x, 2$ $y =-2, x$ $y = 2− x 2$ и $y = − 2. x$ Для каждой функции укажите соответствующий график:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

(d)

$PIC$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

$y = x 2$ — прямая, проходящая через начало координат. На рисунках только одна такая прямая — в пункте $(c).$

$2 y = x$ — гипербола, график которой лежит в $I$ и $III$ координатных четвертях. На рисунках только одна такая гипербола — $(a).$

$x y = 2− 2$ — прямая, проходящая через точки $(0;2)$ и $(2;0).$ На рисунках только одна такая прямая — в пункте $(d).$

$2 y = −x$ — гипербола, график которой лежит в $II$ и $IV$ координатных четвертях. На рисунках только одна такая гипербола — $(b).$

Ответ:

$(c),$ $(a),$ $(d)$ и $(b)$ соответственно.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#116788

По графику функции $y = |x|$ найдите, при каких значениях $x:$

(a) $|x|=3,5;$

(b) $|x|<2;$

Какое наименьшее значение функции? Имеет ли она наибольшее значение? Какова область значений функции?

$PIC$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Проведём прямую $y = 3,5.$ Она пересечёт график функции в $(−3,5;3,5)$ и $(3,5;3,5).$ Тогда $|x|=3,5$ при $x =±3,5.$

$PIC$

(b) Проведём прямую $y =2.$ Она пересечёт график функции в $(−2;2)$ и $(2;2).$ Нам подходит та часть графика, которая лежит под этой прямой. Тогда $|x|< 2$ при $− 2< x <2,$ или же при $x ∈(−2;2).$

$PIC$

(c) Проведём прямую $y =4.$ Она пересечёт график функции в $(− 4;4)$ и $(4;4).$ Нам подходит та часть графика, которая лежит над этой прямой. Тогда $|x|≥ 4$ при $x ∈(−∞;− 4]∪ [4;+∞ ).$

$PIC$

Ответ:

(a) $x = ±3,5;$ (b) $x ∈(−2;2);$ (c) $x ∈(−∞;− 4]∪ [4;+∞ ).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#116789

Составьте таблицу значений и постройте график функции, заданной формулой:

(a) $y =x3− 8x,$ где $− 3≤ x≤ 3;$

(b) $y = x+42,$ где $− 1,5≤ x≤ 6.$

Какова область значений функции?

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Для $y = x3 − 8x= x(x2− 8):$

2 y(−3)= −3((−3) − 8) =− 3(9− 8)=− 3

y(−2,5)= −2,5((− 2,5)2− 8)= −2,5(6,25− 8)= −2,5⋅(−1,75)= 4,375

y(− 2)= −2((− 2)2− 8)= −2(4− 8)= −2⋅(− 4)=8

y(−1,5)= −1,5((− 1,5)2− 8)= −1,5(2,25− 8)= −1,5⋅(−5,75)= 8,625

y(− 1)= −(1− 8)=7

y(−0,5)= −0,5((− 0,5)2− 8)= −0,5(0,25− 8)= −0,5⋅(−7,75)= 3,875

y(0)= 0

y(0,5)= 0,5(0,52 − 8)= 0,5(0,25− 8)= 0,5⋅(−7,75)= −3,875

y(1)= 1− 8= −7

2 y(1,5)= 1,5(1,5 − 8)= 1,5(2,25− 8)= 1,5⋅(−5,75)= −8,625

y(2)= 2(22− 8)= 2(4− 8)=2 ⋅(−4)= −8

y(2,5)= 2,5(2,52 − 8)= 2,5(6,25− 8)= 2,5⋅(−1,75)= −4,375

y(3)=3(32− 8)= 3(9 − 8)= 3

Составим таблицу значений:

|--|---|-----|---|-----|---|----|--|------|---|------|---|------|--| |x-|−3-|−-2,5-|−2-|−1,5-|−1-|−0,5-|0-|-0,5--|-1-|-1,5--|-2-|-2,5--|3-| -y--−3--4,375--8---8,625--7---3,875--0--−3,875--−7--−8,625--−8--−4,375--3-|

Отметим на графике данные нам точки:

$PIC$

Соединим их и получим искомый график зависимости:

$PIC$

Если бы мы изобразили больше точек, график получился бы более плавным:

