ДВИ в МГУ - задания по годам

Преобразуем по формуле приведения:

Теперь приведем исходное выражение к общему знаменателю и приведем подобные слагаемые в числителе:

Выделим целую часть:

Заметим, что поэтому Тогда наибольшее число, не превосходящее заданного числа, равно

Пусть — разность прогрессии. Переобозначим Так как прогрессия состоит из натуральных чисел и строго возрастает, то и — натуральные числа. По формуле суммы арифметическое прогрессии имеем

Умножим это равенство на тогда получится следующее уравнение в целых числах

Заметим, что Из уравнения следует, что Кроме того, по условию — нечетное число, поэтому может быть равно или

Рассмотрим эти три случая:

1.

Тогда получится уравнение то есть Но поэтому и такое равенство невозможно.

2.

Тогда получится уравнение то есть Возьмем и Получается верное равенство, поэтому существует подходящая арифметическая прогрессия.

3.

Тогда получится уравнение то есть Заметим, что и подходят. То есть такая прогрессия подходит.

Таким образом, или

Сначала найдем ОДЗ:

Решая эту систему, получаем, что Теперь применим метод рационализации. Тогда получится неравенство

Во второй скобке приводим подобные:

Решая это неравенство, получаем, что Остается пересечь это множество с ОДЗ. Получается, что

Первое решение.

Запишем ОДЗ

Преобразуем левую часть. Домножим и числитель, и знаменатель на

Тогда получаем следующее

Тогда получаем, что

Решим последнее уравнение:

Тогда получаем следующую серию

Объединяя серии и объединяя с ОДЗ, получаем ответ.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

По формуле тангенса суммы

Сначала запишем ОДЗ:

По формуле тангенса разности

Подставим все, что получили в исходное уравнение, получится следующее:

Видно, что можно будет кое-что сократить. Но сначала нужно проверить случай, когда Решения этого уравнения нам подходят, если они удовлетворяют ОДЗ. Это уравнение эквивалентно уравнению А это равенство может выполняться только если аргументы тангенсов отличаются на число, кратное То есть Таким образом, После пересечения решений этого равенства с ОДЗ получим Это нетрудно получить подстановкой во все условия, если записать в виде где и

Перейдем к случаю В этом случае с учетом ОДЗ после сокращений получим уравнение:

Теперь необходимо дополнительно учесть, что Это условие проверим подстановкой после того, как решим уравнение.

Итак, после умножения на знаменатель уравнение примет вид:

Перенесем все в левую часть и разложим на множители

Тогда или Таким образом, или

не подходит по ОДЗ, поскольку

тоже можно проверить, представив в виде где и Тогда получится, что при этот корень не подходит по ОДЗ, поэтому в этом случае ответ таков: или

Пусть — центр вписанной окружности треугольника Пусть По свойству вписанной окружности и — биссектрисы углов и Тогда По условию поэтому Найдем тогда задача будет решена.

перпендикулярно так как — точка касания вписанной окружности и стороны . Тогда

Таким образом,

Получаем уравнение

По формуле тангенса двойного угла получаем

Сокращаем на и умножаем на знаменатель:

Выражаем квадрат тангенса и получаем

Угол — острый, поскольку сумма углов треугольника равна то есть откуда Получаем, что Тогда Подставим это в формулу для тангенса двойного угла:

Таким образом,

Заменим все единицы на Тогда

Обозначим знаменатели новыми неизвестными: Получается

По неравенству о средних

Подставив эту оценку в полученное выражение, получаем

При достигается равенство, так как в этом случае достигается равенство в неравенстве о средних. Сделав обратную замену, получаем что эквивалентно Так как то

Первое решение.

Пусть пересекает и в точках и соответственно (то есть Тогда по условию и Пусть — середина Тогда пирамида симметрична относительно плоскости Поскольку пересекает ребро в середине, то в силу симметрии эта плоскость пересекает тоже в середине, поэтому

Пусть — середина Тогда так как Тогда, поскольку то и параллельны. Аналогично можно доказать, что и параллельны. Таким образом, и — параллельные плоскости, поэтому требуемый в задаче угол равен углу между и

Так как по условию и перпендикулярны, то и перпендикулярны, то есть и перпендикулярны Снова применив соображение симметрии, получаем, что то есть — равнобедренный, и — его высота, поскольку является серединой Так как — правильный треугольник (по условию — правильная пирамида), то — тоже высота в треугольнике Таким образом, лежит в плоскости и перпендикулярно а лежит в плоскости и перпендикулярно Эти плоскости пересекаются по прямой Таким образом, нужный угол по определению равен

