Тема ДВИ по математике в МГУ

ДВИ в МГУ - задания по годам → .01 Вступительные в МГУ 2010 и ранее

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Разделы подтемы ДВИ в МГУ - задания по годам

Вступительные в МГУ 2010 и ранее

ДВИ 2011

ДВИ 2012

ДВИ 2013

ДВИ 2014

ДВИ 2015

ДВИ 2016

ДВИ 2017

ДВИ 2018

ДВИ 2019

ДВИ 2020

ДВИ 2021

ДВИ 2022

ДВИ 2023

ДВИ 2024

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104846

Решите систему уравнений

{ 3xy = 4x+ 8, -x+1 y = log2x

Источники: Вступительные в МГУ - 2010 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В системах уравнений, где есть какая-то кракозябра и нормальное уравнение (а это почти каждая задача с физтеха) надо сначала поработать с нормальным уравнением, как-то его попреобразовывать, чтобы оно дало нам некоторую связь на переменные, которую мы могли бы использовать для упрощения кракозябры. Наиболее нормальным (хотя вообще-то оба так себе) кажется второе, поскольку там хотя бы явно выражен y. При этом что-то похожее на первое уравние у нас появляется во втором, если домножить на знаменатель обе части второго. А как нам это помогает при решении системы?

Подсказка 2

Если мы помножим на знаменатель и внесем y в логарифм, то логарифмируемое выражение будет x^y, что дает нам большую схожесть с первым уравнением. При этом в правой части у нас тоже некоторый логарифм, который тоже очень похож на выражение в правой части первого уравнения. Сделайте преобразования и, учитывая ограничения, найдите решения системы.

Показать ответ и решение

По свойству логарифмов второе уравнение системы на ОДЗ $x> 0,x ⁄=1$ равносильно

y x +1 =ylog2 x= log2x

Подставляя $xy = 2x+1$ в первое уравнение, получаем

x 22x-+8- 2⋅2 = 3

22x− 6⋅2x+ 8= 0

2x = 2 2x =4 x= 1 x =2

В ОДЗ входит только $x = 2,$ тогда

y = 2+1-= 3 log22

Ответ: (2, 3)

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#65352

Найдите все функции $f$ , удовлетворяющие уравнению

3 f(x)+ (x − 2)f(1)+ 3f(0)= x +2, x ∈ℝ

Источники: Вместо ЕГЭ - 2008

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас в уравнении есть f(0) и f(1), поэтому логично попробовать их найти, подставив что-то в уравнение.

Подсказка 2

Тут выгодно подставить 0 и 1 вместо x и из полученной системы найти f(0) и f(1).

Подсказка 3

Остаётся только подставить найденные значения f(0) и f(1) в исходное уравнение и найти f(x).

Показать ответ и решение

При $x= 1$

f(1)− f(1)+ 3f(0)= 3 =⇒ f(0)=1

При $x= 0$

f(0)− 2f(1)+ 3f(0)= 2 =⇒ f(1)= 1

Получим найденные константы $f(0)$ и $f(1),$ получим

3 3 f(x)+ (x − 2)+ 3= x +2, ⇐⇒ f(x)= x − x+1

Ответ:

$f(x)= x3 − x+ 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90850

Точки $A,B$ и $C$ лежат на окружности радиуса 2 с центром $O$ , а точка $K−$ на прямой, касающейся этой окружности в точке $B$ , причем $∘ ∠AKC = 46$ , а длины отрезков $AK,BK, CK$ образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол $AKO$ и расстояние между точками $A$ и $C.$ Какой из углов больше: $ACK$ или $AOK?$

Источники: Вступительные на МехМат МГУ, 2007, задача 4 (см. www.mathnet.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала разберёмся аккуратно с чертежом! Из условия мы сразу можем понять: какой из отрезков АК, ВК, СК больший, а какой – меньший. Попробуйте из этого установить, где мы имеем дело с секущей, а где – с касательной? Достройте точки пересечения проводимых прямых с окружностью – они нам пригодятся!

Подсказка 2

Как можно использовать данную нам прогрессию из длин? Может быть какие-то отрезочки удачно выражаются друг через друга?) А можно ли эти же отрезки связать друг с другом иначе – какие теоремы о касательных и секущих нам известны?

Подсказка 3

Итак, мы видим геометрическую прогрессию, попробуйте выразить ВК через два других отрезка. Свойство секущих, проведённых из одной точки, помогает нам увидеть на картине равнобедренный треугольник! Запишите сразу его уголочки :)

Подсказка 4

Симметрия поможет нам понять, на какой прямой лежит центр окружности. Один из искомых уголочков у нас в кармане!

Подсказка 5

Какая теорема хорошо ищет длины сторон в треугольнике при известном радиусе описанной окружности?) Найдите треугольник со стороной АС и примените её. Тригонометрии в ответе не стоит бояться :)

Подсказка 6

Обнаруженная ранее биссектриса, а также точное применение свойств вписанных и центральных углов поможет нам в ответе на последний вопрос задачи.

Показать ответ и решение

Сначала заметим, что $KA$ и $KC$ не могут быть касательными, поскольку их длина отличается от длины $KB$ , тогда они обе секущие, причём расположение точек именно такое, поскольку прогрессия возрастает.

$PIC$

По свойствам отрезков секущей

BK2 = AK ⋅A1K =CK ⋅C1K

AK = C1K,CK = A1K

То есть $KCA1$ — равнобедренный и в силу симметрии центр окружности лежит на его биссектрисе, откуда

1 ∠AKO = 2 ⋅46∘ =23∘

Из той же равнобедренности

180∘-− 46∘ ∘ ∠AA1C = 2 = 67,

откуда по теореме синусов:

∘ AC =2R ⋅sin∠AA1C = 4sin67

Наконец, в силу симметрии $AT = C1T =∠AOK = 1AC1 = ∠ACK 2$ (имеются в виду дуги).