$PIC$

Позже, в курсе математического анализа, мы узнаем, как точно найти максимум и минимум этой функции. Её максимум находится в точке $(− 2√6;32√6), 3 9$ а минимум — в точке $(2√6;− 32√6). 3 9$ Тогда область значений функции:

32√6- 32√6 32√6 32√6 − 9 < y < 9 , или ж еE(y)=[− 9 ; 9 ]

Но пока что можем ограничиться данными, которые у нас есть, и сказать, что область значения функции такова:

−8,625 ≤y ≤8,625, или ж еE(y)=[−8,625;8,625]

(b) Для $y = x4+2:$

---4--- -4- y(−1,5)= − 1,5+ 2 = 0,5 = 8

4 4 y(−1)= −1+-2 =1 = 4

y(−0,5)= ---4---= -4-=4 ÷ 3 = 4⋅ 2= 8 =2 2 −0,5+ 2 1,5 2 3 3 3

y(0)= -4--= 4 =2 0+ 2 2

4 4 y(0,5)= 0,5+-2 = 2,5-= 1,6

y(1)= --4- = 4= 11 1 +2 3 3

y(1,5)= --4-- = 4-= 4÷ 7 =4 ⋅ 2= 8 =11 1,5 +2 3,5 2 7 7 7

4 4 y(2)= 2+-2 = 4 =1

y(2,5)= 2,45+2 = 44,5-=4÷ 92 =4 ⋅ 29 = 89

--4- 4 y(3)= 3 +2 = 5 = 0,8

4 4 11 2 8 y(3,5)= 3,5-+2 = 5,5 = 4÷ 2-= 4⋅11 = 11

-4-- -/42 2 y(4)= 4+ 2 = /6 = 3 3

y(4,5)= --4-- = 4-= 4÷ 13= 4⋅-2 = 8- 4,5 +2 6,5 2 13 13

4 4 y(5) = 5+2-= 7

--4-- 4-- 15 -2 8- y(5,5)= 5,5 +2 = 7,5 = 4÷ 2 = 4⋅15 = 15

1 y(6)= -4--= -/4-= 1 =0,5 6+ 2 /82 2

Составим таблицу значений:

|----|-----|---|-----|-|----|---|---|--|---|---|----|--|---|--|----|---| |-x--|−-1,5-|−1-|−0,5-|0|0,5-|1--|1,5-|2-|2,5-|-3-|3,5-|4-|4,5-|5-|5,5-|6--| | y | 8 | 4 | 22 |2|1,6 |11 |11 |1 | 8 |0,8| 8- |2 |-8 |4 | 8- |0,5 | ------------------3-----------3---7------9-------11--3--13--7---15-------

Составим таблицу значений:

|x-|−3-|−-2,5-|−2-|−1,5-|−1-|−0,5-|0-|-0,5--|-1-|-1,5--|-2-|-2,5--|3-| |y-|−3-|4,375-|8--|8,625-|7--|3,875-|0-|−3,875-|−7-|−8,625-|−8-|−4,375-|3-| -------------------------------------------------------------------|

Отметим на графике данные нам точки:

$PIC$

Соединим их и получим искомый график зависимости:

$PIC$

Если бы мы изобразили больше точек, график получился бы более плавным:

$PIC$

Область значений функции:

0,5< y < 8, или ж еE(y)=[0,5;8]

Ответ:

(a)

|--|---|-----|---|-----|---|----|--|------|---|------|---|------|--| |x-|−3-|−-2,5-|−2-|−1,5-|−1-|−0,5-|0-|-0,5--|-1-|-1,5--|-2-|-2,5--|3-| -y--−3--4,375--8---8,625--7---3,875--0--−3,875--−7--−8,625--−8--−4,375--3-|

$PIC$

$√- √ - −329-6< y < 329-6,$ или же $√- √- E (y)= [− 3296;3296];$

(b)

|x-|−3-|−-2,5-|−2-|−1,5-|−1-|−0,5-|0-|-0,5--|-1-|-1,5--|-2-|-2,5--|3-| |y-|−3-|4,375-|8--|8,625-|7--|3,875-|0-|−3,875-|−7-|−8,625-|−8-|−4,375-|3-| -------------------------------------------------------------------|

$PIC$

$0,5< y < 8,$ или же $E(y)=[0,5;8].$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#116790

Измерение температуры воды $p$ ( $∘C$ ) в баке как функции времени $t$ (мин) описано с помощью формул:

(| ||{ 2t+20, если 0≤ t<40, p=|| 100, если40≤ t≤ 60, |( − 23t+ 140, если60< t≤ 150.

