02 Высказывания → 02.04 Правда или ложь

Первый встречный мог быть либо рыцарем, либо лжецом. Если он рыцарь, то его ответ правдив, и он не живёт в этом городе, и тогда это город лжецов. Если же он лжец, то его ответ — ложь, и он живет в этом городе, а значит, это опять же город лжецов. Итак, в обоих случаях получается, что Алиса оказалась в городе лжецов.

Посмотрим, кто мог дать разные ответы на вопросы «Делится ли ваше число на и «Делится ли ваше число на Это жители с числами, делящимися на и не делящимися на то есть Однако на вопрос о делимости на ответило на жителя больше. Значит, все трое с числами — лжецы. Итак, на вопрос «Делится ли ваше число на ответили «Да» лжецы с числами и все остальные ответили «Нет». Значит, есть ещё лжец с числом остальные – рыцари.

Рядом с каждым лжецом должен быть хоть один рыцарь, а рыцарей друг с другом рядом быть не может, т. е. если какой-то стоящий является рыцарем, то все вокруг него обязательно должны быть лжецами. Если же он лжец, то, чтобы сказанное им было неправдой, нужно, чтобы рядом с ним был хоть один рыцарь. Четырёх рыцарей можно легко расставить в квадрате так, чтобы остальное заполнилось лжецами (например, поставив рыцарей по углам).

Тогда лжецов будет Мы привели пример, что такое количество лжецов может быть.

Докажем, что это ответ, то есть что больше нельзя. Лжецов можно было бы сделать больше только за счёт уменьшения количества рыцарей. Разобьём квадрат на квадратика Докажем, что в любом из них должен обязательно быть рыцарь. Действительно, в противном случае весь квадратик заполнен лжецами, а лжец, находящийся в углу большого квадрата, не будет соседствовать ни с каким рыцарем, что невозможно. Поскольку квадратиков штуки, то и рыцарей меньше быть никак не может.

Все сидящие за столом разбиваются на пары друзей; значит, рыцарей и лжецов поровну. Рассмотрим любую пару друзей. Если они сидят рядом, то рыцарь на заданный вопрос ответит "Да а лжец — "Нет". Если же они не сидят рядом, то их ответы будут противоположными. В любом случае ровно один из пары друзей даст ответ "Да". Всего пар друзей Значит, ровно ответов будут "да".

Пусть путешественник получил все ответы. Заменим теперь всех лжецов на рыцарей, а рыцарей — на лжецов. Тогда ответы будут те же. Действительно, лжец про лжеца скажет то же самое, что рыцарь про рыцаря, то есть скажет, что сосед справа — рыцарь. Лжец про рыцаря скажет то же самое, что рыцарь про лжеца, то есть скажет, что сосед справа — лжец. Значит, полученные ответы не дают возможности различить ситуации, получающиеся друг из друга указанной заменой. А количество рыцарей и лжецов в таких двух ситуациях, вообще говоря, не одинаковое: если в исходной ситуации, например, рыцарей и лжецов, то в ситуации с заменой наоборот, лжецов и рыцарей. Но мы знаем, что путешественник по ответам однозначно узнал количество лжецов и рыцарей. Значит, эти две ситуации и не различались. Получается, что количество рыцарей и лжецов в городе одинаково. И, так как всего в городе живёт человек, выходит, что в городе рыцарей и лжецов

Ситуация, когда у рыцарей в друзьях есть сразу и лжецы, и рыцари невозможна. Иначе рыцарь бы ничего не смог сказать, не солгав, а по условию все что-то говорили. В паре друзей рыцарь-лжец рыцарь скажет: «Ни один из моих друзей не является рыцарем», и лжец тоже скажет «Ни один из моих друзей не является рыцарем». Если друзьями будут оба рыцаря, то оба скажут «Ни один из моих друзей не является лжецом». Если друзьями будут оба лжецы, то оба скажут «Ни один из моих друзей не является лжецом». Таким образом, фраза «Ни один из моих друзей не является рыцарем» употребляется лишь в парах рыцарь-лжец. Минимальное количество таких пар, если фразу произнесли человек, (в паре двое, а

Посмотрим теперь, может ли пар лжец-рыцарь оказаться ровно Пусть может. Тогда в них задействовано, соответственно, лжецов. Вычтем их из общего количества лжецов. Получается, что лжецов, не дружащих с рыцарями, человек. Но у каждого лжеца должен быть ровно друг! Поскольку всех лжецов, дружащих с рыцарями, мы уже исключили, оставшиеся лжецов должны разбиваться на пары друзей по двое (Именно отдельно по двое, иначе у какого-нибудь лжеца будет друга, что противоречит условию). Но число нечётное (его нельзя представить в виде суммы двоек) и на пары не разбивается. Значит, пар друзей лжец-рыцарь быть не может. Пусть таких пар Такое количество пар возможно отдельных пары лжец-рыцарь; один рыцарь, который дружит с тремя лжецами; остальные лжеца по парам и остальные рыцарей как угодно (например, тоже по парам)), а меньше невозможно, как доказали ранее. Для описанного варианта (кто с кем дружит) легко сосчитать, что каждую из двух фраз сказали ровно по человек, то есть этот вариант полностью удовлетворяет условию.

