Тема Алгебра

20 Функции → 20.02 Свойства функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Функции

Понятие функции

Свойства функции

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#116764

Функция задана формулой $f(x) =− 3x2+ 10.$ Найдите:

(a) $f(−1);$

(b) $f(0);$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

f(−1)= −3⋅(−1)2 +10= −3⋅1+ 10= −3+ 10= 7

f(0)= −3⋅02+ 10= 10

1 1 1 1 1 1 3 1 2 f(3)=− 3⋅(3)2+ 10= − /3⋅-9-+ 10 =− 3 + 10= 10 −3 = 93 − 3 = 93 /3

Ответ:

(a) $f(−1)= 7;$ (b) $f(0)=10;$ (c) $1 1 f(3)= 93.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#116765

Найдите $f(0),$ $f(1,5)$ и $f(−1),$ если $f(x)= x−0,5. x+0,5$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

0−-0,5 −0,5 f(0)= 0+ 0,5 = 0,5 = −1

f(1,5)= 1,5−-0,5-= 1= 0,5 1,5+ 0,5 2

1 1 − 0,5 1∖⋅2 1∖⋅3 1∖⋅2 1∖⋅3 2− 3 2+3 1 61 1 f(3)= 31-+0,5 = (-3-− --2-)÷ (-3--+ --2-) = -6--÷ -6--= −----⋅-/5-= − 5 3 1 /6

Ответ:

$f(0)=− 1,$ $f(1,5) =0,5$ и $f(1)= − 1. 3 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#116766

Известно, что $f(x)=x3− 10.$ Найдите:

(a) $f(5);$

(b) $f(4);$

(d) $f(−3).$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $f(5)= 53− 10= 125− 10= 115;$

(b) $f(4)= 43 − 10= 64− 10 =54;$

(d) $3 f(−3)= (− 3)− 10= −27− 10 =− 37.$

Ответ:

(a) $f(5)= 115;$ (b) $f(4)= 54;$ (c) $f(2)= −2;$ (d) $f(−3)= −37.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#116767

Пусть $ϕ(x)= x2 +x+ 1.$ Найдите $ϕ(0)+ ϕ(1)+ ϕ(2)+ ϕ(3).$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

ϕ(0)= 02+ 0+1 =1

ϕ(1)= 12+ 1+1 =1 +2 =3

ϕ(2)= 22+ 2+1 =4 +3 =7

ϕ(3)= 32+3+ 1= 9+ 4= 13

ϕ(0)+ϕ(1)+ ϕ(2)+ ϕ(3)= 1+3 +7+ 13= 24

Ответ:

$ϕ(0)+ϕ(1)+ϕ(2)+ϕ(3)=24.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#116768

Известно, что $f(x)=− 5x +6.$ Найдите значение $x,$ при котором:

(a) $f(x)= 17;$

(b) $f(x)= −3;$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Решим уравнение $f(x)= 17:$

−5x+ 6= 17

5x= −11

11 1 x= − 5 =− 25 = −2,2

(b) Решим уравнение $f(x)=− 3:$

− 5x+6 =− 3

5x= 9

x= 9 = 14= 1,8 5 5

−5x+ 6= 0

5x= 6

x= 6 = 11= 1,2 5 5

Ответ:

(a) $x = −2,2;$ (b) $x =1,8;$ (c) $x= 1,2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#116769

Найдите значение $x,$ при которых $g(x)=0,$ если:

(a) $g(x)=x(x+ 4);$

(b) $g(x)= x5−+1x.$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Решим уравнение $g(x)= 0:$

[ [ x(x+ 4) =0⇐ ⇒ x= 0 ⇐⇒ x =0 x+ 4= 0 x =− 4

(b) Решим уравнение $g(x) =0.$

ОДЗ:

5− x⁄= 0

x⁄= 5

На ОДЗ:

x+-1= 0| ⋅(5− x)⁄=0 5− x

x+ 1= 0

x= −1

Ответ:

(a) $x ∈{−4;0};$ (b) $x= −1.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#116770

Существует и значение $x,$ при котором значение функции, заданной формулой $ϕ(x)= 4-, 6+x$ равно:

(a) $1;$

(b) $− 0,5;$

В случае утвердительного ответа укажите это значение.