(a) Определите, как изменялась температура воды в каждом из указанных промежутков времени;

(b) Постройте график функции $p= f(t);$

(c) Какой физический смысл имеет процесс, описанный функцией $p= f(t),$ в каждом из промежутков времени $[0;40);$ $[40;60];$ $(60;150].$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) В промежутке времени $[0;40)$ температура увеличивалась, потому что коэффициент перед аргументом положительный. В промежутке времени $[40;60]$ температура не изменялась, потому что аргумента нет. В промежутке времени $(60;150]$ температура уменьшалась, потому что коэффициент перед аргументом отрицательный.

(b) $2t+ 20$ на интервале $[0;40)$ — прямая, идущая от $(0;20)$ к $(40;100).$ $100$ на интервале $[40;60]$ — константа $y = 100,$ идущая от точки $(40;100)$ к точке $(60;100).$ $− 23x+ 140$ на интервале $(60;150]$ — прямая, идущая от точки $(60;100)$ к точке $(150;40).$ Тогда график:

$PIC$

(c) В промежутке времени $[0;40)$ вода нагревается. В промежутке времени $[40;60]$ вода кипит. В промежутке времени $(60;150]$ вода остывает.

Ответ:

(a) В промежутке времени $[0;40)$ температура увеличивалась, в промежутке $[40;60]$ — не изменялась, в промежутке $(60;150]$ — уменьшалась;

$PIC$

В промежутке времени $[0;40)$ вода нагревается, в промежутке $[40;60]$ — кипит, в промежутке $(60;150]$ — остывает.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#116791

Зависимость расстояния $s$ (км), которое велосипедист проехал от турбазы, от времени его движения $t$ (ч) задана следующим образом:

(| 7 ||{15t, если0 ≤t< 6, s= ||17,5 если 76 ≤ t≤ 32, |(− 12t+ 35,5, если 32 < t≤ 52.

Найдите $s(0);$ $s(1);$ $s(1,4);$ $s(2).$ Постройте график функции $s=f(t).$ Опишите, как происходило движение велосипедиста.

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

Поскольку $0∈ [0;7): 6$

s(0)= 15 ⋅0 =0

Поскольку $1∈ [0;7): 6$

s(1) =15⋅1= 15

Поскольку $1,4 ∈[7;3]: 6 2$

s(1,4)= 17,5

Поскольку $2∈ (32;52]:$

s(2)= −12⋅2+35,5= −24+35,5 =11,5

$15t$ на интервале $[0;76)$ — прямая, идущая от $(0;0)$ к $(76;17,5).$ $17,5$ на интервале $[76;32]$ — константа $y =17,5,$ идущая от точки $(76;17,5)$ к точке $(32;17,5).$ $− 12t+35,5$ на интервале $(32;52]$ — прямая, идущая от точки $(32;17,5)$ к точке $(52;5,5).$ Тогда график:

$PIC$

Сначала велосипедист $1$ ч $10$ мин удалялся от турбазы и смог удалиться на $17,5$ км. Затем он сделал перерыв на $20$ минут и никуда не двигался. В конце концов, он поехал обратно и ехал $1$ ч, пока не проехал $12$ км и не оказался в $5,5$ км от базы.

Ответ:

$s(0) =0,$ $s(1)= 15,$ $s(1,4)= 17,5,$ $s(2)= 11,5;$

$PIC$

сначала велосипедист $1$ ч $10$ мин удалялся от турбазы и смог удалиться на $17,5$ км, затем он сделал перерыв на $20$ минут и никуда не двигался, а после поехал обратно и ехал $1$ ч, пока не проехал $12$ км и не оказался в $5,5$ км от базы.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#116792

На рисунке изображён график изменения скорость велосипедиста $v$ в зависимости от времени его движения $t.$ Укажите промежуток времени, в течение которого скорость велосипедиста:

(a) возрастала;

(b) убывала;

$PIC$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Скорость возрастала на промежутке $[0;6);$