Ответ:

$23∘,$

$∘ 4sin67,$

углы $ACK$ и $AOK$ равны.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90852

Найдите наибольшее значение выражения

∘ ---------- ∘---------- ∘ ---------- (x − 1)(y − x)+ (7− y)(1− x)+ (x − y)(y − 7)

при $x∈ [−2;3]$ и $y ∈[0;11]$ .

Источники: Вступительные на МехМат МГУ, 2007, задача 5 (см. www.mathnet.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала хотелось бы немного упростить исходное выражение. Стоит присмотреться и попытаться найти что-то общее под корнями.

Подсказка 2

Наблюдаем, что всего под корнями есть три различных множителя, если вынести минусы из скобок: a = x-1, b = y-x, c = y-7.

Подсказка 3

Также стоит обратить внимание на ОДЗ. Очень часто это позволяет совершить равносильный переход и сильно упростить задачу. Что мы можем получить из условий на произведения: ab ≥ 0, ac ≥ 0, bc ≥ 0?

Подсказка 4

Вероятнее всего, среди чисел a, b, c затерялся нолик, ведь в противном случае все 3 неравенства не могут быть выполнены (подумайте почему так, посмотрите на то, как зависят знаки чисел a, b, c друг от друга)

Подсказка 5

Остается проверить 3 случая, когда среди чисел есть ноль. В каждом случае задача будет сведена к поиску максимального значения функции от одной переменной на заданном отрезке, с чем мы уже очень хорошо знакомы.

Показать ответ и решение

Пусть среди $a= x− 1, b= y− x, c=y − 7$ нет нулевых. Тогда поскольку из ОДЗ $ab≥ 0, ac ≥0, bc≤ 0$ , то $a$ и $b$ имеют один знак, $a$ и $c$ имеют один знак, но $b$ и $c$ имеют разные — противоречие.

Значит, среди скобок есть нулевая, разберём 3 случая:

I.

$a= x− 1= 0, x= 1$

Выражение примет вид $∘ ---------- ∘---------- (1 − y)(y − 7)= − y2+8y− 7$ . Максимум такого выражения достигается в вершине $yB = 4∈ [0,11]$ и равен $√---------- −16+ 32− 7 =3$ .

II.

$b= y− x= 0, x= y$

Поскольку переменные равны, то каждая из них принимает значения на $[0,3]$ , а выражение примет вид $∘ (7−-x)(1−-x)= √x2−-8x-+7-$ . Поскольку вершиной будет $xB = 4$ , то выбрать надо наиболее отдалённую от неё точку $x= 0$ , в которой получим $√7< 3$ .

III.

$c= y− 7= 0, y = 7$

Выражение примет вид $∘ ---------- √---------- (x − 1)(7− x)= −x2+ 8x− 7≤ 3$ .

То есть максимальным значением будет 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#47921

При каких значениях параметра $a$ уравнение

||2x-− 1|| |x|+ ||3x − 2||= a

имеет ровно три решения?

Источники: Вступительные на химический факультет МГУ, 2005 год, задача 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Для понимания происходящего в этой задаче попробуйте рассмотреть, на какие области эта функция делит плоскость!

Подсказка 2!

Да, это: x∈ (−∞,0) x ∈[0,1/2) x ∈[1/2,2/3) x ∈(2/3,+∞). Тогда проанализируем поведение функции на наших промежутках (Попробуйте понять монотонность, используя производную)

Подсказка 3!

Нам надо понять, когда наша функция пересекает прямую g(x) = a всего один раз! Для этого можно схематично изобразить функцию 9Так как перед этим вы ее проанализировали) и понять, какие точки - точки экстремума (в иных точках у нес будет 2 пересечения минимум)

Подсказка 4!

Альтернативная подсказка: Так как у вас в задаче просят нечетное число решений, попробуйте найти симметрию. То есть пусть х решение, тогда (какая-то дробь) будет тоже являться решением! Поразительно дробь похожа на само уравнение.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Разделим всю плоскость на промежутки по нулям модуля, обозначив $|2x−-1|- f(x)=|x|+ |3x− 2|$ .


Промежуток	$x∈ (−∞,0)$	$x ∈[0,12)$	$x ∈[12,23)$	$x ∈(23,+∞)$

Функция $f$ на нём	$− x+ 23xx−−12$	$x + 23xx−−12$	$x− 2x3x−−12-$	$x + 23xx−−12$

Производная $f′$	$− 1− (3x1−2)2-$	$1 −(3x−12)2$	$1+ (3x1−2)2-$	$1 −(3x−12)2$

Нули производной	всюду $<0$	$13$	всюду $> 0$	$1$

Поведение функции	убывает	выпукла	возрастает	вогнута

Область значений	$(1,+∞ ) 2$	$[1,2) 2 3$	$[1,+ ∞) 2$	$[2,+∞ )$

Итак, монотонная функция на своей области значений будет иметь ровно одну общую точку с любой горизонтальной прямой $g(x)=a$ , тогда как выпуклая или вогнутая — две точки, кроме точки экстремума, в которой общая точка будет ровно одна.

Используя полученные области значений, можно изобразить функции схематично или вручную пройти по всем границам промежутков... мы используем первый способ:

$PIC$

Нетрудно видеть, что интересующие нас значения $a∈{ 23,2}$ .

Второе решение.