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

6+ x⁄= 0

x⁄= −6

(a) Попробуем решить уравнение $ϕ(x) =1:$

64+-x = 1| ⋅(6+ x)⁄=0

4= 6+ x

x = −2— подходит

(b) Попробуем решить уравнение $ϕ(x)=− 0,5:$

-4-- 6+ x = −0,5

--4- =− 1| ⋅2(6+x) 6+ x 2

8= −(6+ x)

−6− x= 8

x= −14— подходит

--4- =0 | ⋅(6 +x) 6 +x

4= 0— нет реш ений

Ответ:

(a) Да, $x= −2;$ (b) да, $x= −14;$ (c) нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#116771

Найдите значение $x,$ при котором функция, заданная формулой $f(x) =0,5x − 4,$ принимает значение, равное:

(a) $− 5;$

(b) $0;$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Решим уравнение $f(x)= −5:$

0,5x− 4 =− 5

1 2x= −1| ⋅2

x= −2

(b) Решим уравнение $f(x)=0:$

0,5x− 4= 0

1 2 x= 4| ⋅2

x= 8

0,5x− 4 =2,5

1x= 61| ⋅2 2 2

x= 13

Ответ:

(a) $x = −2;$ (b) $x= 8;$ (c) $x= 13.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#116773

Найдите область определения функции, заданной формулой:

(a) $y =4x− 8;$

(b) $y =x2− 5x+ 1;$

(d) $---3---- y = (x−4)(x+1);$

(e) $y =x21+1;$

(f) $y = √x-− 5.$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной $x).$ Геометрически — это проекция графика функции на ось $Ox.$ Чтобы обозначить область определения некоторой функции $y,$ используют запись $D(y).$

(a) Мы можем подставить вместо $x$ любое значение, поэтому область определения функции — множество вещественных чисел:

x∈ℝ, или жеD (y)= (−∞;+ ∞), или же D(y)=ℝ

(b) Мы можем подставить вместо $x$ любое значение, поэтому область определения функции — множество вещественных чисел:

x∈ℝ, или жеD (y)= (−∞;+ ∞), или же D(y)=ℝ

(c) Знаменатель дроби не может быть равен $0,$ поэтому мы можем подставить вместо $x$ любое значение, кроме $x= 5,$ при котором знаменатель дроби обращается в $0:$

x⁄= 5или ж еD(y)=(−∞; 5)∪ (5;+∞ ), или жеD (y)= ℝ∖{7}

(d) Знаменатель дроби не может быть равен $0,$ поэтому мы можем подставить вместо $x$ любое значение, кроме $x =− 1$ и $x =4,$ при которых знаменатель дроби обращается в $0:$

x⁄∈ {−1;4}, или ж еD(y)=(−∞; −1)∪(−1;4)∪ (4;+∞ ), или жеD (y)= ℝ∖{−1;4}

(e) Знаменатель дроби не может быть равен $0,$ но знаменатель этой дроби никогда не будет равен $0,$ потому что $2 x ≥ 0,$ а значит, $2 x + 1≥ 1.$ Тогда мы можем подставить вместо $x$ любое значение, поэтому область определения функции — множество вещественных чисел:

x∈ℝ, или жеD (y)= (−∞;+ ∞), или же D(y)=ℝ

(f) Подкоренное выражение должно быть не меньше $0,$ поэтому мы можем подставить вместо $x$ любое значение, кроме $x <5,$ то есть:

x≥ 5, или же D(y) =[5;+∞ ), или же D(y) ={x∈ ℝ |x ≥5}

Ответ:

(a) $x ∈ℝ,$ или же $D (y)= (−∞;+∞ ),$ или же $D(y)= ℝ;$ (b) $x∈ ℝ,$ или же $D (y)= (−∞;+ ∞),$ или же $D(y)=ℝ;$ (c) $x⁄= 5$ или же $D (y)= (−∞;5)∪(5;+∞),$ или же $D(y)= ℝ∖{7};$ (d) $x ⁄∈{−1;4},$ или же $D(y)= (−∞;− 1)∪ (−1;4)∪ (4;+∞ ),$ или же $D (y)= ℝ∖{−1;4};$ (e) $x ∈ℝ,$ или же $D (y)= (−∞;+∞ ),$ или же $D(y) =ℝ;$ (f) $x ≥ 5,$ или же $D (y)= [0;+∞ ),$ или же $D (y)= {x∈ ℝ|x≥ 5}.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#116774

Приведите пример функции, область определения которой:

(a) множество всех чисел;

(b) множество всех чисел, кроме $7.$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $y = 4x− 8$ и $y = x2 − 5x+ 1$ — функции, область определения которых, — множество всех чисел, потому что вместо $x$ мы можем подставить любое значение.

