Тема Геометрия 5-6

13 Углы → 13.03 Смежные и вертикальные углы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия 5-6

Разделы подтемы Углы

Биссектриса

Острый, прямой, тупой, развернутый угол

Смежные и вертикальные углы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#134473

Используя чертёж, найдите градусную меру угла $∠TOK.$

$PIC$

Источники: РЭШ, Смежные и вертикальные углы. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

1.: $∘ ∠AOT =90$ (по условию).
2.: $∘ ∠AOM = 48$ (по условию).
3.: Углы $∠AOM$ и $∠P OK$ вертикальные, следовательно $∘ ∠P OK = 48 .$
4.: Угол $∠T OP$ развернутый и равен $180∘$
5.: $∠T OK =∠T OP − ∠P OK$ (или $∠TOK = ∠TOA + ∠AOM )$
6.: $∠T OK =180∘− 48∘ =132∘$ ИЛИ
7.: $∠T OK =90∘+ 48∘ =138∘$
8.: $∠T OK =138∘$

Ответ:

$138∘$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#134474

Разность смежных углов равна $160∘.$ Найдите смежные углы.

Источники: nsportal, Смежные и вертикальные углы (см. nsportal.ru)

Показать ответ и решение

Пусть один угол равен $x.$ Тогда другой угол равен $x+ 160∘.$ Сумма смежных углов равна $180∘.$ Составим уравнение:

∘ ∘ x+ (x+ 160)= 180

∘ ∘ 2x+ 160 =180

2x= 180∘− 160∘

2x= 20∘

x= 10∘

Ответ:

$10∘$ и $170∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#134475

При пересечении двух прямых один из углов равен $14∘.$ Найдите образовавшиеся тупые углы.

Источники: nsportal, Смежные и вертикальные углы (см. nsportal.ru)

Показать ответ и решение

При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Вертикальные углы равны. Смежные углы в сумме дают $∘ 180 .$

Если один из углов $∘ 14 ,$ то смежный с ним угол равен:

∘ ∘ ∘ 180 − 14 = 166

Так как тупые углы - это углы, большие $90∘,$ а $166∘$ больше $90∘,$ то тупой угол равен $166∘.$

Ответ:

$166∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#134476

При пересечении прямых $AB$ и $CD$ в точке $O$ образовались четыре неразвернутых угла. Угол $COB$ равен $123∘.$ Найти углы $BOD,$ $DOA,$ $AOC.$

Источники: Инфоурок, Смежные и вертикальные углы (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

1.: Углы $COB$ и $DOA$ вертикальные. Вертикальные углы равны, значит $∠DOA = ∠COB =123∘.$
2.: Углы $COB$ и $BOD$ смежные. Сумма смежных углов равна $180∘,$ значит $∠BOD =180∘− ∠COB = 180∘− 123∘ =57∘.$
3.: Углы $BOD$ и $AOC$ вертикальные. Вертикальные углы равны, значит $∘ ∠AOC = ∠BOD =57 .$

Ответ:

$∠BOD =57∘,$ $∠DOA = 123∘,$ $∠AOC =57∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#134477

Сумма вертикальных углов $NOE$ и $BOS,$ образованных при пересечении прямых $NC$ и $BE,$ равна $86∘.$ Найдите угол $EOC.$

Источники: Инфоурок, Смежные и вертикальные углы (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

1.: Углы $NOE$ и $BOS$ вертикальные, следовательно, они равны: $∠NOE = ∠BOS.$
2.: Сумма этих углов равна $86∘ :$ $∠NOE + ∠BOS = 86∘.$
3.: Поскольку углы равны, каждый из них равен $∘ ∘ 86 :2= 43 :$ $∘ ∠NOE = ∠BOS = 43.$
4.: Углы $NOE$ и $EOC$ смежные, поэтому их сумма равна $∘ 180 :$ $∘ ∠NOE +∠EOC = 180 .$
5.: Следовательно, $∘ ∘ ∘ ∘ ∠EOC =180 − ∠NOE = 180 − 43 = 137 .$

Ответ:

$137∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#134478

Дано: $∠1= 100∘,$ $∠5 =17∘.$ Вычислите все углы.