В условии требуется нечётное число решений, так что хочется найти симметрию. Обозначим $f(x)= 23xx−−12$ . Внезапно заметим, что

f(f(x))= 223xx−−12 −-1=-2(2x−-1)− (3x−-2)-= 4x−-2−-3x-+2 =x 323xx−−12 − 2 3(2x− 1)− 2(3x− 2) 6x− 3− 6x +4

Поэтому если у уравнения существует решение $x =x0$ , то $x = 23xx00−−12$ тоже решение. Если для каждого такого $x0$ нет совпадений в паре $(x,f(x))$ , то решений чётное число. Так что для наличия трёх решений необходимо, чтобы среди них было такое $x =t$ , что $t= 23t−t−-12 =⇒ 3t2− 2t− 2t+1= 0 ⇐⇒ t∈ {1;13}.$

При $x =1$ получаем $a= 2$ , при $x = 13$ получаем $a= 23$ . При других значениях параметра ровно трёх решений быть не может.

Осталось проверить, что эти значения параметра подходят...

Интересный факт. Такая симметрия $x <− > f(x)$ сработала, потому что квадрат матрицы

( ) 2 −1 3 −2

равен

(1 0) 0 1

единичной матрице.

Ответ:

${2,2} 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#99393

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается его сторон в точках $K,N$ и $M.$ Известно, что в треугольнике $KNM$ угол $M$ равен $∘ 75,$ произведение всех сторон равно $√ - 9+6 3,$ а вершина $K$ делит отрезок $AC$ пополам. Найдите длины сторон треугольника $ABC.$

Источники: Вступительные в МГУ - 2004 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала стоит задуматься о том, что вообще может нам дать условие про вписанную окружность, как мы можем воспользоваться тем, что стороны треугольника являются касательными к ней?

Подсказка 2

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Запишем этот факт для всех касательных и дополнительно учтем условие AK=KC. Какой вывод можем сделать?

Подсказка 3

Треугольник АВС является равнобедренным. Отсюда же понимаем, что N и M делят боковые стороны в равных отношениях

Подсказка 4

В итоге имеем, что AC || NM. Также, используя факт об угле между хордой и касательной, мы получаем большой простор для счета углов!

Подсказка 5

Теперь надо воспользоваться условием на произведение сторон △KMN. Стандартный подход: выразить все стороны через одну неизвестную. Удобно в качестве нее взять радиус описанной окружности около KMN.

Подсказка 6

Мы знаем все углы треугольника, тогда можем выразить все стороны с помощью теоремы синусов!

Подсказка 7

Теперь нужно стороны △АВС выразить через стороны △KMN, которые мы знаем. В таких ситуациях очень часто спасает подобие треугольников!

Подсказка 8

Из подобия △ANK и △KMN можем найти AK, а из подобия △ABC и △KMN найдем NM (не забывайте про равные отрезки касательных!)

Показать ответ и решение

Так как $K,M,N$ — точки касания вписанной окружностью сторон треугольника $ABC,$ то $BM =BN, AN = AK,CM = CK.$ Из $AK = CK$ следует, что $AB = BC,$ а в треугольнике $∘ ∘ KMN − ∠N = ∠M = 75 ,∠K = 30 .$

$PIC$

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность является описанной около треугольника $KNM.$ Пусть $R$ — ее радиус, тогда

MN =2R sin30∘ = R,MK = NK = 2Rsin75∘ = √R-(√3-+1) 2

Вычисляя произведение $MN ⋅MK ⋅NK,$ находим, что

√- √ - √3(√3+ 1) R= 3,MN = 3,MK =NK = ---√2----

Угол $ANK,$ как угол между касательной и хордой, равен углу $NMK,$ так что $∠ANK = ∠AKN = 75∘,$ поэтому треугольники $ANK$ и $KNM$ подобны. Следовательно,

√- -AK = KN-, и AK = 2 3+ 3 KN NM

значит, $AC = 2AK = 6+ 4√3.$ Наконец, из подобия равнобедренных треугольников $ABC$ и $NBM$ вытекает равенство

AN-+BN-- AC-- BN = NM , откуда BN = 1

Таким образом, $√- AB = BC =AN + BN = 2 3+ 4.$

Ответ:

$2√3 +4,2√3+ 4,4√3 +6$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#99414

Дана сфера радиуса $1$ с центром в точке $O.$ Из точки $A,$ лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках $B1$ и $C1,$ второй — в точках $B2$ и $C2,$ третий — в точках $B3$ и $C3,$ четвертый — в точках $B4$ и $C4.$ Прямые $B1B2$ и $C1C2$ пересекаются в точке $E,$ прямые $B3B4$ и $C3C4$ — в точке $F.$ Найдите объем пирамиды $OAEF,$ если $AO = 2,EO = FO =3,$ а угол между гранями $AOE$ и $AOF$ равен $∘ 30 .$

Источники: Вступительные в МГУ - 2004 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ох и непростая получилась картинка к задаче! Определимся что у нас есть и чего не хватает?) А известно нам на самом деле не так уж мало: 3 из 6-ти сторон искомой пирамиды и угол между её гранями. Было бы хорошо узнать ещё какие-нибудь его рёбра)

Подсказка 2

Найти EF при известных боковых других рёбрах будет не так уж сложно, пользуйся известным нам углом между гранями. Поэтому сосредоточимся для начала на АЕ и AF. Что нам здесь может помочь?

Подсказка 3

Мы знаем классное свойство секущих шара (очень-очень напоминающее свойство секущих в окружности!), его можно будет здесь применить, но как же связать эти секущие с АЕ?