(b) $y = 27−xx-$ — функция, область определения которой, — множество всех чисел, кроме $7,$ потому что знаменатель дроби не может быть равен $0,$ а других ограничений у нас нет.

Ответ:

(a) $y =4x − 8$ или же $2 y =x − 5x+ 1;$ (b) $-2x y = 7−x.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#116775

Какова область определения функции, заданной формулой:

(a) $y =x2+ 2x;$

(b) $y = x−1+x1;$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

x∈ℝ, или жеD (y)= (−∞;+ ∞), или же D(y)=ℝ

(b) Знаменатель дроби не может быть равен $0,$ поэтому мы можем подставить вместо $x$ любое значение, кроме $x =− 1,$ при котором знаменатель дроби обращается в $0:$

x⁄= −1, или ж еD(y)=(−∞; −1)∪(−1;+∞), или ж еD(y)= ℝ∖{− 1}

(c) Подкоренное выражение должно быть не меньше $0,$ поэтому мы можем подставить вместо $x$ любое значение, кроме $x <− 9,$ то есть:

x≥ −9, или жеD(y)= [−9;+∞ ), или жеD (y)= {x∈ ℝ|x≥ −9}

Ответ:

(a) $x ∈ℝ,$ или же $D (y)= (− ∞;+∞ ),$ или же $D (y)= ℝ;$ (b) $x⁄= −1,$ или же $D(y)= (−∞;− 1)∪ (−1;+ ∞),$ или же $D(y)=ℝ∖{−1};$ (c) $x ⁄=− 1,$ или же $x ≥− 9,$ или же $D (y)= [− 9;+ ∞),$ или же $D(y)={x ∈ℝ |x ≥ −9}.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#116776

Пассажир метро, вставший на эскалатор, сошёл с него через $t$ с. Глубина спуска $h$ м. Угол наклона эскалатора к горизонтальной плоскости $∘ 30 .$ Выразите формулой зависимость $h$ от $t,$ если скорость движения эскалатора равна $0,75$ м/с. Найдите:

(a) $h,$ если $t= 2,25$ мин;

(b) $t,$ если $h= 60$ м.

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

Важно понять, что длина эскалатора и глубина спуска — это не одно и то же. Если изображать картинку схематически, то эскалатор — это прямоугольный треугольник, глубина спуска — его катет, лежащий напротив угла в $∘ 30,$ а ступеньки — гипотенуза этого треугольника.

Гипотенуза прямоугольного треугольника в $2$ раза больше катета, лежащего напротив угла в $∘ 30,$ поэтому путь пассажира $s$ будет равен $2h.$

$PIC$

Если скорость объекта не изменялась, то пройденный путь равен произведению его скорости на время. Тогда формула пути пассажира:

3 s(t)=vt= 0,75t= 4t

Искомая формула $h(t)$ будет принимать значения, в $2$ раза меньшие $s(t),$ при любых значениях $t.$ Тогда формула:

s(t) 3 h(t)= -2-= 8t

(a) $2,25$ минут — это $2⋅60+ 25= 120+ 25= 145.$ Подставим $t= 145$ в формулу:

h(t)= 3⋅145= 435-= 543 8 8 8

$h= 543 8$ м.

(b) Подставим $h= 60$ в формулу и решим уравнение:

60= 3t| ⋅ 8 8 3

20//60⋅8 t= --3---= 160 /1

$t=160$ с.

Ответ:

(a) $3 h = 548$ м; (b) $t= 160$ с.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#116778

Дальность полёта $s$ м снаряда (без учёта сопротивления воздуха), выпущенного из орудия под углом $45 ∘$ к горизонту, зависит только от начальной скорости снаряда $v0$ м/с и может быть найдена по формуле $v20 s= g$ ( $g ≈ 10$ м/с $2 ).$ Найдите:

(a) $s,$ если $v0 = 600$ м/с;

(b) $v0,$ если $s= 24$ км.