Заметим, что в паре рыцарь-лжец каждый должен сказать, что другой лжец: рыцарь скажет правду, а лжец соврёт, в паре рыцарь-рыцарь оба скажут правду, а в паре лжец-лжец оба скажут неправду. Значит фраза «Все мои друзья — лжецы» употребляется только в парах рыцарь-лжец. Минимальное кол-во пар рыцарь-лжец, когда фразу сказали человек, это Если пар будет меньше, то и фраз тоже будет меньше.

Все не могут быть лжецами — тогда все заявления были бы истинными. Значит, есть хотя бы один рыцарь. Все, кроме, быть может, его двух соседей — лжецы. Оба соседа не могут быть лжецами – тогда они сказали бы правду; оба не могут быть рыцарями — тогда бы они солгали, т.к. они соседи рыцаря. Единственная оставшаяся возможность — один сосед — лжец, другой — рыцарь (то есть два рыцаря рядом, остальные — лжецы) удовлетворяет условиям задачи.

Ясно, что все не могут быть лжецами, иначе получилось бы, что каждый из них сказал правду. Значит, в городе есть хотя бы один рыцарь. Рыцарь тоже сказал: “Все вы лжецы”, а значит, все кроме него лжецы. То есть в городе лжец

Предположим, что среди этих людей не было рыцарей. Тогда каждый из них сказал правду, но этого не может быть, т.к. все они лжецы. Предположим, что среди этих людей было больше одного рыцаря. Тогда каждый рыцарь соврет, сказав, что все остальные — лжецы, а значит такого тоже не может быть. В случае же, когда среди этих людей только один рыцарь, все нормально — рыцарь говорит правду, т.к. его окружают лжецы, а лжецы врут, т.к. не все оставшиеся люди — лжецы.

Все жители острова не могут быть лжецами, иначе каждый из них сказал бы правду. Возьмем какого-нибудь одного рыцаря. Из его заявления вытекает, что лжецов в городе, более чем половина от остальных горожан, то есть чем Значит, лжецов в городе не менее Возьмем теперь какого-нибудь одного лжеца. Его заявление ложно, поэтому среди остальных горожан не более половины — лжецы. Это означает, что кроме него в городе не более лжецов, то есть вместе с ним лжецов не более Таким образом, получается, что лжецов в городе может быть только

Предположим туземец – рыцарь, тогда его высказывание правда, он рыцарь и на острове зарыто сокровище.

С другой стороны, предположим, что туземец лжец. Его высказывание должно быть ложным, т.е. одна часть не предполагает вторую. Кроме того, так как он лжец, то утверждение что он рыцарь ложно, но утверждение, что сокровище зарыто на острове правда, т.к. мы установили, что из одной части не вытекает вторая, а если бы вытекала, то он сказал бы правду, что противоречит тому что он лжец.

Итак, независимо от того, кто такой туземец — рыцарь или лжец, сокровища на острове есть, а вот определить, кто туземец — лжец или рыцарь, нельзя.

Первый шаг.

Прежде всего докажем, что в силу высказывания A горожанин C не может быть хитрецом. Действительно, если A - рыцарь, то B - особа более высокого ранга, чем C. Следовательно, B должен быть хитрецом, а C - лжецом. Таким образом, в этом случае C - не хитрец. Предположим, что A - лжец. Тогда B по рангу не выше C. Следовательно, B - особа более низкого ранга, поэтому B должен быть хитрецом, а C - рыцарем. Таким образом, и в этом случае C - не хитрец. Предположим, наконец, что A - хитрец. Тогда C - заведомо не хитрец (так как из трех горожан A, B и C только один – хитрец). Итак, C - не хитрец.

Второй шаг.

При аналогичных рассуждениях из высказывания B можно вывести, что A - не хитрец. Таким образом, ни A, ни C не хитрецы. Следовательно, B - хитрец.

Третий шаг.