Подсказка 4

Рассмотрим плоскость, построенную на пересекающихся ЕВ₁ и ЕС₁: в ней уже можно применить обсуждённое выше свойство, но для полноты картины нужна точка на АЕ – пусть это будет точка пересечения АЕ с окружностью, описанной вокруг АВ₁В₂. Попробуйте доказать, что через эту же точку пройдёт описанная окружность треугольника ЕС₂В₂

Подсказка 5

Работа со свойствами секущих в окружностях и в шаре поможет нам установить числовые значения АМ*AE и EM*EA – этого достаточно, чтобы найти длину квадрата АЕ

Подсказка 6

Аналогичные действия помогут нам выразить AF! Что теперь можно сказать про соседние грани нашего тетраэдра?

Подсказка 7

Перпендикуляры к общей стороне двух равных треугольников явно упадут в одну точку! В этой же плоскости (образованной двумя перпендикулярами) удобно провести высоту пирамиды. Нетрудные планиметрические рассуждения (высота треугольника, в котором известны все стороны и работа с прямоугольным треугольником с углом в 30°) добивают нашу задачу!

Показать ответ и решение

Рассмотрим сечение сферы плоскостью $B B C C . 1 2 1 2$ Пусть $M$ — вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $AB1B2$ и $EC2B2.$ Из цепочки равенств

∘ ∠AMB2 = 180 − ∠AB1B2 =

= ∠C B B = 180∘− ∠C C B =∠EC B = 180∘− ∠EMB 1 1 2 1 2 2 2 2 2

следует, что точка $M$ лежит на отрезке $AE.$ По теореме о равенстве произведений отрезков секущих,

AM ⋅AE = AB2⋅AC2 =(AO − r)(AO + r)=AO2 − r2 =3

(здесь $r=1$ — радиус сферы). Точно так же $EM ⋅EA= EO2 − r2 =8.$ Отсюда $AE2 = AE(AM + EM )= 11.$ Аналогично получаем $AF 2 = 11.$ Значит, грани $AOE$ и $AOF$ равны по трем сторонам и имеют площадь $√-- S =-325$ по формуле Герона(нам известны все три стороны).

$PIC$

Давайте теперь найдём высоту грани $AOE.$ Опустим перпендикуляр $EH.$ Посчитаем длину через подсчёт площади двумя способами:

√35- EH -2- = -2-⋅2

Откуда $√35 EH = -2 .$ Рассмотрим теперь плоскость $EHF$ и опустим в ней высоту $ER.$ Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $F H$ будет перпендикулярно $AO.$ Тогда из условия понимаем, что $∠EHF = 30∘,$ так как это и будет угол между плоскостями. К тому же $AO$ перпендикулярно всей плоскости $EF H,$ так как он перпендикулярен двум прямым из этой плоскости. Но тогда $ER$ перпендикулярно $FH$ и $AO,$ откуда $ER$ — это перпендикуляр к плоскости. Тогда найдём $ER$ и решим задачу. Из прямоугольного треугольника $HER$ с углом $30∘$ понимаем, что $√-- ER = -345.$ Отсюда объём пирамиды будет:

√-- √ -- VAEFO = 1⋅ER ⋅SAOF = 1 ⋅-35⋅-35= 35 3 3 2 4 24

$PIC$

Ответ:

$35 24$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#113126

Какую максимальную площадь может иметь четырёхугольник, стороны которого последовательно равны $1− 7a,7− 6a,5− 3a$ , $14a +5?$ Найти все значения $a,$ при которых она достигается.

Источники: Вступительные в МГУ - 2001 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не очень понятно, как искать площадь четырёхугольника, про который мы практически ничего не знаем. Давайте попробуем разбить нашу фигуру на фигуры поменьше и попроще.

Подсказка 2

Проведём диагональ и получим два треугольника, у каждого из них мы знаем по две стороны. Обозначим углы между этими сторонами как α и β и посчитаем площадь. Как теперь можно оценить полученное выражение?

Подсказка 3

Верно, мы знаем, что синус не больше единицы! Запишем неравенство и найдём максимальное значение площади. А когда достигается такое значение?

Подсказка 4

Правильно, когда углы α и β прямые! Но тогда фигуры, которые мы получили — это два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой. Запишите для них теорему Пифагора и приравняйте гипотенузы, чтобы найти а. Не забудьте проверить, что при найденных значениях все стороны исходного четырёхугольника положительны.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $S$ — площадь данного четырёхугольника, $α$ — угол между соседними сторонами, равными $1− 7a$ и $7− 6a,$ а $β$ — угол между соседними сторонами, равными $5− 3a$ и $14a +5.$ Тогда

S = 1⋅(1− 7a)⋅(7− 6a)sinα + 1⋅(5 − 3a)⋅(14a+ 5)sinβ ≤ (1− 7a)⋅(7− 6a)+ (5− 3a)⋅(14a+-5)= 2 2 2 2

= 7−-49a− 6a+-42a2+ 70a-− 42a2+25−-15a= 32= 16 2 2 2

Оценка достигается при $sin α= sinβ = 1,$ ведь иначе знак неравенства изменится на строгий и $S < 16.$ Итак, максимальную площадь имеет четырёхугольник, составленный при $a= 0$ из двух прямоугольных треугольников с катетами $1− 7a,$ $7− 6a$ и $5− 3a,14a+ 5$ с общей гипотенузой, поэтому

2 2 2 2 (1− 7a) +(7− 6a)= (5− 3a) + (14a+ 5)

2 2 2 2 1+ 49 − 14a− 84a+ 49a +36a = 25+25− 30a+140a+ 9a + 196a

0 =208a+ 120a2

8a(26+15a)= 0

Если $26+15a= 0,$ то одна из сторон четырёхугольника окажется отрицательной

14a +5= 15a− a+5 =− 26 + 2615-+5 =− 21 + 2165 <0

Этого быть не может.