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Подставим в формулу $v0 = 600:$

6002 360000 s= -10-= --10--= 36 000

$s=36000$ м $=36$ км.

(b) $s =24$ км $=24000$ м. Подставим в формулу $s=24000$ и решим уравнение:

v20 24000= 10

2 v0 = 240 000

√ ------ √- v = 240 000= 200 6≈ 489,9

$v = 200√6$ м/с $≈ 489,9$ м/с.

Ответ:

(a) $s =36$ км; (b) $√ - v = 200 6$ м/с $≈489,9$ м/с.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#116779

Укажите область определения функции, заданной формулой:

(a) $y = |x+51|+4;$

(b) $y = |x48|−2;$

(d) $∘ --------- y = |2 − x|− 3x.$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Знаменатель дроби не может быть равен $0,$ но знаменатель этой дроби никогда не будет равен $0,$ потому что $|x+ 1|≥ 0,$ а значит, $|x+1|+ 4≥ 4.$ Тогда мы можем подставить вместо $x$ любое значение, поэтому область определения функции — множество вещественных чисел:

x∈ℝ, или жеD (y)= (−∞;+ ∞), или же D(y)=ℝ

(b) Знаменатель дроби не может быть равен $0,$ поэтому мы можем подставить вместо $x$ любое значение, кроме значений, при которых знаменатель обнуляется:

|x|− 2 ⁄=0

|x|⁄= 2

|x|=±2

Таким образом, область определения функции:

x⁄= ±2, или жеD(y)= (− ∞;−2)∪(−2;2)∪(2;+ ∞), или же D(y)=ℝ∖{±2}

(c) Подкоренное выражение должно быть не меньше $0,$ поэтому мы можем подставить вместо $x$ любое неотрицательное значение:

[ x ≤− 1 |x|− 1≥ 0⇐ ⇒ |x|≥ 1⇐⇒ x ≥1

Таким образом, область определения функции:

D(y) =(−∞; −1]∪ [1;+∞ )

(d) Подкоренное выражение должно быть не меньше $0,$ поэтому мы можем подставить вместо $x$ любое неотрицательное значение:

( ( ⌊ {x ≤2 ⌊ {x ≤2 || ( || ( 1 |2− x|≥ 3x⇐ ⇒ ||| (2− x≥ 3x ⇐ ⇒ ||| (x ≤2 ⇐⇒ x ≤ 1 |⌈ {x ≥2 |⌈ {x ≥2 2 (x− 2≥ 3x (x ≤− 1

Таким образом, область определения функции:

1 1 1 x ≤2, или жеD (y)= (−∞;2 ], или ж еD(y)={x ∈ℝ |x≤ 2}

Ответ:

(a) $x ∈R,$ или $D(y)= (−∞; +∞ ),$ или же $D (y)= ℝ;$ (b) $x ⁄= ±2,$ или же $D(y) =(−∞;− 2)∪(−2;2)∪ (2;+∞ ),$ или же $D (y)= R∖{±2};$ (c) $D(y)=(−∞; −1]∪[1;+∞ );$ (d) $1 x≤ 2,$ или же $1 D(y)= (− ∞;2],$ или же $1 D (y)= {x∈ R|x ≤ 2}.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#116780

Постройте график функции, заданной формулой:

(a) $f(x)= 1,5− 3x;$

(b) $f(x)= 4,5x;$

(d) $1 f(x)= x.$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $f(x)$ — линейная функция, которая монотонно убывает и пересекает оси координат в $(0;1,5)$ и $(0,5;0).$

(b) $f(x)$ — линейная функция, которая монотонно возрастает и пересекает начало координат.

(d) $f(x)$ — гипербола, график которой лежит в $I$ и $III$ координатных четвертях.

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

(d)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#116781

Найдите область значений функции:

(a) $f(x)= 2x − 1,$ где $1≤ x≤ 4;$

(b) $g(x)= −3x+ 8,$ где $− 2 ≤x ≤5.$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

Область значения функции — это множество всех значений функции (переменной $y),$ полученных при переборе всех значений переменной $x$ из области определения. В графическом изображении область значений — проекция графика функции на ось ординат.

