Тема Алгебра

20 Функции → 20.01 Понятие функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Функции

Понятие функции

Свойства функции

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#110852

Функция задана формулой $y = 0,3x− 6.$ Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно $− 6;$ $− 3;$ $0.$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Поочерёдно подставим вместо $y$ числа $− 6,$ $− 3$ и $0$ и решим получившиеся уравнения.

Для $y = −6:$

/−/6= 0,3x/−/6

0,3x= 0

x= 0

Для $y = −3:$

− 3= 0,3x− 6

0,3x= 3

x= 10

Для $y = 0:$

0= 0,3x− 6

0,3x= 6

x= 20

Ответ:

$x =0,$ $x =10$ и $x= 20$ соответственно.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#110854

Задайте формулой зависимость массы куска пробки от его объёма, если известно, что плотность пробки равна $0,18$ г/см $3.$ Найдите по формуле:

(a) массу куска пробки, объём которого равен $240$ см $3;$

(b) объём куска пробки, масса которого равна $64,8$ г.

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Масса равна произведению плотности вещества на объём этого тела. Тогда формула:

m (V )=0,18V

(a) Подставим $240$ вместо $V :$

m (240)=0,18 ⋅240= 43,2

Масса куска пробки равна $43,2$ г.

(b) Подставим $64,8$ вместо $m(V):$

64,8= 0,18V

V = 64,8÷ 0,18= 360

Объём куска пробки равен $360$ см $3.$

Ответ:

$m (V )=0,18V ;$ (a) $43,2$ г; (b) $360$ см $3.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#110855

Двигаясь со скоростью $v$ км/ч в течение $6$ ч, автомобиль прошёл путь $s$ км. Задайте формулой зависимость $s(v).$ Пользуясь этой формулой:

(a) найдите $s,$ если $v =65;$

(b) найдите $v,$ если $s=363.$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Если скорость объекта не изменялась, то пройденный путь равен произведению его скорости на время. Тогда формула:

s(v)= 6v

(a) Подставим в формулу $v =65:$

s(65) =6⋅65= 390

$s=390$ км.

(b) Подставим в формулу $s(v)= 363:$

363= 6v

121 v = //363--= 121-= 601 = 60,5 /62 2 2

$v = 60,5$ км/ч.

Ответ:

$s(v) =6v;$ (a) $s= 390$ км; (b) $v = 60,5$ км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#110856

С турбазы на станцию, удалённую на расстояние $60$ км, отправился велосипедист со скоростью $12$ км/ч. Задайте формулой зависимость переменной $s$ от переменной $t,$ где $s$ — расстояние велосипедиста до станции (в километрах), а $t$ — время его движения (в часах). Найдите по формуле:

(a) $s,$ если $t= 3,5;$

(b) $t,$ если $s= 30.$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

s(t)= 60− 12t

(a) Подставим в формулу $t= 3,5:$

s(3,5)= 60− 12⋅3,5 =60− 42= 18

$s=18$ км;

(b) Подставим в формулу $s(t)=30:$

30 =60− 12t

12t= 30

-//305 5 1 t= //12 = 2 =22 = 2,5 2

$t=2,5$ ч.

Ответ:

$s(t)= 60− 12t;$ (a) $s= 18$ км; (b) $t= 2,5$ ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#110857

У мальчика было $80$ р. Он купил $x$ карандашей по $10$ р. за штуку. Обозначив число рублей, оставшихся у мальчика, буквой $y,$ задайте формулой зависимость $y$ от $x.$ Какова область определения этой функции в соответствии с условием задачи?

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Формула:

y(x)= 80− 10x

Область определения этой функции — $x ∈ℕ ∪0,$ $x≤ 8,$ потому что мальчик мог или не купить карандашей вовсе, или купить натуральное число карандашей. При этом более чем на $8$ карандашей ему бы просто не хватило денег.

Ответ:

$y(x)=80− 10x;$ $x∈ ℕ∪0,$ $x ≤8.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#110858

Функция задана формулой $y = x(x− 3),$ где $− 2≤ x≤ 2.$ Перечертите в тетрадь таблицу, заполните и постройте график функции.

|--|---|-----|---|----|--|---|--|---|-| |x-|−-2|−-1,5-|−1-|−0,5-|0-|0,5-|1-|1,5-|2| -y-------------------------------------

