Тема Углы

01 Биссектриса

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела углы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#134603

Биссектриса прямоугольного треугольника $ABC (∠C = 90∘),$ проведенная из вершины прямого угла делит гипотенузу на отрезки $AE = 3$ см и $BE = 10$ см. Катет $AC$ равен $5.$ Найдите длину биссектрисы.

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

$1)$ Гипотенуза равна $10+ 3= 13$ см.

$2)$ Найдем второй катет по теореме Пифагора:

∘ --------- √ ------- √--- BC = AE2− AC2 = 169 − 25= 144= 12

$3)$ По формуле биссектрисы найдем биссектрису:

CE = BC ⋅AC − AE ⋅BE = 60 − 30= 30

Ответ: 30 см

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#134604

Найдите две стороны треугольника, если их сумма равна $91$ см, а биссектриса, проведенная к третьей стороне, делит ее на отрезки $15$ см и $24$ см.

Источники: Мультиурок, Свойство биссектрисы треугольника (см. multiurok.ru)

Показать ответ и решение

$1)$ Пусть в треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $D.$ По условию $BD = 15$ см, а $DC = 24$ см. Тогда третья сторона равна $BC =15+ 24= 39$ см.

$2)$ Согласно свойству биссектрисы угла треугольника:

AB BD 15 5 AC-= DC-= 24 = 8

Обозначим $AB = 5x,AC = 8x.$

$3)$ Из условия:

AB +AC = 5x+ 8x =13x= 91⇒ x =7

$4)$ Найдем длины сторон:

AB = 5x = 5⋅7= 35см

AC = 8x = 8⋅7=56см

Ответ: AB=35 см, AC=56 см

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#134607

В треугольнике $DEF$ биссектриса $DM$ делит сторону $EF$ на отрезки $EM = 5$ см и $MF = 7$ см. Найдите стороны $DE$ и $DF,$ если периметр треугольника равен $36$ см.

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

$1)$ По свойству биссектрисы:

DE EM 5 DF-= MF- = 7

Пусть $DE =5x,DF = 7x.$

$2)$ Периметр:

DE + DF +EF = 5x+ 7x+12= 36

12x= 24⇒ x= 2

DE = 5⋅2= 10;DF = 7⋅2= 14

Ответ: DE=10 см, DF=14 см

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#134608

Биссектрисы углов $N$ и $M$ треугольника $MNP$ пересекаются в точке $A.$ Найдите $∠NAM$ если $∠N = 84∘,∠M = 42∘.$

Источники: Сдам ГИА (см. planimetry-urok.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

По определению биссектрисы $∠MNA =42∘$ и $∠NMA = 21∘.$ В треугольнике $NAM :$

∘ ∠NAM = 180 − 42− 21= 117

Ответ:

$117∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#134609

Биссектрисы углов $B$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $K.$ Найдите $∠BKC$ если $∠B = 40∘,∠C = 80∘.$

Источники: Сдам ГИА (см. planimetry-urok.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

По определению биссектрисы $∠CBK = 20∘$ и $∠BCK = 40∘.$ В треугольнике $BKC :$

∘ ∠CKB = 180− 40− 20 =120

Ответ:

$120∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#134611

В равностороннем треугольнике $ABC$ биссектрисы $CN$ и $AM$ пересекаются в точке $P.$ Найдите $∠MP N.$

Источники: Сдам ГИА (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

В равностороннем треугольнике $ABC$ все углы равны $60∘.$ Биссектрисы $CN$ и $AM$ делят углы пополам, поэтому $∘ ∠ACN =∠MAC = 60:2= 30.$ Сумма углов в треугольнике равна $∘ 180,$ поэтому $∘ ∠APC = 180 − 30− 30= 120$ Вертикальные углы равны, следовательно, $∘ ∠MP N = ∠AP C = 120.$

Ответ:

$120∘$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#134612

Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Источники: Сдам ГИА (см. planimetry-urok.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

∘ ∘ ( ∘ 1 ) 90∘- ∘ ∠BOD = 180 − ∠BOA =180 − 180 − 2(∠A +∠B ) = 2 = 45

Ответ:

$45∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#134613

Какие углы образуют биссектрисы двух углов треугольника, если третий угол этого треугольника равен $48∘.$

Источники: Сдам ГИА (см. planimetry-urok.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

По свойству биссектрисы тупой угол равен $90+ 48= 114∘. 2$ Острый угол равен $90− 48= 66∘. 2$

Ответ:

$66∘$ и $114∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#134614

Какие углы образуют биссектрисы двух углов треугольника, если третий угол этого треугольника равен $126∘.$

Источники: Сдам ГИА (см. planimetry-urok.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

По свойству биссектрисы тупой угол равен $90+ 126-= 153∘. 2$ Острый угол равен $90− 126-=27∘. 2$

Ответ:

$27∘$ и $153∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#134615

В треугольнике $ABC$ биссектриса $AL$ делит сторону $BC$ на отрезки $BL =4$ см и $LC = 6$ см. Найдите длину биссектрисы $AL,$ если $AB = 8$ см, $AC = 12$ см.

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

2 AL =AB ⋅AC − BL ⋅LC =8 ⋅12− 4⋅6= 96− 24 =72

AL = √72= 6√2

Ответ:

$AL = 6√2$ см