Пусть Тогда так как — середина По теореме Пифагора из треугольника получаем По теореме Пифагора из треугольника получаем С другой стороны, по теореме Пифагора из треугольника имеем Таким образом, то есть

Так как и перпендикулярны, то и перпендикулярны. Из прямоугольного треугольника

Таким образом,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть пересекает в точке — в точке Пусть Тогда из условия следует, что так как — середина поэтому

По теореме Менелая для треугольника и прямой

Таким образом, поэтому Пусть По теореме Менелая для треугольника и прямой

Таким образом, Так как по условию является перпендикуляром к плоскости то и перпендикулярны. Тогда по теореме Пифагора из треугольника получаем То есть По теореме Пифагора для треугольника

Таким образом, Пусть — основание высоты пирамиды Углы между плоскостями равны углам между перпендикулярами к ним, поэтому

Из прямоугольного треугольника получаем Так как — точка пересечения медиан правильного треугольника то Тогда

Таким образом,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение.

Пусть искомый угол это Обозначим пересечение плоскости с ребрами точками соответственно. — середина ребра следовательно, тоже середина ребра, так как пирамида правильная. По условию Обозначим длину как тогда получаем, что

В треугольнике

Тогда по теореме косинусов для треугольника получаем

Обозначим середину ребра точкой Тогда треугольник правильный, так как треугольник правильный, а также плоскость параллельна плоскости основания. — средняя линия в треугольнике следовательно, Обозначим точкой середину В треугольнике

так как треугольник правильный.

Так как плоскость параллельна плоскости основания, то найдем угол между этой плоскости и плоскости

Так как — середина, то В прямоугольном треугольнике находим, что

Тогда

Воспользуемся свойством корня от частного двух положительных чисел и сложим полученные дроби:

Приведём к общему знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов

Первое решение.

Пусть данное число является квадратом натурального числа Тогда:

Так как первый сомножитель меньше второго, то получаем три случая:

1.

Вычтем из второго уравнение первое, получим, что А значит, — не натуральное число.

2.

Аналогично первому случаю, получаем, что

3.

Получаем, что

Итак, сумма подходящих равна

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Ясно, что подходит, потому что При заметим, что

так как

Но при этом

Значит, возможна только ситуация, когда

В итоге сумма подходящих значений равна

Запишем ОДЗ:

Домножим обе части исходного неравенства на

Сделаем замену получим

Тогда при обратной замене

Решим неравенства по-отдельности:

1)

Применим метод рационализации

С учётом ОДЗ получаем

2)

Применим метод рационализации

С учётом ОДЗ получаем

Пересекаем полученные полученные значения и получаем итоговый ответ

Воспользуемся тем, что

Сделаем замену получим

Тогда при обратной замене

Заметим, что поэтому второе равенство невозможно, значит,

Заметим, что

поэтому четырёхугольник вписанный, а значит,

Точки лежат на одной окружности по условию, поэтому

Вспоминая то, что по условию ещё и точки лежат на одной окружности, получим:

Значит,

По условию — решение системы

Вычтем из первого уравнения второе, тогда получим Из второго вычтем третье: Многочлены в левых частях этих уравнений не являются тождественными нулями, поскольку И — общий корень этих квадратных уравнений, поскольку каждое из этих уравнений — разность двух уравнений с общим корнем Заметим, что теперь максимальная степень в уравнениях равна Попробуем ее уменьшить еще раз. Для этого первое из полученных уравнений умножим на и вычтем из него второе полученное уравнение, умноженное на Тогда получится

После раскрытия скобок, группировки слагаемых с в одной стороне и слагаемых без — в другой получаем следующее:

Заметим, что является корнем и этого уравнения.

Докажем, что коэффициент перед не равен нулю. По неравенству о средних Сложим все три неравенства и получим, что то есть Поскольку оценка получена с помощью неравенства о средних, то равенство возможно тогда и только тогда, когда По условию поэтому случай равенства невозможен. Таким образом, полученное уравнение можно разделить на коэффициент при откуда что означает

Мы доказали, что если эти три уравнения имеют общий корень, то этот корень равен Осталось привести пример подходящих и Для этого подставим в исходную систему. Тогда мы получим три одинаковых уравнения вида Подходят, например,

Так как плоскость перпендикулярна высота пирамиды лежит в грани Без ограничения общности можно считать, что сфера касается плоскости в точке лежащей на высоте (этого можно добиться, если выполнять перенос сферы параллельно плоскости основания пирамиды).