$PIC$

Источники: Якласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

1.: $∠1$ и $∠2$ - смежные углы, поэтому их сумма равна $∘ 180 .$
2.: $∠3$ и $∠4$ - вертикальные углы к $∠2$ и $∠1,$ соответственно.
3.: $∠5$ и $∠6$ - смежные углы, поэтому их сумма равна $∘ 180 .$
4.: $∠7$ и $∠8$ - вертикальные углы к $∠6$ и $∠5,$ соответственно.

Ответ:

$∘ ∠1 =100$ (дано)
$∘ ∘ ∘ ∘ ∠2 =180 − ∠1= 180 − 100 =80$
$∘ ∠3 =∠2 =80$ (вертикальные)
$∠4 =∠1 =100∘$ (вертикальные)
$∠5 =17∘$ (дано)
$∠6 =180∘− ∠5= 180∘− 17∘ = 163∘$
$∠7 =∠6 =163∘$ (вертикальные)
$∠8 =∠5 =17∘$ (вертикальные)

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#134479

Две прямые при пересечении образуют четыре угла. Вычислите градусные меры этих углов, если сумма двух вертикальных углов равна $∘ 64 .$

Источники: Якласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

1.: При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Вертикальные углы равны.
2.: Сумма двух вертикальных углов равна $∘ 64.$ Так как вертикальные углы равны, каждый из этих углов равен $∘ ∘ 64 :2= 32.$ Это острый угол.
3.: Смежные углы в сумме дают $180∘.$
4.: Тупой угол равен $180∘ − 32∘ = 148∘.$

Ответ:

Острый угол = $32∘,$ Тупой угол = $148∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#134480

Вычислите градусные меры углов, если смежные углы относятся как $1:11.$ $(∠B$ больше $∠A )$

Источники: Якласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

1.: Сумма смежных углов равна $∘ 180 .$
2.: Пусть $∠A = x.$ Тогда $∠B =11x$ (по условию).
3.: Составим уравнение: $∘ x +11x= 180.$
4.: $12x= 180∘.$
5.: $x =180∘∕12 =15∘.$
6.: Значит, $∠A = 15∘.$
7.: $∠B = 11⋅15∘ =165∘.$

Ответ:

$∠A = 15∘,$ $∠B = 165∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#134481

Какое из данных равенств верно?

$∠1 +∠2 =∠3 +∠4$
$∘ ∠4 +∠3 =180$
$∘ ∠1 +∠2+ ∠3+ ∠4= 360$
$∘ ∠1 +∠2+ ∠3+ ∠4= 180$

$PIC$

Источники: Якласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Рассмотрим каждый вариант:

$∠1 +∠2 =∠3 +∠4$ - Неверно, $∠1$ и $∠2$ - тупые, $∠3$ и $∠4$ - острые, соответственно, сумма будет разной.
$∘ ∠4 +∠3 =180$ - Неверно, углы $∠3$ и $∠4$ - острые, при их сложении мы не получим $∘ 180$
$∠1 +∠2+ ∠3+ ∠4= 360∘$ - Верно, так как углы $∠1+ ∠2+∠3 +∠4$ образуют полный круг, поэтому их сумма равна $360∘.$
$∠1 +∠2+ ∠3+ ∠4= 180∘$ - Неверно, их сумма равна $360∘.$

Ответ:

$∠1 +∠2+ ∠3+ ∠4= 360∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#134482

Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они прямые?

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

1.: Смежные углы в сумме составляют $∘ 180 .$
2.: Пусть $∠A$ и $∠B$ - смежные углы, и $∠A =∠B.$
3.: Тогда $∘ ∠A + ∠B = 180,$ и так как $∠A = ∠B,$ можно записать: $∘ ∠A +∠A = 180 .$
4.: $2⋅∠A = 180∘.$
5.: $∠A = 90∘.$
6.: Следовательно, $∠B = 90∘.$
7.: Угол, равный $90∘,$ является прямым углом.
8.: Таким образом, если смежные углы равны, то они оба являются прямыми углами.