При $a= 0$ действительно, поскольку $12+ 72 = 52+52,$ условию задачи удовлетворяет четырёхугольник, составленный из двух прямоугольных треугольников с катетами 1, 7 и 5, 5 с общей гипотенузой, равной $-- √50.$

$PIC$

Ответ:

16 при $a= 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#113667

Решите уравнение

|x− 1|+ |x +1|+|x− 2|+ |x +2|+ ⋅⋅⋅+|x− 100|+ |x+ 100|= 200x.

Источники: Вступительные в МГУ - 2001 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним какое-то полезное неравенство, в котором использовалась сумма модулей!

Подсказка 2

|a| + |b| >= |a+b|. Отлично, теперь мы можем записать цепочку неравенств и получить ограничения на x ;)

Подсказка 3

Попробуйте раскрыть модули в сумме |x+k| + |x-k|

Подсказка 4

Иногда |x+k| + |x-k| больше, чем нам нужно) Когда?

Показать ответ и решение

Так как $|a|+ |b|≥|a+ b|,$ то получаем, что

200x= |x+1|+ |x− 1|+|x− 2|+ |x +2|+⋅⋅⋅+|x+ 100|+|x− 100|≥

≥|x+1 +x − 1|+|x− 2+ x+2|+ ...+ |x+ 100 +x − 100|= 200|x|

200x≥ 200|x|

Это равносильно $x≥ 0.$

При $x≥ k,$ где $k= 1,...,100:$

|x +k|+ |x− k|= x+k +x − k= 2x

При $x< k,$ где $k= 1,...,100:$

|x+k|+ |x− k|= x+k +k − x =2k> 2x

Отсюда видно, что при $x ≥100$ равенство выполнено (так как у нас 100 пар с суммой $2x$ ), но если же $x< 100,$ то сумма модулей будет больше $200x.$

Ответ:

$[100;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#105453

Какое наибольшее число членов может содержать конечная арифметическая прогрессия с разностью $4$ при условии, что квадрат ее первого члена в сумме с остальными членами не превосходит $100?$

Источники: Вступительные в МГУ - 1996 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задача с арифметической прогрессией, поэтому сразу обозначим её первый член за a₁. Чему тогда равна сумма первых n членов прогрессии?

Подсказка 2

Сумма первых n членов равна (a₁ + 2(n-1))n. Отлично, как тогда записывается условие задачи?

Подсказка 3

По сути, мы решаем квадратное неравенство a₁² + (a₁ + 2(n-1))n - a₁ ≤ 100. Если прогрессия существует, то мы найдем a₁. При каких условиях это произойдёт?

Подсказка 4

Запишем условие на дискриминант квадратного неравенства!

Показать ответ и решение

Пусть $a 1$ — первый член арифметической прогрессии, разность $d= 4,$ $n$ — количество членов прогрессии, $S$ — сумма прогрессии. Тогда выразим $S :$

2a1 +4(n− 1) ----2------⋅n = (a1+ 2(n − 1))⋅n

В соответствии с условием, сумма первого члена в квадрате и остальных членов (без первого) не превосходит 100, то есть:

a21+ (a1+ 2(n − 1))⋅n− a1 ≤100

a21 +a1(n − 1)+ 2n2− 2n − 100≤ 0

Если у данного уравнения существуют решения, то такая прогрессия (с найденным $a1$ ) существует. Решения существуют, если дискриминант данного выражения неотрицательный, то есть:

2 2 (n − 1) − 8n + 8n+ 400≥0

−7n2+ 6n+ 401≥ 0

Из неравенства следует $3+ 16√11- n< ---7----,$ поэтому $n ≤8.$

$n= 8$ уже возможно, например, при $a1 = −3,$ тогда сумма из условия как раз в точности равна $9+ (−3 +14)⋅8+3 =100.$

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#105474

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2( 2x−x2) √- (2x−x2+1) 2cos 2 = a+ 3sin 2

имеет хотя бы одно решение.

Источники: Вступительные в МГУ - 1996 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какая часть уравнения повторяется настолько, что её хочется заменить?)

Подсказка 2

Сделайте замену t = 2^(2x-x²). Как можно преобразовать квадрат косинуса?

Подсказка 3

Преобразуем квадрат косинуса по формуле понижения степени! А как мы решаем уравнения, где синус и косинус присутствуют только в первых степенях? ;)

Подсказка 4

Воспользуйтесь методом вспомогательного угла!

Подсказка 5

Получим уравнение, в одной части которого лежит sin(2t - π/6). А какие тогда есть ограничения на значения другой части? :)

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=22x−x2.$ Так как $2x− x2$ — это парабола с ветвями вниз, то максимум достигается в вершине, в данном случае при $x =1,$ тогда $t∈(0;2].$ Преобразуем наше уравнение:

2 √ - 2 cos t= a+ 3sin2t

√ - 1+cos2t=a + 3sin2t

1− a =√3-sin2t− cos2t

( ) 1−-a= sin 2t− π 2 6

Учитывая ограничение на $t,$ правая часть может принимать значения $( ] − 1 ;1 , 2$ тогда $a∈ [−1;2).$

Ответ:

$[−1;2)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#113668

Сколько корней имеет уравнение

2 |x − 2|x|+ 1|= 3|2− x|− 1?

Источники: Вступительные в МГУ - 1995 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что похоже подмодульное выражение слева? Давайте преобразуем его!

Подсказка 2

Подмодульное выражение слева является полным квадратом! Тогда и модуль можно убрать ;)

Подсказка 3

Посмотрите, при каких x подмодульные выражения меняют знаки, и разберите случаи!

