Тема Алгебра

20 Функции → 20.01 Понятие функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Функции

Понятие функции

Свойства функции

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#110832

Изобразите на координатной прямой числовой промежуток, заданный неравенством:

(a) $x ≥− 2;$

(b) $− 3 <x ≤4;$

(d) $− 5 <x <− 2.$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Под неравенство подходят все точки левее $− 2,$ не включая граничную точку;

(b) Под неравенство подходят все точки, которые одновременно правее $− 3$ и левее $4,$ не включая левую границу и включая правую;

(d) Под неравенство подходят все точки, которые одновременно правее $− 5$ и левее $− 2,$ не включая границы;

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

(d)

$PIC$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#110833

Изобразите на координатной прямой числовой промежуток, заданный неравенством:

(a) $x <− 3;$

(b) $− 3 ≤x <6;$

(d) $− 4 <x <2.$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Под неравенство подходят все точки левее $− 3,$ не включая граничную точку;

(b) Под неравенство подходят все точки, которые одновременно правее $− 3$ и левее $6,$ включая левую границу и не включая правую;

(d) Под неравенство подходят все точки, которые одновременно правее $− 4$ и левее $2,$ не включая границы;

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

(d)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#110834

Найдите расстояние между точками:

(a) $S(7,45)$ и $D(1,15);$

(b) $R (− 5,3)$ и $T(−8,93);$

(d) $1 A (− 53)$ и $2 B(33).$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Чтобы найти расстояние между точками на прямой, нужно найти модуль разности координат этих точек или же из большей координаты вычесть меньшую.

(a) $|SR|= 7,45− 1,15= 6,3;$

$PIC$

(b) $|RT|= −5,3 − (−8,93)= −5,3+ 8,93= 3,63;$

$PIC$

(d) $|AB|= 32− (−51)= 32+ 51= 83 =9. 3 3 3 3 3$

$PIC$

Ответ:

(a) $6,3;$ (b) $3,63;$ (c) $18,86;$ (d) $9.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#110835

На координатной прямой отмечены точки $A(−5),$ $B(−3),$ $C (1)$ и $D(6).$ Найдите расстояние между серединами отрезков $AD$ и $BC.$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Чтобы найти середину отрезка на координатной прямой, нужно сложить координаты концов отрезка и разделить полученную сумму на $2.$

Обозначим середину $AD$ точкой $E.$ Её координата:

−5 +6 1 --2-- = 2 = 0,5

Обозначим середину $BC$ точкой $F.$ Её координата:

1 −-3+1 = −2-=− -/2-= −1 2 2 /21

Тогда расстояние между $E$ и $F:$

|EF|= 0,5− (−1)=0,5+ 1= 1,5

$PIC$

Ответ:

$1,5.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#110836

На координатной прямой отмечены точки $A(−6),$ $B(3),$ $C (6)$ и $D(4).$ Найдите расстояние между серединами отрезков $AD$ и $BC.$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Обозначим середину $AD$ точкой $E.$ Её координата:

1 −-6+4 = −2-=− -/2-= −1 2 2 /21

Обозначим середину $BC$ точкой $F.$ Её координата:

3+-6= 9= 41 =4,5 2 2 2

Тогда расстояние между $E$ и $F:$

4,5 − (−1)= 4,5+ 1= 5,5

$PIC$

Ответ:

$5,5.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#110837

Между какими из приведённых ниже чисел находится число: $11; 17$ $15; 19$ $14; 23$ $31? 59$

(a) $0,4$ и $0,5;$

(b) $0,5$ и $0,6;$

(d) $0,7$ и $0,8.$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Вычислим значение дроби $11- 17$ до первых трёх знаков после запятой, поделив $11$ на $17$ в столбик:

11 17-= 0,647...

Таким образом, $11 17$ находится между числами $0,6$ и $0,7.$

Вычислим значение дроби $15 19$ до первых трёх знаков после запятой, поделив $15$ на $19$ в столбик:

1519-= 0,789...

Таким образом, $1159$ находится между числами $0,7$ и $0,8.$

Вычислим значение дроби $1243$ до первых трёх знаков после запятой, поделив $14$ на $23$ в столбик:

14-= 0,608... 23

Таким образом, $14 23$ находится между числами $0,6$ и $0,7.$

Вычислим значение дроби $31 59$ до первых трёх знаков после запятой, поделив $31$ на $59$ в столбик:

31- 59 = 0,525...