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

y(− 2)=− 2(−2− 3)= −2⋅(−5)=10

y(−1,5)= −1,5(−1,5− 3)= −1,5⋅(−4,5)= 6,75

y(−1)= −1(− 1− 3)= −1⋅(−4)= 4

y(−0,5)= −0,5(−0,5− 3)= −0,5⋅(−3,5)= 1,75

y(0)= 0(0− 3)= 0

y(0,5)=0,5(0,5 − 3)= 0,5⋅(−2,5)= −1,25

y(1)=1(1− 3)= 1⋅(−2)= −2

y(1,5)=1,5(1,5 − 3)= 1,5⋅(−1,5)= −2,25

y(2)=2(2− 3)= 2⋅(−1)= −2

Заполним таблицу:

|--|---|----|---|-----|-|------|---|-----|---| |x-|−2-|−1,5|−-1|−-0,5-|0|--0,5--|1--|-1,5--|2--| -y--10--6,75---4---1,75--0-−-1,25--−2--−2,25--−2-|

Изобразим точки на графике:

$PIC$

Соединим эти точки:

$PIC$

Если бы мы изобразили больше точек, график получился бы более плавным:

$PIC$

Ответ:

|x-|−2-|−1,5|−-1|−-0,5-|0|--0,5--|1--|-1,5--|2--| |--|---|----|---|-----|-|------|---|-----|---| -y--10--6,75---4---1,75--0-−-1,25--−2--−2,25--−2-|

$PIC$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#110859

Принадлежат ли точки $A(4;2),$ $B(1;− 4)$ и $C(1;4)$ графику функции, заданной формулой $y =2x− 6?$ Укажите ещё две точки, одна из которых принадлежит этому графику, а другая нет.

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Чтобы выяснить, принадлежат ли точки $A (4;2),$ $B (1;−4)$ и $C (1;4)$ графику, поочерёдно будем подставлять абсциссу каждой из точек вместо $x,$ а ординату — вместо $y:$

Точка $A(4;2)$ принадлежит графику:

2= 2⋅4− 6

2= 8− 6

2= 2

Точка $B(1;−4)$ принадлежит графику:

−4= 2⋅1− 6

−4= 2− 6

− 4= −4

Точка $C(1;4)$ принадлежит графику:

4⁄= 2⋅1− 6

4⁄= 2− 6

4⁄= −4

Чтобы указать ещё одну точку, принадлежащую этому графику, возьмём любое значение $x$ и вычислим значение $y.$ Допустим, $x =0:$

y = 2⋅0− 6

y = 0− 6

y = −6

Точка $D(0;−6)$ принадлежит графику.

Чтобы указать ещё одну точку, не принадлежащую этому графику, возьмём любое значение $x$ и вычислим значение $y,$ а затем возьмём любой $y,$ не равный полученному. Допустим, $x =0,$ как и в предыдущий раз. Тогда нам подойдут все $y ⁄= −6,$ например, $y = 5.$ Точка $E (0;5)$ не принадлежит графику.

Второе решение.

Также мы могли бы изобразить график функции $y = 2x− 6,$ отметить на координатной плоскости точки $A(4;2),$ $B (1;−4)$ и $C(1;4)$ и проверить, лежат ли они на графике нашей функции:

$PIC$

Теперь очевидно, что точки $A(4;2)$ и $B(1;− 4)$ принадлежат графику, а точка $C (1;4)$ — нет.

Чтобы указать точку, принадлежащую этому графику, можем взять любую точку на прямой и записать её координаты. Например, нам подходят точки $(0;−6)$ и $(3;0).$

Чтобы указать точку, не принадлежащую этому графику, можем взять любую точку, не лежащую на прямой, и записать её координаты. Например, нам подходят точки $(0;− 10),$ $(0;−5),$ $(0;0),$ $(0;5),$ $(−5;0),$ и $(5;0).$

Ответ:

$A(4;2),$ $B(1;−4)$ и $D (0;−6)$ принадлежат графику, а $C(1;4)$ и $E(0;5)$ не принадлежит.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#110860

Время, за которое маятник совершает полное колебание, называется периодом колебания маятника. Изучая зависимость периода колебания маятника $T$ от длины нити $l,$ составили таблицу:

|----|---|---|---|---|---| |l,м--|0,3-|0,5-|0,6-|0,8-|1--| -T,с--1,0--1,4--1,6--1,8--2,0-|

Постройте график зависимости периода колебания маятника $T$ от длины нити $l.$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Отметим на графике данные нам точки:

$PIC$

Соединим их и получим искомый график зависимости:

$PIC$

Или, если бы мы хотели дорисовать график по имеющимся данным, чтобы каждому аргументу $l$ из области допустимых значений удовлетворяло какое-то значение $T$ (считаем, что если нити нить имеет длину $0,$ то есть не существует, то маятник не совершает колебание и период колебания также не существует, то есть равен $0):$

$PIC$

Это интересно! Период колебаний математического маятника зависит от длины нити. Он пропорционален квадратному корню из длины нити. $∘-- T(l)= 2π gl,$ где $g ≈9,8.$ Если бы данных в таблице было бы больше и они были более точными, то график выглядел бы приблизительно так:

$PIC$

Или же, если рассматривать только выбранный промежуток:

$PIC$

Можно заметить, что разница между графиками достаточно значительна:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#110861

Измеряя через каждую минуту температуру воды в баке в процессе нагревания, составили таблицу:

|-----|---|--|---|--|---|---|--|---|--|----|---| |x,ми∘н-|-0-|1-|-2-|3-|-4-|-5-|6-|-7-|8-|-9--|10-| -y,C---14--28-41--54--66--76--85-93--98--100--100-

Постройте график зависимости $y(x)$ (масштаб: $1$ см на оси $x$ соответствует $1$ мин, $1$ см на оси $y$ соответствует $10$ $∘C).$ Используя график, ответьте на вопросы:

(a) Какую температуру имела вода через $4$ мин; через $5,5$ мин; через $9$ мин; через $9,7$ мин после начала нагревания?

(b) Через сколько минут после начала нагревания температура воды стала равной $41∘C;$ $60∘C;$ $99∘C?$

(d) Через сколько минут после начала нагревания вода закипела?

(e) Сколько секунд кипела вода?

(f) В какое время температура воды стала равна $98∘C?$

Источники: Алгебра. 7 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$PIC$

(a) Через $4$ мин вода имела температуру $66∘C$ — об этом сказано в таблице. Через $5,5$ мин вода имела температуру, среднюю между температурой в $5$ минут ( $76∘C )$ и в $6$ минут $(85 ∘C),$ то есть $76+285∘C = 1621∘C =80,5∘C$ . Через $9$ мин вода имела температуру $100∘C$ — об этом сказано в таблице. Через $9,7$ мин вода имела температуру $100∘C,$ т. к. с $9$ по $10$ минуту вода кипела, то есть её температура была равна $100∘C.$

В этом всём не сложно убедиться, посмотрев на график:

$PIC$

(b) Температура воды стала равной $41∘C$ через $2$ минуты после начала нагревания — об этом сказано в таблице. Поскольку $60∘C$ — это среднее арифметическое между температурой в $3$ минуты ( $54∘C)$ и температурой в $4$ минуты ( $66∘C),$ то температура воды стала равной $60∘C$ через $3,5$ минуты после начала нагревания. Поскольку $99∘C$ — это среднее арифметическое между температурой в $8$ минут ( $∘ 98 C )$ и температурой в $9$ минут ( $∘ 100 C),$ то температура воды стала равной $∘ 99 C$ через $8,5$ минуты после начала нагревания.

В этом всём не сложно убедиться, посмотрев на график:

$PIC$

(c) За первую минуту вода нагрелась на $28∘C − 14∘C = 14 ∘C.$ За вторую минуту вода нагрелась на $41∘C− 28∘C =13∘C.$ За третью минуту вода нагрелась на $54∘C− 41∘C =13∘C.$ За четвёртую минуту вода нагрелась на $66 ∘C− 54∘C = 12∘C.$ За пятую минуту вода нагрелась на $76∘C − 66∘C = 10 ∘C.$ За шестую минуту вода нагрелась на $85∘C− 76∘C =9 ∘C.$ За седьмую минуту вода нагрелась на $93 ∘C − 85 ∘C = 8∘C.$ За восьмую минуту вода нагрелась на $98∘C − 93 ∘C = 5∘C.$ За девятую минуту вода нагрелась на $100∘C − 98∘C = 2∘C.$ За десятую минуту вода не нагрелась: $100 ∘C− 100 ∘C = 0.$ Таким образом, нагревание происходило интенсивнее всего в первую минуту, а дальше становилось всё слабее и слабее.

В этом всём не сложно убедиться, посмотрев на график — в первую минуту он очень резко идёт вверх, а дальше становится всё более и более пологим.

(d) Температура кипения воды составляет $100∘C.$ Вода вскипела через $9$ минут после начала нагревания — об этом сказано в таблице, к тому же в этом всём не сложно убедиться, посмотрев на график:

$PIC$

(e) Температура кипения воды составляет $100∘C.$ Вода кипела всю десятую минуту — об этом сказано в таблице, к тому же в этом всём не сложно убедиться, посмотрев на график:

$PIC$

То есть она кипела ровно минуту, или же $60$ секунд.

(f) Температура воды стала равна $98∘C$ в $8$ минут — об этом сказано в таблице, к тому же в этом всём не сложно убедиться, посмотрев на график:

$PIC$

Ответ:

(a) $∘ 66 C,$ $∘ 80,5 C,$ $∘ 100 C$ и $∘ 100 C$ соответственно; (b) через $2,$ $3,5$ и $8,5$ минут соответственно; (c) в первую минуту; (d) через $9$ минут; (e) $60$ секунд; (f) через $8$ минут после начала нагревания.

Следующая подтема