Подсказка 4

Разберите случаи x > 2, 2 ≥ x > 0, 0 ≥ x.

Показать ответ и решение

Заметим, что слева можно выделить полный квадрат:

2 |(|x|− 1) |=3|2 − x|− 1

Квадрат неотрицателен, так что уравнение равносильно следующему

2 (|x|− 1) = 3|2− x|− 1

Разберем три случая: $x> 2, 2 ≥x >0, 0 ≥x.$

1) $x> 2.$ В этом случае после раскрытия модулей уравнение примет следующий вид

(x− 1)2 = 3(x− 2)− 1

x2− 5x +8 =0

D =(−5)2− 4 ⋅8 <0

То есть корней в таком случае нет.

2) $2≥x >0.$ В этом же случае после раскрытия модулей уравнение примет следующий вид

(x− 1)2 = 3(2− x)− 1

x2+ x− 4= 0

2 D = 1 − 4 ⋅(−4)= 17

−1+ √17 −1 − √17 x1 = ---2---, x2 =--2----

Второй корень меньше нуля, следовательно, он не подходит, а первый:

√ -- √-- 0< −1-+--17-< −1+--25= 2 2 2

Значит, первый корень в этом случае идёт в ответ.

3) $0>x.$ В этом же случае после раскрытия модулей уравнение примет следующий вид

(− x− 1)2 = 3(2− x)− 1

x2+ 5x − 4 =0

D = 52− 4 ⋅(−4)= 41

√-- √ -- x1 = −5+--41, x2 = −5-−-41 2 2

Первый корень положительный, а второй отрицательный. Значит, второй нам походит.

В итоге у нас 2 подходящих корня.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90947

Найдите все такие значения величины $x$ , при которых неравенство

2 (4− 2a)x + (13a− 27)x +(33− 13a)> 0

выполняется для всех $a$ , удовлетворяющих условию $1< a< 3.$

Источники: Вступительные на биологический факультет МГУ, 1994 год июль, номер 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким является данное неравенство относительно а?

Подсказка 2

Линейным! Тогда нам просто нужно записать его в виде k(x)a + b(x) > 0 и посмотреть, при каких значениях х в решения данного неравенства будут входить нужные нам ашки (не забудьте, что нам важно, какого знака выражение k(x)!)

Показать ответ и решение

Эта задача может запутать обозначением переменных. Тут параметр – $x,$ а независимая переменная – $a!$ Тогда перепишем исходное неравенство:

2 2 4x − 27x+ 33>(2x − 13x +13)a

То есть мы имеем линейное неравенство с переменной $a,$ параметром $x.$ Но коэффициент при $a$ может принимать разные знаки, поэтому разберем случаи:

1.

( √--) ( √-- ) 2x2− 13x+ 13> 0,x∈ − ∞;13−--65 ∪ 13+--65;+∞ 4 4

В таком случае можно поделить на это положительное число:

a < 4x2-− 27x+-33 2x2 − 13x+ 13

По условию $(1,3)$ должен быть решением этого неравенства, а значит:

4x2-− 27x+-33 2x2 − 13x+ 13 ≥ 3

С учетом положительности знаменателя:

4x2− 27x+ 33≥ 6x2− 39x+ 39

√ - √- x ∈[3− 6;3+ 6]

Пересекая все условия, получаем:

[ √- 13− √65) (13+ √65 √-] x ∈ 3− 6;---4--- ∪ ---4---;3+ 6

2.

{13− √65 13+ √65} 2x2− 13x+ 13= 0, x∈---4---;---4---

При таких значениях параметра неравенство обращается в истину, поэтому такие значения войдут в ответ.

3.

( √-- √--) 2x2− 13x+ 13< 0, x∈ 13−-65;13+--65 4 4

В таком случае неравенство имеем вид:

2 a > 4x2-− 27x+-33 2x − 13x+ 13

Тогда:

2 4x2-− 27x+-33≤ 1 2x − 13x+ 13

Решая оба неравенства, получим:

(13− √65 ] [ 13+ √65) x∈ ---4---; 2 ∪ 5;---4---

Объединяя эти случаи, получаем ответ.

Ответ:

$[3− √6;2]∪[5;3 +√6]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#91453

В пирамиде $ABCD$ проведено сечение $KMLN$ так, что точка $K$ лежит на ребре $AD,$ точка $M$ — на ребре $DC,$ точка $N$ — на ребре $AB,$ точка $L$ на ребре $BC,$ и $O$ — точка пересечения диагоналей $KL$ и $MN$ четырехугольника $KMLN.$ Сечение $KMLN$ делит пирамиду на две части. Найти отношение объемов этих частей, если известны следующие соотношения между длинами отрезков:

4⋅OL = 3⋅OK,25⋅ON = 24⋅OM,DK ⋅NA − KA ⋅BN = KA ⋅NA.

Источники: Вступительные на ВМК МГУ - 1987 (pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Одно из соотношений в условиях выглядит немного страшным, может быть, его можно как-то преобразовать в более приятный вид?

Подсказка 2

Заметим, что в нем два отрезка повторяются особенно часто, почему бы не поделить всё равенство на них?

Подсказка 3

Оба многогранника, отношение объёмов которых нужно найти, имеют на самую приятную форму, а значит, и их объёмы будет искать весьма неприятно, может быть, как-то можно сократить количество "неприятных" работ?

Подсказка 4

Если один из объёмов сможем выразить через объем пирамиды ABCD, то сможем сразу получить и второй! Самое время подумать, как можно выразить, например, объем многогранника DBKMLN через объем ABCD. Может быть, помогут какие-то доппостроения?