Пусть сфера касается плоскости в точке Докажем, что точки и лежат в одной плоскости и эта плоскость содержит . Пусть — центр сферы. — перпендикуляр к плоскости так как это отрезок на высоте пирамиды. — точка касания сферы и поэтому и перпендикулярны. Таким образом, и параллельны, поэтому лежат в одной плоскости (тогда и лежит в этой плоскости). так как эти отрезки являются основаниями трапеции Тогда плоскость параллельна прямой Докажем, что

Мы уже знаем, что Теперь заметим, что все три угла и — прямые, поэтому — прямоугольник. Тогда — перпендикуляр к плоскости так как и перпендикулярны. Таким образом, Тогда, действительно, и поэтому Точка лежит в плоскости Эта плоскость перпендикулярна при этом — прямая, перпендикулярная Тогда тоже лежит в плоскости

Ранее мы отмечали, что — прямоугольник. Так как — радиусы сферы, то на самом деле этот прямоугольник является квадратом. тогда — отрезки касательных. Пусть плоскость пересекает в точке

Пусть (эти отрезки действительно равны, как отрезки касательных). По теореме Пифагора для

Решаем это уравнение и получаем Теперь через точку проведем прямую параллельную причем и Тогда — это сечение пирамиды плоскостью Действительно, плоскость пересекает по прямой, параллельной при этом Поэтому, действительно, линия пересечения и параллельна поэтому совпадает с

Теперь по теореме Фалеса для углов и получаем: и аналогично

Продлим и до пересечения в точке

По условию поэтому точки и соответственно середины и Пусть Ясно, что Применяем теорему Менелая к и прямой

поэтому Пусть — объем пирамиды Пирамида имеет общую высоту с нашей пирамидой Треугольники и подобны с коэффициентом поэтому Тогда получаем, что причем — основание пирамиды если принять за ее вершину. По формуле объема пирамиды:

По теореме о пирамидах с общим трехгранным углом при вершине:

Таким образом, Снова по теореме о пирамидах с общим трехгранным углом при вершине:

Таким образом, Тогда — одна из частей, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду Объем второй части равен Тогда требуемое по условию отношение равно

Воспользуемся свойством суммы логарифмов:

Первое решение.

Если цифра в разряде десятков нечётна (таких случаев 5), то каждому подходящему числу можно сопоставить неподходящее число на единицу больше. В каждом таком десятке будет 5 пар, поэтому сумма неподходящих чисел в таких десятках на больше.

Если цифра в разряде десятков чётна (таких случаев 4, потому что 0 не может быть числом десятков двузначного числа), то каждому подходящему числу можно сопоставить неподходящее число на единицу меньше. В каждом таком десятке будет 5 пар, поэтому сумма неподходящих чисел в таких десятках на меньше.

В итоге сумма подходящих на меньше, чем сумма неподходящих. Так как все двузначные числа учитываются приведённым соответствием, то получаем уравнение

Второе решение.

Отдельно сгруппируем суммы подходящих чисел с первой нечётной цифрой и отдельно с первой чётной, а далее заметим, что в каждом десятке по 5 подходящих чисел

Для начала выпишем ОДЗ этого неравенства:

Первые два условия уже обеспечивают выполнение третьего, так как не может быть одновременно Поэтому ОДЗ задаётся системой

С учётом ОДЗ мы можем домножить наше неравенство на положительный знаменатель, получим

Так как — строго возрастающая функция, то знак разности функций (левой части) будет совпадать со знаком разности аргументов, поэтому получаем

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ

По формуле косинуса тройного угла Заметим, что так как в противном случае, по основному тригонометрическому свойству что противоречит равенству. Значит, мы можем поделить на ненулевое число

Воспользуемся следующей формулой:

Имеем:

Пусть Тогда:

Заметим, что — решение этого уравнение, значит можно разделить на Получим:

Тогда или Откуда получаем ответ

Докажем, что Для этого покажем, что они состоят из одинаковых углов.

так как они опираются на одну дугу окружности, описанной около треугольника А также из того, что вписанный следует, что

Таким образом, показано, что Совершенно аналогично доказывается, что

В итоге

Поделим второе уравнение на первое (так как обе части первого уравнения положительны). Отношение первых скобок равно

Аналогичное равенство имеет место для второй и третьей скобок, тогда после деления получим:

С учетом того, что и того, что все числа положительные (тогда мы можем перемножать неравенства), получим:

А значит, наше равенство выполняется только в случае то есть в случае равенства всех переменных. Тогда подставляя в первое уравнение, получим