Таким образом, $31 59$ находится между числами $0,5$ и $0,6.$

Ответ:

Между числами $(c),$ $(d),$ $(c)$ и $(b)$ соответственно.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#110838

Из чисел $35, 23$ $54, 23$ $83, 23$ $101 23$ выберите число, которое лежит между числами $4$ и $5.$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Переведём все неправильные дроби в смешанные числа:

35 12 23-= 123 — не подходит

54 8 23-= 223 — не подходит

83-= 314— не подходит 23 23

101= 4-9— подходит 23 23

Ответ:

$101. 23$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#110839

Площадь прямоугольника со сторонами $9$ см и $x$ см равна $S$ см $2.$ Выразите формулой зависимость $S(x).$ Для значения $x,$ равного $4;$ $6,5;$ $15,$ найдите соответствующее значение функции $S.$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В нашем случае — произведению $9$ и $x.$ Тогда формула:

S(x)=9x

Найдём значения функции $S(t)$ для значений $x,$ равных $4;$ $6,5$ и $15:$

S(4)= 9⋅4= 36

S(6,5) =9⋅6,5 =58,5

S(15)=9 ⋅15= 135

Ответ:

$S(x)= 9x;$ $S (4)= 36$ см $2,$ $S(6,5)= 58,5$ см $2,$ $S(15)=135$ см $2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#110840

Поезд, двигаясь со скоростью $70$ км/ч, проходит за $t$ ч расстояние $s$ км. Задайте формулой зависимость $s(t).$ Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному $2,4;$ $3,8.$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Расстояние равно произведению скорости и времени. В нашем случае — произведению $70$ км/ч и $t.$ Тогда формула:

s(t)= 70t

Найдём значение функции $s(t)$ для значений аргумента, равных $2,4$ и $3,8:$

s(2,4)= 70⋅2,4= 168

s(3,8)= 70⋅3,8= 266

Ответ:

$s(t)= 70t;$ $s(2,4)= 168$ км, $s(3,8)= 266$ км.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#110841

Объём куба зависит от длины его ребра. Пусть $a$ см — длина ребра куба, а $V$ см $3$ — его объём. Задайте формулой зависимость $V(a).$ Возьмите два каких-либо значения аргумента и вычислите соответствующие им значения функции.

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Объём куба равен третьей степени, или же кубу длины его стороны. Тогда формула:

3 V(a)=a

Возьмём два каких-нибудь значения аргумента $a,$ например, $1$ и $2,$ и вычислим соответствующие им значения функции:

V(1)=13 =1⋅1⋅1= 1

V(2)=23 =2⋅2⋅2= 8

Ответ:

$V (1)= 1$ см $3;$ $V(2)=8$ см $3.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#110842

Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие остаток $r$ от деления этого числа на $4.$

(a) Найдите $r,$ если $n$ равно $13,$ $34,$ $43,$ $100.$

(b) В рассматриваемой функциональной зависимости укажите аргумент.

(d) Какие числа служат значениями функции?

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Поочерёдно поделим числа $13,$ $34,$ $43,$ и $100$ на $4$ с остатком:

13÷ 4= 4(ост.1)

34÷ 4= 8(ост.2)

43 ÷4= 10(ост.3)

100÷ 4= 25 (ост.0)

Таким образом, $r(13)= 1,$ $r(34)=2,$ $r(43)= 3$ и $r(100)= 0.$

(b) Аргумент — натуральное число $n,$ от которого мы ищем остаток.

(d) Значения функции — числа $0,$ $1,$ $2$ и $3,$ т. к. остаток от деления представляет собой целое неотрицательное число, которое строго меньше делителя.

Ответ:

(a) $r(13) =1,$ $r(34)= 2,$ $r(43)= 3$ и $r(100)= 0;$ (b) $n;$ (c) $n∈ ℕ;$ (d) $0,$ $1,$ $2$ и $3.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#110843

В таблице, составленной в результате измерений, показана зависимость атмосферного давления $p$ от высоты $h:$

|----------|-----|----|-----|-----|----|-----|-----| |---h,км----|-0---|-0,5-|--1--|-2---|-3--|--4--|-5---| -p,мм рт. ст.-760,0-716,0-614,0-596,7--525,7-462,2--404,8-|

(a) Каково атмосферное давление на высоте $1$ км; $4$ км?

(b) На какой высоте атмосферное давление равно $596,7$ мм рт. ст.; $404,8$ мм рт. ст.?

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) На высоте $1$ км атмосферное давление равно $614,0$ мм рт. ст., а на высоте $4$ км — $462,2$ мм рт. ст.

(b) Атмосферное давление равно $596,7$ мм рт. ст. на высоте $2$ км, а $404,8$ мм рт. ст. — на высоте $5$ км.