Ответ: Да, утверждение верно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#134501

Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

1.: Пусть даны два равных угла: $∠A =∠B.$
2.: Пусть $∠C$ - угол, смежный с $∠A,$ и $∠D$ - угол, смежный с $∠B.$
3.: По определению смежных углов: $∘ ∠A + ∠C =180$ и $∘ ∠B+ ∠D = 180 .$
4.: Выразим $∠C$ и $∠D :$ $∠C =180∘− ∠A$ и $∠D = 180∘− ∠B.$
5.: Так как $∠A =∠B,$ то $∠C =180∘− ∠A= 180∘− ∠B = ∠D.$
6.: Следовательно, $∠C = ∠D.$
7.: Значит, смежные с равными углами углы равны.

Ответ: Да, смежные с ними углы равны.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#134502

Найдите смежные углы $∠hok$ и $∠kol,$ если:

а): $∠hok$ меньше $∠kol$ на $40∘;$
б): $∠hok$ больше $∠kol$ на $∘ 120 ;$
в): $∠hok$ больше $∠kol$ на $∘ ′ 47 18;$
г): $∠hok= 3⋅∠kol;$
д): $∠hok:∠kol= 5:4.$

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$lhkxyo$

Пусть $∠hok= x$ и $∠kol=y.$ Так как углы смежные, $∘ x+ y = 180 .$

а)

$x =y − 40∘.$ Тогда $y− 40∘+ y = 180∘,$

$∘ 2y = 220$ $∘ → y = 110 .$

$x =110∘− 40∘ = 70∘.$

б)

$x =y +120∘.$ Тогда $y +120∘+ y = 180∘,$

$2y = 60∘ → y = 30∘.$

$x =30∘+ 120∘ = 150∘.$

в)

( Напоминание: Один градус делится на $60$ минут, а одна минута — на $60$ секунд. $47∘18′$ означает $47$ градусов $18$ минут, до $48∘$ нам не хватает $42$ минуты, или же $42′)$

$∘ ′ x =y +47 18 .$ Тогда $∘ ′ ∘ y+ 47 18 +y = 180,$

$2y = 180∘− 47∘18′ = 132∘42′ → y = 66∘21′.$

$x =66∘21′+ 47∘18′ = 113∘39′.$

г)

$x =3y.$ Тогда $3y+ y = 180∘,$

$4y = 180∘ → y = 45∘.$

$∘ ∘ x =3 ⋅45 = 135.$

д)

Пусть $∠hok= 5x$ и $∠kol=4x.$ Так как углы смежные, $∠hok +∠kol= 180∘.$

Тогда:

$5x+ 4x= 180∘$

$9x= 180∘$

$∘ x = 180--=20∘ 9$

Следовательно:

$∠hok= 5⋅20∘ = 100∘$

$∠kol= 4⋅20∘ =80∘$

Ответ:

а): $∘ ∠hok= 70 ,$ $∘ ∠kol= 110$
б): $∘ ∠hok= 150,$ $∘ ∠kol= 30$
в): $∘ ′ ∠hok= 11339 ,$ $∘ ′ ∠kol= 6621$
г): $∠hok= 135∘,$ $∠kol= 45∘$
д): $∠hok= 100∘,$ $∠kol= 80∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#134503

На рисунке углы $∠BOD$ и $∠COD$ равны. Найдите угол $∠AOD,$ если $∠COB =148∘.$

$ABCDO$

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$∠COD = ∠COB-= 148∘= 74∘. 2 2$

$∠AOC = 180∘− ∠COB = 180∘− 148∘ = 32∘.$

$∘ ∘ ∘ ∠AOD = ∠AOC +∠COD = 32 + 74 = 106 .$

Ответ:

$∠AOD =32∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#134504

Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если:

а): Сумма двух из них равна $114∘;$
б): Сумма трех углов равна $∘ 220.$

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

При пересечении двух прямых образуются четыре угла, причем вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают $180∘.$ Пусть углы равны $x,$ $x,$ $y$ и $y,$ где $∘ x+ y = 180.$

