Тема Геометрия 5-6

13 Углы → 13.03 Смежные и вертикальные углы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия 5-6

Разделы подтемы Углы

Биссектриса

Острый, прямой, тупой, развернутый угол

Смежные и вертикальные углы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#122036

Чему равна сумма смежных углов?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Смежные углы всегда образуют развёрнутый угол, который равен $180∘.$

Ответ: 180 градусов

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#122038

Какие углы называются вертикальными?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга.

Ответ: Углы, образованные при пересечении прямых и не являющиеся смежными

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#122085

Какое утверждение о вертикальных углах верное?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Основное свойство вертикальных углов - они всегда равны.

Ответ: Они равны между собой

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#122086

Если один из смежных углов равен $35∘,$ то чему равен второй?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Cумма смежных углов равна $180∘,$ то есть $180∘− 35∘ =145∘$

Ответ: 145 градусов

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#122087

Могут ли два смежных угла быть равными?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Если два смежных угла равны, то каждый из них равен $90∘.$

Ответ: Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#122095

Найдите угол, смежный с углом в $127∘$

$PIC$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Сумма смежных углов равна $180∘,$ то есть $180∘− 127∘ =53∘$

$PIC$

Ответ: 53 градуса

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#122096

Найдите величину угла $x.$

$PIC$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Вертикальные углы равны, поэтому $x= 75∘.$

Ответ: 75 градусов

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#122097

Найдите угол между биссектрисами двух смежных углов.

$PIC$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

$1.$ Сумма смежных углов:

∘ α+ β = 180

$2.$ Биссектрисы делят углы пополам:

α- β α+-β- 180∘ ∘ 2 + 2 = 2 = 2 = 90

$PIC$

Ответ: 90 градусов

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#122098

Определите величину угла $x,$ если известно, что он в $4$ раза меньше смежного с ним угла.

$PIC$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Если неизвестный угол равен $x,$ то смежный с ним равен $4x,$ тогда по свойству смежных углов: $x+ 4x= 180∘− > 5x =180∘− > x =36∘$

$PIC$

Ответ: 36 градусов

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#122099

Чему равен угол между биссектрисами двух вертикальных углов $∠AOD$ и $∠BOC?$

$PIC$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

$1.$ Вертикальные углы равны: $∠AOD =∠BOC =α$

$2.$ Биссектрисы делят углы пополам:

α α 2 + 2-= α

$3.$ Но угол между биссектрисами равен развернутому углу минус сумма половин углов:

180∘− α

Однако при пересечении биссектрис образуется угол:

∘ ( α- α) ∘ 180 − 2 + 2 =180 − α

$PIC$

Ответ: 180 градусов

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#134463

Найдите величину угла $∠DCO,$ смежного с углом $∠ACO,$ если $∠ACO = 25∘.$

Источники: Фоксфорд (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Сделаем чертёж по условию задачи:

$PIC$

По определению смежных углов:

∠DCO + ∠ACO = 180∘

Подставим известное значение:

∠DCO + 25∘ = 180∘

Выразим и вычислим $∠DCO :$

∘ ∘ ∘ ∠DCO = 180 − 25 =155

Значит, угол $∠DCO,$ смежный с углом $∠ACO,$ равен $155∘.$

Ответ:

$155∘.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#134464

На рисунке 4 $∠AOD$ в 4 раза больше $∠AOB.$ Найдите все углы.

$PIC$

Источники: Фоксфорд (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Обозначим градусную меру угла $∠AOB$ за $x.$ Тогда $∠AOD = 4x.$ Так как эти углы смежные, их сумма равна $180∘.$ То есть:

∘ x +4x =180

∘ 5x= 180

x= 36∘

Значит, $∠AOB = 36∘,$ $∠AOD =4 ⋅36∘ = 144∘.$

Так как $∠AOB$ и $∠COD$ вертикальные, значит, они равны. То есть $∠COD = 36∘.$

Так как $∠AOD$ и $∠COB$ вертикальные, значит, они равны. То есть $∠COB = 144∘.$

Ответ:

$∠AOB =36∘,$ $∠AOD = 144∘,$ $∠COD =36∘,$ $∠COB = 144∘.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#134465

Используя чертёж, найдите угол $∠BOK.$ (Рисунок, где развернутый угол $BOA$ и луч $OK,$ угол $∠KOA = 11∘).$

$PIC$

Источники: РЭШ, Смежные и вертикальные углы. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна $180∘.$ По условию задачи $∠AOK = 11∘.$ Тогда:

∘ ∠BOK + ∠AOK = 180

∠BOK + 11∘ = 180∘

∠BOK =180∘− 11∘

∠BOK = 169∘

Ответ:

$∠BOK = 169∘.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#134466

Используя чертёж, найдите угол $∠AOD.$

Варианты ответов:

1.: $∘ 112$
2.: $∘ 64$
3.: $116∘$
4.: $68∘$

$PIC$

Источники: РЭШ, Смежные и вертикальные углы. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

На чертеже указано, что углы $∠COE = ∠DOE.$ Значит, $∠COD = ∠COE + ∠DOE = 32∘+ 32∘ = 64∘.$

$∠AOD$ смежный с углом $∠COD,$ по свойству смежных углов:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠AOD = 180 − ∠COD =180 − 64 =116 .

