Тема Алгебра

20 Функции → 20.02 Свойства функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Функции

Понятие функции

Свойства функции

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#116808

Является ли возрастающей или убывающей функция:

(a) $√- y =5x+ x;$

(b) $y =− x+ √−x;$

Источники: Алгебра. 9 класс. Учебник - Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. и др. (см. 11klasov.net)

Показать ответ и решение

Эту задачу можно решить как алгебраически, так и графически.

Первое решение.

(a) Докажем, что $y$ — возрастающая функция. Пусть $x1$ и $x2$ — произвольные значения аргумента, причём $x2 > x1.$ Обозначим через $y1$ и $y2$ соответствующие им значения функции:

√-- y1 = 5x1+ x1

y2 = 5x2+ √x2

Рассмотрим разность $y2$ и $y1:$

y2− y1 =(5x2+√x2)− (5x1 +√x1)= 5x2+ √x2− 5x1− √x1 =5(x2− x1)+ (√x2-− √x1)

Разность $x2− x1$ положительна, так как $x2 >x1.$ Аналогично, $√-- √-- x2− x1$ положительна. Поэтому сумма $√-- √-- 5(x2 − x1)+( x2 − x1)$ также положительна. Тогда $y2 > y1$ и $y$ является возрастающей функцией, что и требовалось доказать.

(b) Докажем, что $y$ — убывающая функция. Пусть $x1$ и $x2$ — произвольные значения аргумента, причём $x2 > x1.$ Обозначим через $y1$ и $y2$ соответствующие им значения функции:

√--- y1 = −x1+ −x1

y2 = −x2+ √−x2

Рассмотрим разность $y2$ и $y1:$

√--- √--- √--- √--- y2− y1 = −x2 + − x2+x1− − x1 = (x1− x2)+( −x2 − − x1)

Разность $x1− x2$ отрицательна, так как $x2 > x1.$

А вот с разностью $√--- √--- −x2− − x1$ пока что не до конца понятно. Будем разбираться постепенно. Заметим, что $− x2 <−x1,$ так как $x2 > x1.$ Тогда $√--- √ --- −x2 < −x1$ и разность $√--- √--- −x2− − x1$ отрицательна.

$x1 − x2$ и $√--- √ --- − x2 − −x1$ отрицательны, поэтому их сумма также отрицательна. Тогда $y2 < y1$ и $y$ является убывающей функцией, что и требовалось доказать.

(c) Докажем, что $y$ — возрастающая функция. Пусть $x1$ и $x2$ — произвольные значения аргумента, причём $x2 > x1.$ Обозначим через $y1$ и $y2$ соответствующие им значения функции:

√-- y1 = x21+ x1

2 √-- y2 = x2+ x2

Рассмотрим разность $y2$ и $y1:$

y − y = x2+ √x-− x2− √x-= (x2− x2)+(√x-− √x-)= (x − x )(x + x)+ (√x-− √x-) 2 1 2 2 1 1 2 1 2 ! 2 1 2 1 2 1

Разность $x2− x1$ положительна, так как $x2 >x1.$ Аналогично, $√x2− √x1$ положительна.

А вот с суммой $x2 +x1$ пока что не до конца понятно. Если $x2$ и $x1$ неотрицательные, то сумма будет неотрицательной, если неположительные — то неположительной, если будут иметь разный знак, то сумма вообще может быть любой. Но! На самом деле, оба этих числа будут неотрицательными, т. к. иначе их нельзя будет подставить в выражения $√x1-$ и $√x2-$ (число под знаком квадратного корня всегда неотрицательно). Тогда сумма $x2+x1$ неотрицательна.

$x2 − x1$ положительна, а $x2+ x1$ — неотрицательна, поэтому их произведение тоже неотрицательно. Сумма неотрицательного числа и положительного положительна. Тогда выражение $(x2− x1)(x2 +x1)+ (√x2-− √x1)$ положительно. То есть $y2 > y1$ и $y$ является возрастающей функцией, что и требовалось доказать.