(b) Скорость убывала на промежутке $(14;16];$

Ответ:

(a) $[0;6);$ (b) $(14;16];$ (c) $[6;14].$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#116793

Кусок льда, имеющий температуру $− 5∘C,$ нагревали в течение $16$ мин. Результат нагревания показан на графике. Какой физический смысл имеет имеет рассматриваемый процесс в каждом из промежутков $[0;4],$ $(4;10),$ $[10;16]?$

$PIC$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

На промежутке $[0;4]$ температура поднималась от $− 5∘C$ (отрицательного значения) к $0∘C$ — лёд нагревался. На промежутке $(4;10)$ температура не менялась и была равна $∘ 0 C$ — лёд таял, пока не превратился в воду. На промежутке $[10;16]$ температура поднималась от $∘ 0 C$ к $∘ 3 C$ (положительному значению) — вода нагревалась.

Ответ:

На промежутке $[0;4]$ лёд нагревался; на промежутке $(4;10)$ лёд таял, пока не превратился в воду; на промежутке $[10;16]$ вода нагревалась.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#116794

Начертите график какой-либо функции с областью определения $[−3;4]$ так, чтобы эта функция:

(a) возрастала в промежутке $[− 3;0]$ и убывала в промежутке $[0;4];$

(b) убывала в промежутке $[− 3;1]$ и возрастала в промежутке $[1;4].$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

На самом деле, в этом задании можно изобразить любой график — даже такой, который нельзя задать формулой. Но мы приведём для примера графики функций, которые можно задать формулой.

(a) Функция $y = −|x|$ возрастает при $x< 0$ и убывает при $x> 0.$ Она вполне подходит нам на области определения $[−3;4]:$

$PIC$

(b) Функция $y = |x− 1|$ убывает при $x< 1$ и возрастает при $x >1.$ Она вполне подходит нам на области определения $[−3;4]:$

$PIC$

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#116795

Начертите график какой-нибудь функции , нулями которого служат числа:

(a) $− 3$ и $3;$

(b) $− 4,$ $0$ и $2;$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Функция $y = (x+ 3)(x− 3)= x2− 9$ имеет нули в $x= ±3.$ Она вполне подходит нам, изобразим её график:

$PIC$

(b) Функция $2 3 2 y = x(x+ 4)(x− 2)= x(x + 2x− 8)= x + 2x − 8x$ имеет нули в $x= −4,$ $x= 0$ и $x= 2.$ Она вполне подходит нам, изобразим её график:

$PIC$

(c) Функция $y =(x+ 3)(x− 1)(x− 2)(x− 5)=(x2+ 2x− 3)(x2 − 7x+ 10) =x4− 5x3− 7x2+ 41x− 30$ имеет нули в $x= −3,$ $x= 1,$ $x =3$ и $x =5.$ Она вполне подходит нам, изобразим её график:

$PIC$

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#116796

Найдите нули функции (если они существуют):

(a) $y =− 0,8x+ 12;$

(b) $y =(3x− 10)(x+ 6);$

(d) $---6---- y = (x−1)(x+8).$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

(a) Попробуем решить уравнение $− 0,8x+ 12= 0:$

−0,8x +12= 0

0,8x =12| ⋅ 5 4

x= 15

(b) Попробуем решить уравнение $(3x− 10)(x +6)= 0:$

[ [ [ (3x− 10)(x+6)= 0⇐ ⇒ 3x − 10= 0 ⇐⇒ 3x= 10 ⇐⇒ x = 103-=313 x+ 6= 0 x= −6 x =− 6

(c) Для начала разберёмся с ОДЗ функции. Знаменатель дроби не может быть равен $0,$ но знаменатель этой дроби никогда не будет равен $0,$ потому что $x2 ≥0,$ а значит, $x2 +5≥ 5.$ Тогда мы можем подставить вместо $x$ любое значение, поэтому область допустимых значений — множество вещественных чисел.