Подсказка 5

Объем сложных многогранников часто легко найти через сумму/разность более "простых", например, тетраэдров. Какими должны быть эти тетраэдры, чтобы можно было легко выразить один объем через другой?

Подсказка 6

Если два тетраэдра имеют общий трёхгранный угол, то отношение их объёмов будет равно отношению произведения трёх соответствующих рёбер, образующих трёхгранный угол. Поэтому давайте достроим наш многогранник DBKMLN до тетраэдра, имеющего общий угол с нашей пирамидой ABCD, соединив, например, прямые KN и ML в точке Р (не забудьте проверить, с какой стороны они будут пересекаться).

Подсказка 7

Получается, что мы сможем выразить объем DBKMLN через объем ABCD, если сможем выразить объем DKMP через объем ABCD, а объём DBKMLN через объём DKMP (что тоже можем сделать через разность "приятных" объёмов!). Значит, что необходимо знать, чтобы получилось выразить необходимые отношения объёмов?

Подсказка 8

Теперь осталось посчитать, в каких отношениях точки N, L, K, B и M делят соответственно отрезки PK, PM, AD, PD и CD, на которых они лежат. И тогда легко найти отношения длин рёбер, образующих нужные нам трёхгранные углы. А какая теорема лучше всего подходит для поиска отношений?

Подсказка 9

Да, именно теорема Менелая — у нас просто огромное количество треугольников и секущих, подходящих для её применения! Почему бы тогда не записать её для тех треугольников и секущих, для которых получатся нужные нам отношения или отношения, из которых легко получится посчитать нужные нам?

Подсказка 10

Почему бы не начать с треугольника KLP и секущей MN, для которых мы знаем по крайней мере одно из отношений сторон? Очевидный, но неочевидно полезный факт: (a+b)/b=a/b+1. Попробуйте записать равенство так, чтобы получилось его использовать.

Подсказка 11

Одно отношение мы знаем, но все равно остается еще два неизвестных нам отношения. Тогда почему бы не записать теорему Менелая для другого треугольника, в которой тоже будут участвовать эти же или связанные с ними отношения? (не забываем про неочевидно полезный факт)

Подсказка 12

С помощью неочевидно полезного факта из одной теоремы для треугольника KLP можно выразить PN/NK через PL/LM, а из второй для треугольника NMP — PL/LM через PN/NK. Осталось подставить одно в другой и найти PL/LM и PN/NK!

Подсказка 13

Теперь можно сделать что-то похожее для точек K, B и M. Какие треугольники стоит выбрать? Стоит обратить внимание на то, про какие отношения нам известно больше всего информации.

Подсказка 14

Из условия, преобразованного чуть ранее, известна связь между DK/KA и BN/NA, поэтому стоит выбрать треугольник, в котором участвует хотя бы одно из них (если не оба). И сразу по аналогии с нашими предыдущими действиями запишем и теорему Менелая для "парного" треугольника (не забудем про неочевидно полезный факт)

Подсказка 15

Получилось два равенства: одно для треугольника KDP, а второе для треугольника ADB. Как можно использовать равенство из условия, чтобы максимально сократить количество неизвестных отношений?

Подсказка 16

В отличие от DK/KA отношение BN/NA встречается только один раз, поэтому давайте избавимся от него! Теперь осталось два уравнения с двумя неизвестными отношениями DB/BP и DK/KA, которые можно и нужно найти :)

Подсказка 17

Осталось найти только, в каком отношении точка М делит CD, почему бы еще раз не "поменелаить"?) Считаем и легко выражаем нужные объёмы!

Подсказка 18

Наконец, зная все отношения, легко выразить объемы DKMP через ABCD, BLNP через DKMP и DBKMLN через разность DKMP и BLNP. Находим отношение объёмов ACKMLN и DBKMLN и празднуем победу!

Показать ответ и решение

$PIC$

Преобразуем соотношение из условия:

DK ⋅NA − KA ⋅BN = KA ⋅NA

DK BN KA-− NA- =1

BN-= DK- − 1 NA KA

Рассмотрим плоскость $KML.$ Проведем прямую $NT$ такую, что $NT$ || $ML,$ где $T$ — точка пересечения прямых $NT$ и $KL.$ Тогда $△NOT$ подобен $△MLO,$ откуда $TO= NO- ⋅OL = 18OK <OK, OM 25$ следовательно, точка $T$ лежит внутри отрезка $KL,$ откуда понимаем, что прямые $KN$ и $ML$ пересекутся под прямой $NL$ в точке $P.$ Кроме того, плоскости $PMD,$ $P DK$ и $PMK$ попарно пересекаются, значит, прямая $BD$ тоже пройдет через точку $P.$

$PIC$

Выразим $VACKMLN$ через второй нужный объем и объем пирамиды $ABCD$ :

VACKMLN = VABCD − VDBKMLN

Заметим также, что

V = V − V DBKMLN DKMP BLNP

Причем $VBLNP$ можно выразить $VDKMP$ , а $VDKMP$ — через $VABCD$ :

-VBLNP = PB-⋅-PL ⋅ PN VDKMP PD PM PK

VDKMP- DK- DP- DM-- VABCD = DA ⋅DB ⋅DC

Чтобы понять, в каких отношениях точки $N$ и $L$ поделили отрезки $P K$ и $PM$ соответственно, запишем теорему Менелая для $△KLP$ и секущей $MN$ :

PM- ⋅ LO-⋅ KN =1 ML OK NP

PL-+LM--⋅ 3⋅ KN =1 ML 4 NP

PN- 3 ( PL-) NK =4 1+ LM

Запишем также теорему Менелая для $△ NMP$ и секущей $KL$ :