(a) Докажем, что $f(x)$ — возрастающая функция. Пусть $x1$ и $x2$ — произвольные значения аргумента, причём $x2 > x1.$ Обозначим через $y1$ и $y2$ соответствующие им значения функции:

y1 = 2x1 − 1

y2 = 2x2 − 1

Рассмотрим разность $y2$ и $y1:$

y2− y1 = (2x1− 1)− (2x2− 1)= 2x1/−/1− 2x2/+/1= 2x1− 2x2 = 2(x1− x2)

Множитель $x2− x1$ положителен, так как $x2 >x1,$ поэтому произведение $2(x2 − x1)$ тоже положительно. Тогда $y2 > y1$ и $f(x)$ является возрастающей функцией, что и требовалось доказать.

$f(x)$ возрастающая и определена на всех числах отрезка. Тогда наименьшему значению $x$ будет соответствовать наименьшее значение $f(x),$ а наибольшему — наибольшее.

f(1)= 2⋅1− 2= 2− 2 =0

f(4)= 2⋅4− 1= 8− 1 =7

Тогда область значений функции:

0≤ f(x)≤7, или жеE(y)= [0;7]

(b) Докажем, что $f(x)$ — убывающая функция. Пусть $x1$ и $x2$ — произвольные значения аргумента, причём $x2 > x1.$ Обозначим через $y1$ и $y2$ соответствующие им значения функции:

y1 = −3x1+ 8

y = −3x + 8 2 2

Рассмотрим разность $y2$ и $y1:$

y2− y1 = (− 3x2 +8)− (−3x1+ 8)= −3x2/+/8 +3x1/−/8= 3x1− 3x2 = 3(x1 − x2)

Множитель $x1− x2$ отрицателен, так как $x2 > x1,$ поэтому произведение $3(x1− x2)$ тоже отрицательно. Тогда $y1 > y2$ и $f(x)$ является убывающей функцией, что и требовалось доказать.

$f(x)$ убывающая и определена на всех числах отрезка. Тогда наибольшему значению $x$ будет соответствовать наименьшее значение $f(x),$ а наименьшему — наибольшее.

f(5)= −3⋅5+ 8= −15+8 =− 7

f(−2)=− 3⋅(− 2)+ 8= 3⋅2+ 8= 6+8 =14

Тогда область значений функции:

−7 ≤f(x)≤ 14, или жеE(y)= [−7;14]

Ответ:

(a) $0 ≤f(x)≤ 7,$ или же $E (y)= [0;7];$ (b) $− 7≤ f(x)≤ 14,$ или же $E (y)= [− 7;14].$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#116782

Укажите область определения и область значений каждой из функций $y = x2,$ $y = x3,$ $y =√x.$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

Для $2 y = x :$

Мы можем подставить вместо $x$ любое значение, поэтому область определения функции — множество вещественных чисел:

x∈ℝ, или жеD (y)= (−∞;+ ∞), или же D(y)=ℝ

Мы можем получить любое неотрицательное значение $y$ из $√- x =± y,$ поэтому область значений функции — множество вещественных неотрицательных чисел:

y ≥ 0, или ж еE(y) =[0;+ ∞), или же E(y)= {y ∈ ℝ|y ≥0}

Для $3 y = x :$

x∈ℝ, или жеD (y)= (−∞;+ ∞), или же D(y)=ℝ

Мы можем получить любое значение $y$ из $x= 3√y,$ поэтому область значений функции — множество вещественных чисел:

y ∈ ℝ, или жеE (y)= (−∞;+ ∞), или же E(y)= ℝ

Для $√- y = x:$

Мы можем подставить вместо $x$ любое неотрицательное число, поэтому область определения функции — множество вещественных неотрицательных чисел:

x≥ 0, или же D(y) =[0;+∞ ), или же D(y) ={x∈ ℝ |x ≥0}

Мы можем получить любое неотрицательное значение $y$ из $x =y2,$ поэтому область значений функции — множество вещественных нетрицательных чисел:

y ≥ 0, или ж еE(y) =[0;+ ∞), или же E(y)= {y ∈ ℝ|y ≥0}

Ответ:

$x ∈ℝ$ и $y ≥0,$ $x ∈ℝ$ и $y ∈ℝ$ и $x ≥0$ и $y ≥ 0$ соответственно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#116783

Найдите область определения и область значений функции $y =-x2-. x2+1$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

Знаменатель дроби не может быть равен $0,$ но знаменатель этой дроби никогда не будет равен $0,$ потому что $2 x ≥ 0,$ а значит, $2 x + 1≥ 1.$ Тогда мы можем подставить вместо $x$ любое значение, поэтому область определения функции — множество вещественных чисел:

x∈ℝ, или жеD (y)= (−∞;+ ∞), или же D(y)=ℝ

Преобразуем функцию:

1 --x2- = x2-+1-− 1 = /x2//+/1-−-1--= 1− --1-- x2+ 1 x2+ 1 /x2/+11 x2+ 1 x2+ 1

Оценим получившуюся функцию:

0≤ x2 <+ ∞

2 1≤ x + 1< +∞

0< --1--≤ 1 x2+ 1

Таким образом, область значений функции:

y ∈(0;1], или же E(y)= (0;1]

Ответ:

$x ∈ℝ$ и $y ∈(0;1].$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#116784

Периметр равнобедренного треугольника с основанием $20$ см зависит от длины $x$ (см) боковой стороны. Задайте формулой функцию, выражающую эту зависимость, зная, что периметр треугольника не превосходит $100$ см. Укажите область определения и область значений этой функции.

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

Периметр равнобедренного треугольника — это сумма длин его сторон. Тогда формула:

P(x)= x+ x+ 20= 2x +20= 2(x+10),P (x)≤ 100

Во-первых, для этого треугольника должно выполняться неравенство треугольника (каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон):

20 <x +x

2x> 20

x> 10

Во-вторых, по условию, $P(x)≤100,$ значит, должно выполняться следующее неравенство:

2(x +10)≤ 100| ÷2

x+ 10≤ 50 | − 10

x≤ 40

Тогда область определения функции:

10 <x ≤40, или ж еD(y)=(10;40]

Докажем, что $P (x)$ — возрастающая функция. Пусть $x1$ и $x2$ — произвольные значения аргумента, причём $x2 >x1.$ Обозначим через $y1$ и $y2$ соответствующие им значения функции:

y1 = 2(x1+ 10)

y2 = 2(x2+ 10)

Рассмотрим разность $y2$ и $y1:$

y2− y1 =2(x2+ 10)− 2(x1+ 10) =2(x2/+/10 − x1/− /10)=2(x2− x1)

Множитель $x2− x1$ положителен, так как $x2 >x1,$ поэтому произведение $2(x2 − x1)$ тоже положительно. Тогда $y2 > y1$ и $P (x)$ является возрастающей функцией, что и требовалось доказать.

$P(x)$ возрастающая и определена на всех числах отрезка. Тогда наименьшему значению $x$ будет соответствовать наименьшее значение $P (x),$ а наибольшему — наибольшее.

P(10) =2(10 +10)= 2⋅20 =40

P(40)= 2(40+ 10) =2⋅50= 100

Тогда область значений функции:

40 <P(x)≤ 100, или жеE(y)= (40;100]

Ответ:

$P (x)= 2(x +10),$ $10 <x ≤40,$ $40< P(x)≤100.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#116786

На рисунке изображён график одной из функций, заданных формулами $y = x− 1,$ $y = 1+x,$ $y =2x − 1,$ $y = 1− 2x.$ Выясните, какой именно.

$PIC$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

$y =x − 1$ — прямая, проходящая через начало координат. Этот вариант ответа не подходит.

$y = 1+x$ — прямая, проходящая через точки $(0;1)$ и $(−1;0).$ Этот вариант ответа тоже не подходит.

$y = 2x − 1$ — прямая, проходящая через точки $(0;−1)$ и $1 (2;0).$ Этот вариант ответа подходит.

На всякий случай проверим последний вариант ответа. $y =1− 2x$ — прямая, проходящая через точки $(0;1)$ и $1 (2;0).$ Этот вариант ответа нам не подходит.

Ответ:

$y =2x− 1.$

Предыдущая подтема