Ответ:

116 $∘.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#134467

iИспользуя чертёж, найдите градусную меру угла $∠BMD,$ если $∠AMD = 125∘,$ $∠BMC = 115∘.$

$-- ∠BMD = ∘.$

Выберите верный ответ из списка:

1.: $∘ 60$
2.: $∘ 30$
3.: $75∘$
4.: $90∘$

$PIC$

Источники: РЭШ, Смежные и вертикальные углы. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

По чертежу можно увидеть, что $∠BMD$ является частью $∠AMD$ и $∠BMC.$ Рассмотрим $∠DMC$ и $∠AMD.$ Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна $∘ 180 .$ Значит, зная градусную меру $∠AMD,$ мы сможем найти градусную меру $∠DMC :$

∘ ∘ ∘ ∘ ∠DMC =180 − ∠AMD = 180 − 125 = 55

Теперь рассмотрим $∠BMC = ∠BMD + ∠DMC.$ Мы знаем градусные меры $∠BMC$ и $∠DMC,$ значит, мы сможем найти градусную меру $∠BMD :$

∘ ∘ ∘ ∠BMD = ∠BMC − ∠DMC = 115 − 55 =60

Ответ:

$60∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#134468

$∠KOB$ и $∠BOC$ смежные. $∠KOB$ в 5 раз больше $∠BOC.$ Чему равен $∠KOB$ ?

Источники: РЭШ, Смежные и вертикальные углы. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $∠BOC =x.$ Тогда $∠KOB = 5x.$ Так как $∠KOB$ и $∠BOC$ смежные, то их сумма равна $180∘ :$

∘ x +5x =180

6x= 180∘

x= 30∘

Следовательно, $∘ ∘ ∠KOB = 5x= 5⋅30 =150 .$

$KCBx5Ox$

Ответ:

$150∘$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#134469

Градусные меры смежных углов пропорциональны числам $2$ и $7.$ Вычислите градусную меру большего угла.

Выберите верный ответ.

1.: $∘ 140$
2.: $∘ 90$
3.: $40∘$
4.: $20∘$

Источники: РЭШ, Смежные и вертикальные углы. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть коэффициентом пропорциональности будет $x.$ Тогда градусные меры смежных углов равны $2x$ и $7x.$ Сумма смежных углов равна $∘ 180 .$ Составим уравнение:

∘ 2x+ 7x= 180

∘ 9x= 180

x= 20∘

Тогда градусная мера большего угла равна $7x =7 ⋅20∘ = 140∘.$

Ответ:

$140∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#134470

Используя чертёж, вычислите градусные меры углов $1,2,3,$ и $4.$

$PIC$

Источники: РЭШ, Смежные и вертикальные углы. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

$∠1$ и угол $30∘$ смежные, поэтому:

∘ ∘ ∘ ∠1= 180 − 30 = 150

$∠2$ вертикальный углу $30∘ :$

∠2 =30∘

$∠3$ - прямой угол в прямоугольном треугольнике:

∠3 =90∘

$∠4$ и $∠3$ смежные:

∠4 =180∘− 90∘ = 90∘

Ответ:

$∠1 =150∘,$ $∠2= 30∘,$ $∠3 =90∘,$ $∠4= 90∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#134471

Используя чертёж, найдите угол EOF.

$PIC$

Источники: РЭШ, Смежные и вертикальные углы. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

1.: $∠AOF$ и $∠COD$ вертикальные, следовательно, $∘ ∠AOF = ∠COD = 25.$
2.: Сумма смежных углов равна $∘ 180 .$
3.: $∘ ∠BOA +∠AOF + ∠FOE = 180.$
4.: $55∘+ 25∘ +∠FOE = 180∘.$
5.: Поэтому $∠EOF =180∘− (55∘+ 25∘)= 180∘− 80∘ = 100∘.$

Ответ:

$100∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#134472

Используя чертёж, найдите угол $∠BOC.$ $∠AOD +∠AOC + ∠BOC = 190∘$

$PIC$

Источники: РЭШ, Смежные и вертикальные углы. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $∠DOC =∠1,$ $∠AOC =∠2,$ $∠BOC =∠3,$ $∠BOD = ∠4$

$PIC$

1.: $∠1$ и $∠2$ смежные, поэтому $∠1+ ∠2= 180∘.$
2.: $∠3$ и $∠4$ смежные, поэтому $∠3+ ∠4= 180∘.$
3.: Значит, если мы сложим все четыре угла, мы получим $∘ ∘ ∘ ∠1+ ∠2+ ∠3+∠4 = 180 + 180 = 360.$
4.: По условию, $∘ ∠AOD + ∠AOC + ∠BOC = 190.$ То есть $∘ ∠1 +∠2 +∠3 =190.$
5.: Тогда $∠4 =360∘− 190∘ = 170∘.$
6.: $∠4 =∠2$ (как вертикальные углы).
7.: Значит, $∠2 = 170∘.$
8.: $∠1 =∠3$ (как вертикальные углы).
9.: Вернемся к выражению из условия: $∠1+ ∠2+∠3 = 190∘.$
10.: $∠1 +170∘+∠3 =190∘.$
11.: $∠1 +∠3 =20∘.$
12.: Так как $∠1= ∠3$ (вертикальные углы), то $∠3$ (то есть $∠BOC$ ) = $20∘ :2= 10∘.$

Ответ:

$10∘$

Предыдущая подтема