Теперь попробуем решить уравнение $4x+2+2x5-= 0:$

4+-2x 2 x2+ 5 = 0| ⋅(x + 5) ⁄=0

4+2x =0 | − 4

2x =− 4| ÷ 2

x= −2

(d) Для начала разберёмся с ОДЗ функции. Знаменатель дроби не может быть равен $0,$ поэтому ОДЗ:

( ( {x− 1⁄= 0 {x⁄= 1 (x− 1)(x+8)⁄= 0⇐ ⇒ (x+ 8⁄= 0 ⇐⇒ (x⁄= −8

Теперь попробуем решить уравнение $(x−16)(x+8) = 0:$

-----6---- = 0| ⋅(x− 1)(x+8)⁄= 0 (x− 1)(x+ 8)

6 =0 —противоречие, уравнение не имеет решений

Ответ:

(a) $x = 15;$ (b) $x= −6$ и $1 x= 33;$ (c) $x= −2;$ (d) $x∈∅.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#116798

Имеет ли нули функция:

(a) $y =2,1x − 70;$

(b) $y =4x(x− 2);$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

(a) Попробуем решить уравнение $2,1x− 70= 0:$

2,1x − 70= 0| + 70

10 2,1x= 70| ⋅21

x= 100= 331 3 3

(b) Попробуем решить уравнение $y = 4x(x − 2)= 0:$

[ 4x= 0 [ x = 0 4x(x− 2) =0 ⇐⇒ x− 2= 0 ⇐⇒ x = 2

x⁄= 0

Теперь попробуем решить уравнение $6−x= 0: x$

6−-x= 0| ⋅x ⁄=0 x

6− x= 0

x= 6

Ответ:

(a) Да, имеет; (b) да, имеет; (c) да, имеет.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#116799

Укажите область определения и найдите нули функции:

(a) $x−√x+6- y = -x+5-;$

(b) $y = -4x2√+25x--. 2x− 10−6x$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной $x).$ Геометрически — это проекция графика функции на ось $Ox.$ Чтобы обозначить область определения некоторой функции $y,$ используют запись $D(y).$

Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

(a) Начнём с области определения функции. Подкоренное выражение не может быть отрицательным, а знаменатель дроби не может быть равен $0,$ поэтому область определения:

( ( { x+ 6≥ 0 { x≥ −6 ( x+ 5⁄= 0 ⇐⇒ ( x⁄= −5

Также это можно записать по-другому:

E (y)= [− 6;−5)∪ (− 5;+∞ ), или же E(y) =[−6;+ ∞)∖{−5}

Теперь найдём нули функции, решив уравнение $√--- x−xx++56 =0:$

√---- x−--x+-6= 0| ⋅(x+ 5)⁄= 0 x+ 5

√---- √---- x− x+ 6= 0| + x +6

x =√x-+-6

x2 = x+6

x2− x− 6= 0

2 2 D =(−1) − 4⋅1⋅(−6)= 1+ 24= 25 =5

x1,2 = 1±-5 2

⌊ x1 = 1−25= −42 = −2 ⌈ x2 = 1+5= 6 =3 2 2

Оба корня подходят по ОДЗ.

(b) Начнём с области определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен $0,$ а подкоренное выражение не может быть отрицательным, поэтому область определения:

( ({2x ⁄=√10-− 6x ({ 4x2 +6x− 10= 0 |||{ x⁄= −2,5 ( =⇒ ( ⇐⇒ | x⁄= 1 10− 6x≥ 0 6x≤ 10 ||( x≤ 12 3

Также это можно записать по-другому:

E(y)= (− ∞;−2,5)∪ (− 2,5;1)∪ (1;12], или же E (y)= (− ∞;12]∖{−2,5;1} 3 3

Теперь найдём нули функции, решив уравнение $-4x2√+25x- =0: 2x− 10− 6x$

2 --4x√+25x--= 0| ⋅(2x− √10−-6x)⁄= 0 2x− 10− 6x

4x2+ 25x= 0

x(4x+25)= 0

[ x =0 4x+ 25= 0| − 25

[ x =0 4x =− 25 | ÷4

[ x= 0 x= − 254 = −614 = −6,25| ÷ 4

Оба корня подходят под ОДЗ.

Ответ:

(a) $E (y)= [− 6;+ ∞)∖{− 5},$ $x =− 2,$ $x= 3;$ (b) $2 E(y)=(−∞; 13]∖{−2,5;1},$ $x =0,$ $x =− 6,25.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#116800

При каких значениях $x$ функция $y = f(x)$ обращается в нуль, принимает положительные и отрицательные значения, если:

(a) $f(x)= −0,7x+ 350;$

(b) $f(x)= 30x +10?$

Начертите схематически график функции и проиллюстрируйте на нём установленные свойства.