Ответ:

(a) $614,0$ мм рт. ст. и $462,2$ мм рт. ст. соответственно; (b) $2$ км и $5$ км соответственно; (c) чем больше высота, тем меньше давление.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#110844

Функция задана формулой $y = 2x+ 7.$ Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному $1;$ $− 20;$ $43.$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

y(1)= 2⋅1+ 7= 2+7 =9

y(−20)= 2⋅(−20)+7 =−40+ 7= −33

y(43)= 2⋅43+ 7= 86 +7= 93

Ответ:

$y(1)=9,$ $y(−20)=− 33,$ $y(43)= 93.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#110845

Функция задана формулой $y = 0,1x+ 5.$ Для значения аргумента, равного $10;$ $50;$ $120,$ найдите соответствующее значение функции.

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

y(10) =0,1 ⋅10+ 5= 1+ 5= 6

y(50)= 0,1⋅50+ 5= 5+5 =10

y(120)=0,1⋅120+ 5= 12+ 5= 17

Ответ:

$y(10)= 6,$ $y(50)= 10,$ $y(120)=17.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#110846

Функция задана формулой $y = 12. x$ В таблице указаны некоторые значения аргумента. Перечертите в тетрадь и заполните таблицу, вычислив соответствующие значения функции.

|--|---|---|---|--|--|-|---| |x-|−6-|−4-|−3-|2-|5-|6|12-| -y--------------------------

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

-12 y(− 6) =− 6 = −2

12 y(− 4) =−-4 = −3

y(− 3) =-12= −4 − 3

y(2)= 12= 6 2

y(5)= 12= 22 5 5

y(6)= 12= 2 6

12 y(12)= 12 = 1

Ответ:

|x-|−-6|−-4|−-3|2-|-5-|6-|12-| |--|---|---|---|--|-2-|--|---| -y--−-2-−-3-−-4-6--25--2--1--|

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#110847

Функция задана формулой $y = x2− 9.$ Перечертите в тетрадь и заполните таблицу.

|--|---|---|---|--|--|--|--| |x-|−-5|−-4|−-3|0-|2-|3-|6-| -y-------------------------|

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

y(−5)= (−5)2 − 9= 25− 9= 16

y(−4)=(−4)2− 9=16− 9= 7

y(−3)= (− 3)2− 9= 9− 9= 0

y(0)= 02− 9 =0 − 9= −9

2 y(2)= 2 − 9 =4 − 9= −5

y(3)=32− 9= 9− 9= 0

2 y(6)= 6 − 9= 36− 9= 27

Ответ:

|x-|−5-|−4-|−3-|0--|2--|3-|6-| |--|---|---|---|---|---|--|--| -y--16--7---0---−9--−5--0--27--

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#110848

Составьте таблицу значений функции, заданной формулой $y = x(x− 3,5),$ где $0≤ x≤ 4,$ с шагом $0,5.$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

y(0)= 0(0− 3,5)= 0

y(0,5)= 0,5(0,5− 3,5)= 0,5⋅(−3)=− 0,5⋅3= −1,5

y(1)= 1(1− 3,5)= 1⋅(− 2,5)= −1⋅2,5= −2,5

y(1,5)= 1,5(1,5− 3,5)=1,5⋅(−2)= −1,5⋅2= −3

y(2)=2(2− 3,5)=2 ⋅(−1,5)= −2 ⋅1,5= −3

y(2,5)= 2,5(2,5− 3,5)= 2,5⋅(−1)=− 2,5⋅1= −2,5

y(3)= 3(3− 3,5)= 3⋅(− 0,5)= −3⋅0,5= −1,5

y(3,5)=3,5(3,5− 3,5)= 3,5⋅0= 0

y(4)= 4(4 − 3,5)= 4⋅0,5 =2

Ответ:

|x|0-|-0,5--|-1--|1,5-|-2-|-2,5-|--3--|3,5-|4| |-|--|-----|----|---|---|----|-----|---|-| -y-0--−1,5--−2,5--−3--−3--−2,5--−-1,5--0---2-

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#110849

Найдите область определения функции, заданной формулой:

(a) $y =x2+ 8;$

(b) $y = x−17;$

(d) $4x−1- y = 5 .$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной $x).$

(a) Подходят любые значения $x.$

(b) Знаменатель дроби не может быть равен $0,$ поэтому подходят любые значения $x$ за исключением тех, при которых знаменатель равен $0:$

x− 7⁄= 0

x⁄= 7

(c) Знаменатель дроби не может быть равен $0,$ поэтому подходят любые значения $x$ за исключением тех, при которых знаменатель равен $0:$

3+ x⁄= 0

x⁄= −3

(d) Знаменатель дроби не может быть равен $0,$ но знаменатель этой дроби никогда не равен $0,$ потому что он всегда равен $5$ и не зависит от переменной, поэтому подходят любые значения $x.$