а)

Если сумма двух углов равна $∘ 114,$ то возможны два случая:

1.: Сумма двух равных углов: $∘ x +x= 114,$ тогда $∘ 2x =114 ,$ $∘ x= 57.$ Следовательно, $∘ ∘ ∘ y = 180 − 57 = 123 .$ Углы: $∘ 57,$ $∘ 57 ,$ $∘ 123,$ $∘ 123.$
2.: Сумма двух разных углов: $x +y =114∘.$ Но мы знаем, что $x+ y = 180∘.$ Противоречие. Этот случай невозможен.

Таким образом, углы равны $57∘,$ $57∘,$ $123∘$ и $123∘.$

б)

Если сумма трех углов равна $220∘,$ то $x+ x+ y = 220∘,$ или $2x +y = 220∘.$ Мы также знаем, что $x+ y = 180∘,$ следовательно, $y =180∘− x.$ Подставляем в первое уравнение: $2x+ (180∘− x)=220∘,$ $x+ 180∘ = 220∘,$ $x =40∘.$ Следовательно, $y =180∘− 40∘ = 140∘.$ Углы: $40∘,$ $40∘,$ $140∘,$ $140∘.$

Ответ:

а): $∘ 57 ,$ $∘ 57,$ $∘ 123 ,$ $∘ 123$
б): $∘ 40 ,$ $∘ 40,$ $∘ 140 ,$ $∘ 140$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#134505

На рисунке изображены три прямые, пересекающиеся в точке O. Найдите сумму углов: $∠1+ ∠2+∠3.$

$PIC$

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$PIC$

1.: $∠1 =∠4,$ $∠2 =∠5,$ $∠3 =∠6$ (вертикальные углы).
2.: $∠1 +∠6+ ∠2= 180∘$ (сумма углов, образующих развернутый угол).
3.: Так как $∠6= ∠3,$ то $∘ ∠1+ ∠3+ ∠2= 180.$

Ответ:

$∠1 +∠2+ ∠3= 180∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#134506

На рисунке $∠AOB =50∘,$ $∠FOE = 70∘.$ Найдите углы $∠AOC,$ $∠BOD,$ $∠COE$ и $∠COD.$

$ABCDEFO$

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

1.: $∘ ∘ ∘ ∠AOC =∠AOB +∠BOC =50 + 70 =120 ,$ так как $∘ ∠BOC = ∠FOE = 70$ (вертикальные).
2.: $∠AOF =∠COD.$ $∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠AOF =180 − ∠AOB − ∠F OE = 180 − 50 − 70 = 60.$ Следовательно, $∘ ∠COD = 60 .$
3.: $∘ ∘ ∘ ∠BOD = ∠BOC +∠COD = 70 + 60 = 130 .$
4.: $∠COE =∠COD +∠DOE = 60∘+ 50∘ = 110∘,$ так как $∠DOE =∠AOB =50∘$ (вертикальные).

Ответ:

$∠AOC =120∘,$ $∠BOD = 130∘,$ $∠COE = 110∘,$ $∠COD = 60∘$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#134507

Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Пусть даны смежные углы $∠AOB$ и $∠BOC.$ Так как они смежные, $∠AOB + ∠BOC = 180∘.$

Пусть $OD$ - биссектриса угла $∠AOB,$ а $OE$ - биссектриса угла $∠BOC.$ Тогда:

* $1 ∠AOD = ∠DOB = 2∠AOB$ * $1 ∠BOE =∠EOC = 2∠BOC$

Нам нужно найти угол $∠DOE.$ Он равен:

$1 1 1 1 ∘ ∘ ∠DOE = ∠DOB + ∠BOE = 2∠AOB + 2∠BOC = 2(∠AOB + ∠BOC )= 2(180 )= 90.$

Таким образом, угол, образованный биссектрисами двух смежных углов, равен $∘ 90 .$

$AOCDE$

Ответ:

$90∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#134508

Докажите, что биссектрисы вертикальных углов $∠AOD$ и $∠BOC$ лежат на одной прямой.