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Чтобы выяснить, при каких значениях $x$ функция $f(x)$ обращается в нуль, решим уравнение:

−0,7x+ 350=0

0,7x = 350| ⋅ 10 7

x= 500

Чтобы выяснить, при каких значениях $x$ функция $f(x)$ принимает положительные значения, решим неравенство:

−0,7x+ 350>0

10 0,7x < 350| ⋅7

x< 500

В остальных случаях функция $f(x)$ принимает отрицательные значения:

x> 500

График:

$PIC$

(b) Чтобы выяснить, при каких значениях $x$ функция $f(x)$ обращается в нуль, решим уравнение:

30x+ 10= 0| ÷ 10

3x +1 =0 | − 1

3x =− 1| ÷ 3

1 x= − //10--=− 1 //303 3

Чтобы выяснить, при каких значениях $x$ функция $f(x)$ принимает положительные значения, решим неравенство:

30x+ 10> 0| ÷ 10

3x +1 >0 | − 1

3x >− 1| ÷ 3

1 x> − //10--=− 1 //303 3

В остальных случаях функция $f(x)$ принимает отрицательные значения:

x< − 13

График:

$PIC$

Ответ:

(a) $x = 500,$ $x> 500$ и $x< 500$ соответственно;

$PIC$

(b) $1 x =− 3;$ $1 x> −3$ и $1 x <− 3$ соответственно;

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#116801

Какие из линейных функций $y =8x − 5,$ $y = −3x+ 11,$ $y = −49x− 100,$ $y = x+ 1,$ $y = 1− x$ являются:

(a) возрастающими;

(b) убывающими?

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

При $k> 0$ функция $y =kx +b$ является возрастающей, а при $k< 0$ — убывающей.

Коэффициент перед $x$ у функции $y =8x− 5$ — $8> 0,$ значит, функция является возрастающей.

Коэффициент перед $x$ у функции $y =− 3x +11$ — $− 3< 0,$ значит, функция является убывающей.

Коэффициент перед $x$ у функции $y =− 49x− 100$ — $− 49 <0,$ значит, функция является убывающей.

Коэффициент перед $x$ у функции $y =x +1$ — $1> 0,$ значит, функция является возрастающей.

Коэффициент перед $x$ у функции $y =1− x$ — $− 1< 0,$ значит, функция является убывающей.

Ответ:

(a) $y =8x − 5$ и $y = x+ 1;$ (b) $y = −3x +11,$ $y = −49x− 100$ и $y = 1− x.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#116802

При каких значениях $a$ функция $y =(a− 2)x +3:$

(a) является возрастающей;

(b) является убывающей;

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

При $k> 0$ функция $y =kx +b$ является возрастающей, а при $k< 0$ — убывающей.

(a) Функция $y = (a− 2)x +3$ является возрастающей, когда коэффициент перед $x$ больше нуля:

a− 2> 0| + 2

a> 2

(b) Функция $y = (a− 2)x+3$ является убывающей, когда коэффициент перед $x$ меньше нуля:

a− 2< 0| + 2

a< 2

(c) Функция $y =(a− 2)x +3$ не является ни возрастающей, ни убывающей, если она является константой, т. е. не зависит от $x.$ Это происходит, когда коэффициент перед $x$ равен нулю:

a− 2= 0| + 2

a= 2

Ответ:

(a) $a >2;$ (b) $a< 2;$ (c) $a= 2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#116803

Постройте график функции и перечислите её свойства:

(a) $y =1,5x − 3;$

(b) $y =− 0,6x+ 5.$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) График:

$PIC$

Свойства:

$1)$ Обращается в нуль при $x= − -−3∖⋅2= -/62= 2. 1,5 /31$

$2)$ Поскольку коэффициент перед $x$ — $1,5> 0,$ принимает отрицательные значения в промежутке $(−∞;2)$ и положительные значения в промежутке $(2;+∞).$

$3)$ Поскольку коэффициент перед $x$ — $1,5> 0,$ является возрастающей.