Поскольку C - не хитрец, то он может быть рыцарем или лжецом. Предположим, что он рыцарь. Тогда A - лжец (так как B - хитрец). Следовательно, B - особа более высокого ранга, чем A, и C, будучи рыцарем, даст правдивый ответ: "В по рангу выше A". С другой стороны предположим, что C - лжец. Тогда A должен быть рыцарем, поэтому B по рангу не выше A. В этом случае C, будучи лжецом, солгал бы и ответил так: "В по рангу выше A". Таким образом, независимо от того, кто такой горожанин C - рыцарь или лжец, он ответит, что B по рангу выше A.

Мистер Хек не может быть лжецом, так как тогда его жена была бы рыцарем и, следовательно, не могла бы быть хитрецом, а это означало бы, что высказывание мистера Хека было бы истинно. По аналогичной причине миссис Хек не может быть и лжецом. Следовательно, ни мистер Хек, ни миссис Хек не могут быть и рыцарями (в противном случае второй супруг был бы лжецом). Значит, мистер Хек и миссис Хек — хитрецы (и оба лгут).

Прежде всего заметим, что A не может быть рыцарем, потому что рыцарь не назвал бы себя хитрецом. Следовательно, A — либо лжец, либо хитрец. Предположим, что А хитрец, тогда будет истинно высказывание горожанина B. Значит, B — либо рыцарь, либо хитрец. Но B не может быть хитрецом (так как A - хитрец поэтому B — рыцарь, а C — лжец. Но лжец не может сказать о себе, что он не хитрец (так как любой лжец не хитрец), и мы приходим к противоречию, так как высказывание лжеца не может быть правдой. Итак, следовательно, A не может быть хитрецом.

Следовательно, A — лжец. Это означает, что высказывание горожанина B ложно, в силу чего B должен быть хитрецом (лжецом он быть не может, так как лжец - горожанин A). Итак, A — лжец, а B хитрец. Отсюда мы заключаем, что C — рыцарь.

Рыцарь сказал бы про себя правду: «Я — рыцарь». Лжец бы соврал и не сказал бы, что он лжец. Значит, этот житель острова не рыцарь и не лжец. А хитрец мог солгать и сказать, что он лжец. Значит, этот житель был хитрецом.

Оборотень должен быть лжецом. Предположим, если бы B был лжецом, то по крайней мере один из трех горожан действительно был бы лжецом. Но тогда его высказывание было бы истинным, и мы пришли бы к противоречию, так как лжецы не говорят правды.

Следовательно, B — рыцарь. Тогда высказывание A истинно, и A также должен быть рыцарем. Таким образом, и A, и B — рыцари. Так как B рыцарь, то его высказывание истинно, поэтому один из трех — лжец. Им должен быть C. Следовательно, он и только он оборотень.

Если второй — рыцарь, то оборотень – лжец, и им тогда должен быть первый (так как второй – рыцарь). И действительно, первый тогда лжет относительно того, кем является оборотень. Если же второй — лжец, то оборотень не лжец (высказывание второго ложно), то есть рыцарь. И в этом случае оборотень первый. И тогда он действительно говорит правду относительно того, что оборотень (то есть он сам) — рыцарь. Итак, кем бы ни был второй (и кем бы ни был тогда первый), в любом случае оборотень первый.

Решение: C — либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что C — рыцарь. Тогда по крайней мере двое из трех островитян — лжецы. Следовательно, ими должны быть A и B. Отсюда мы заключаем, что B — оборотень (так как, по его словам, он не оборотень, а по доказанному B — лжец). Итак, если C — рыцарь, то оборотень — лжец (так как им должен быть B). Предположим теперь, что C — лжец. Тогда неверно, что по крайней мере два из трех островитян — лжецы, поэтому среди них есть самое большее один лжец. Этим лжецом должен быть C. Следовательно, и A, и B — рыцари. Так как A рыцарь и утверждает, что C - оборотень, то C действительно оборотень. Таким образом, и в этом случае оборотень — лжец (а именно C).

Следовательно, независимо от того, рыцарь ли C или лжец, оборотень лжец (хотя в каждом случае речь идет о другом лице). Итак, ответ на первый вопрос гласит: оборотень — лжец. Кроме того, мы доказали, что оборотнем может быть либо B, либо C. Следовательно, если вы хотите выбрать себе попутчика, который заведомо не был бы оборотнем, то вам следует остановить свой выбор на A.

Пусть С — рыцарь. Тогда он говорит правду и остальные персонажи (А и В) в этом случае оказываются лжецами. Поэтому в этом варианте С — оборотень. Если же С — лжец, то он говорит неправду, и среди них более одного рыцаря, то есть А и В — оба рыцари и потому оба оборотни (они говорят правду как рыцари). Но это невозможно по условию (оборотень один). Следовательно, С — рыцарь и оборотень.