Источники: Геометрия. 7-9 класс - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.(см. go.11klasov.net)

Показать доказательство

1.: Пусть даны две пересекающиеся прямые $AB$ и $CD,$ пересекающиеся в точке $O.$ $∠AOD$ и $∠BOC$ - вертикальные углы. Следовательно, $∠AOD =∠BOC.$
2.: Пусть $OE$ - биссектриса угла $∠AOD,$ а $OF$ - биссектриса угла $∠BOC.$ Тогда $∠AOE = ∠EOD = 1∠AOD, 2$ и $∠BOF =∠F OC = 1∠BOC. 2$
3.: Так как $∠AOD = ∠BOC,$ то $1∠AOD = 1∠BOC, 2 2$ следовательно, $∠AOE = ∠BOF.$
4.: Рассмотрим углы, прилегающие к прямой $AB.$
5.: $∠AOD +∠BOD =180∘$ (смежные углы). Тогда $∠BOD = 180∘− ∠AOD.$
6.: $∠BOF +∠F OC =∠BOC.$ Так как OF - биссектриса, $∠BOF = 1∠BOC = 1∠AOD 2 2$ (вертикальные углы).
7.: Теперь рассмотрим $∠EOF.$ Он состоит из $∠EOA + ∠AOB + ∠BOF.$ Поскольку $∠AOB = 180∘− ∠AOD$ (смежные), а $∠EOA = 1∠AOD, 2$ и $∠BOF = 1∠BOC = 1∠AOD, 2 2$ получим: $∠EOF = 1∠AOD + (180∘− ∠AOD )+ 1∠AOD = 180∘. 2 2$
8.: Поскольку $∠EOF = 180∘,$ лучи $OE$ и $OF$ образуют развернутый угол и лежат на одной прямой.

$ABCDEFO$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#134509

Восьмая часть одного из смежных углов и три четверти другого составляют в сумме прямой угол. Найдите разность данных углов.

Источники: Инфоурок, Смежные и вертикальные углы (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Пусть данные смежные углы равны $x$ и $y.$ Так как они смежные, то $x+ y = 180∘.$

По условию задачи, $1x+ 3y =90∘. 8 4$

Выразим $x$ из первого уравнения: $x =180∘− y.$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$1 3 8(180∘− y)+4y =90∘$

Умножим обе части уравнения на 8:

$∘ ∘ 180 − y+ 6y =720$

$∘ ∘ 5y =720 − 180$

$∘ 5y =540$

$y = 540∘-=108∘ 5$

Тогда $x = 180∘− y = 180∘− 108∘ =72∘.$

Разность данных углов равна $|x− y|= |72∘− 108∘|= |− 36∘|=36∘.$

Ответ:

$36∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#134510

Один из смежных углов в пять раз больше другого. Найдите углы, которые образует биссектриса большего угла со сторонами меньшего.

Источники: Инфоурок, Смежные и вертикальные углы (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Пусть меньший смежный угол равен $x,$ тогда больший смежный угол равен $5x.$ Так как они смежные, то $x+ 5x= 180∘.$

$∘ 6x =180$

$180∘- ∘ x= 6 =30$

Таким образом, меньший угол равен $∘ 30 ,$ а больший угол равен $∘ ∘ 5⋅30 =150 .$

Биссектриса большего угла делит его на два равных угла, каждый из которых равен $150∘ -2--= 75∘.$

Теперь рассмотрим углы, которые биссектриса большего угла образует со сторонами меньшего угла:

Угол между биссектрисой и стороной меньшего угла, (с которой непосредственно смежен больший угол), это сумма меньшего угла и половинного большего угла: $30∘+75∘ = 105∘.$
Угол между биссектрисой и другой стороной меньшего угла, (то есть стороной, которая является общей стороной смежных углов), это половинный больший угол: $75∘.$

Таким образом, углы, которые образует биссектриса большего угла со сторонами меньшего угла, равны $∘ 75$ и $∘ 105 .$

$AOCD$

Ответ:

$75∘$ и $105∘$

Предыдущая подтема