(b) График:

$PIC$

Свойства:

$1)$ Обращается в нуль при $∖⋅5 x= − -5−0,6-= 235= 813.$

$2)$ Поскольку коэффициент перед $x$ — $− 0,6< 0,$ принимает отрицательные значения в промежутке $(813;+∞ )$ и положительные значения в промежутке $(−∞; 813).$

$3)$ Поскольку коэффициент перед $x$ — $− 0,6< 0,$ является убывающей.

Ответ:

(a)

$PIC$

Обращается в нуль при $x =2,$ принимает отрицательные значения в промежутке $(− ∞;2),$ положительные — в $(2;+∞ ),$ возрастающая;

(b)

$PIC$

Обращается в нуль при $x =81, 3$ принимает отрицательные значения в промежутке $(81;+∞ ), 3$ положительные — в $(− ∞;81), 3$ убывающая.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#116804

Постройте график функции:

(a) $y =1,6x;$

(b) $y =− 0,4x.$

Перечислите свойства функции $y = kx$ при $k >0$ и при $k <0.$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) График:

$PIC$

(b) График:

$PIC$

Свойства функции $y = kx$ при $k> 0:$

$1)$ Обращается в нуль при $x= − 0k = 0.$

$2)$ Поскольку коэффициент перед $x$ — $k >0,$ принимает отрицательные значения в промежутке $(−∞; 0)$ и положительные значения в промежутке $(0;+ ∞).$

$3)$ Поскольку коэффициент перед $x$ — $k> 0,$ является возрастающей.

Свойства функции $y = kx$ при $k< 0:$

$1)$ Обращается в нуль при $x= − 0k = 0.$

$2)$ Поскольку коэффициент перед $x$ — $k <0,$ принимает отрицательные значения в промежутке $(0;+∞ )$ и положительные значения в промежутке $(−∞;0).$

$3)$ Поскольку коэффициент перед $x$ — $k> 0,$ является убывающей.

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

$y=kx$ при $k> 0$ обращается в нуль при $x= 0,$ принимает отрицательные значения в промежутке $(− ∞;0),$ положительные — в $(0;+∞),$ возрастающая; $y = kx$ при $k< 0$ обращается в нуль при $x= 0,$ принимает отрицательные значения в промежутке $(0;+∞ ),$ положительные — в $(−∞;0),$ убывающая;

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#116805

Функция задана формулой $f(x) =13x− 78.$ При каких значениях $x:$

(a) $f(x)= 0;$

(b) $f(x)> 0;$

Является ли функция возрастающей или убывающей?

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Решим уравнение:

13x− 78= 0| ÷ 13

x− 6= 0| + 6

x= 6

(b) Решим неравенство:

13x− 78> 0| ÷ 13

x− 6> 0| + 6

x> 6

13x− 78< 0| ÷ 13

x− 6< 0| + 6

x< 6

Функция является возрастающей, потому что коэффициент перед $x$ — $13 >0.$

Ответ:

(a) $x = 6;$ (b) $x> 6;$ (c) $x< 6;$ функция является возрастающей.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#116806

Используя рисунки, перечислите свойства функций $y =x2,$ $y = x3$ и $y = |x|.$

$PIC$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

Функция $y =x2:$

(a) Обращается в нуль при $x =0:$

$PIC$

(b) Не принимает отрицательные значения:

$PIC$

Принимает положительные значения при $x⁄= 0:$

$PIC$

Функция $y = x3:$

(a) Обращается в нуль при $x =0:$

$PIC$

(b) Принимает отрицательные значения при $x <0:$

$PIC$

Принимает положительные значения при $x> 0:$

$PIC$

Функция $y = |x|:$

(a) Обращается в нуль при $x =0:$

$PIC$

(b) Не принимает отрицательные значения:

$PIC$

Принимает положительные значения при $x⁄= 0:$

$PIC$

Ответ:

Функция $y =x2$ обращается в нуль при $x =0,$ не принимает отрицательные значения, принимает положительные значения при $x ⁄=0,$ убывает при $x≤ 0,$ возрастает при $x≥ 0;$ функция $3 y = x$ обращается в нуль при $x =0,$ принимает отрицательные значения при $x< 0,$ положительные — при $x> 0,$ возрастающая; (a) Функция $y = |x|$ обращается в нуль при $x= 0,$ не принимает отрицательные значения, принимает положительные значения при $x ⁄= 0,$ убывает при $x ≤0,$ возрастает при $x ≥0.$