PK NO ML KN- ⋅OM-⋅LP- =1

P-N +-NK 24- ML- KN ⋅25 ⋅LP = 1

PL 24( PN ) 24( 3( P L)) LM-= 25 1 +NK- = 25 1+ 4 1+ LM-

PL-= 6 LM

Отсюда получаем, что

PN-= 21 NK 4

Чтобы найти, в каком отношении точки $K$ и $B$ делят отрезки $AD$ и $PD$ соответственно, запишем теорему Менелая для $△ KDP$ и секущей $AB$ :

DA- KN- PB- AK ⋅NP ⋅BD = 1

DK--+KA- 4- PB- AK ⋅21 ⋅BD = 1

DB 4 ( DK ) BP-= 21 1+ KA-

Также запишем теорему Менелая для $△ ADB$ и секущей $KP$ :

DP-⋅ BN-⋅ AK-= 1 P B NA KD

( ) ( ) ( ( )) ( ) DK-= DB-+-BP-⋅ BN = 1+ DB- DK- − 1 = 1+ 4- 1+ DK- DK- − 1 KA PB NA BP KA 21 KA KA

2 DK2-= 25 KA 4

DK-= 5 > 0 KA 2

Теперь найдем и

DB- 2 BP = 3

Осталось только найти, в каком отношении точка $M$ делит отрезок $CD.$ Для этого запишем теорему Менелая для $△ PDM$ и секущей $BC$ :

DC ML PB CM- ⋅LP-⋅BD- =1

DC- 1 3 CM ⋅6 ⋅2 =1

DC CM-= 4

И наконец найдем нужные отношения объемов:

VVBLNP = PPBD-⋅ PPML ⋅ PPNK-= 35 ⋅ 67 ⋅ 2215 = 15425 DKMP

VDKMP- = DK-⋅ DP-⋅ DM-= 5⋅ 5 ⋅ 3= 75 VABCD DA DB DC 7 2 4 56

Откуда можем выразить $V DBKMLN$ :

54- 71- 71- 75 213 VDBKMLN = VDKMP − VBLNP =VDKMP − 125VDKMP = 125VDKMP = 125 ⋅56VABCD = 280VABCD

Получается, что искомое отношение объемов:

VACKMLN--= VABCD-− VDBKMLN-= -VABCD---− 1= 280-− 1 = 67 VDBKMLN VDBKMLN VDBKMLN 213 213

Ответ: 67:213

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#105473

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ 3⋅2|x|+ 5|x|+4= 3y+ 5x2+3a 2 2 x + y = 1

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные в МГУ - 1987 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на систему и подумаем, что мы можем сделать, когда нам нужно единственное решение? Правильно, ищем симметрии в задаче, чтобы добыть из одного известного решения ещё какие-нибудь!

Подсказка 2

Если x=t корень, то и x=-t тоже корень, ведь уравнения чётны относительно х. Каким тогда должен быть единственный х?

Подсказка 3

Отлично, х=0 — это единственное решение! Осталось записать систему на а и у!

Подсказка 4

После постановки x=0 можно найти лишь два значения a, и в каждом случае несложно проверить существование других решений!

Показать ответ и решение

Если $x =t$ является решением при каком-то $y$ , то решением при том же $y$ также является и $x= −t,$ так что решений чётное количество, если среди решений нет $x= 0.$

По условию требуется единственное решение, поэтому $x= 0:$

{ 32+4 =3y+ 3a y =1

[ y = 1,a= 4 y = −1,a 3= 10- 3

Только при двух значениях $a$ решений может быть нечётное число. Проверим, при каком из этих $a$ это нечётное число равно в точности единице.

Если $a= 4: 3$

{ 3y = 3⋅2|x|+ 5|x|− 5x2 y2 = 1− x2

Так как $3⋅2|x| ≥ 3⋅20 =3$ и $|x|≥x2,$ то из первого уравнения $3y ≥3.$

Но из второго уравнения $y ≤ 1.$ Значит, $y = 1 =⇒ x =0$ это единственная пара решений в этом случае.

Если $a= 130:$

{ 3⋅2|x|+5|x|= 3y+ 5x2+6 x2+ y2 =1

Решение не единственно, ведь подходят $(±1;0).$

Ответ:

$4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#33955

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

5√---- 2 5√------- 1∘0-2-------- 3 x +4− 7a ⋅ 32x+ 96= x + 7x +12

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные в МГУ - 1985 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пугающая штука… Что может нам помочь?) Симметрии на первый взгляд не видно, идея напрямую выражать корни тоже как будто бы не вдохновляет, остаётся только упрощать то что видим.

Подсказка 2

Выведите слагаемое с параметром в одну сторону, а всё остальное – в другую. Удаётся ли разложить на скобки что-то из подкоренных выражений? А может быть где-то можно вообще вынести множитель из под корня?)

Подсказка 3

Удастся ли нам оставить в левой части только параметр (может быть с каким-то числовым множителем), а всё остальные вывести вправо? Если корень-множитель не равен нулю, то смело можем на него поделить!

Подсказка 4

Попробуйте ввести замену так, чтобы перед нами в итоге осталось квадратное уравнение с параметром! После хорошего исследования замены добить задачу будет не так уж трудно!

Подсказка 5

Если замену не удаётся увидеть, то покажем вам её: t = (¹⁰√((x + 4)(x + 3))/(⁵√(x + 3))

Подсказка 6

Аккуратненько разберём, чем является наше t? Не забывайте, его знаменатель не всегда положителен, поэтому ошибкой будет сразу же сокращать кажущиеся похожими множители! А в целом исследование удобно начать с рассмотрения случаев и работы с подкоренным выражением в итоге!

Подсказка 7

Итак, у нас есть два случая. Под корнем 10-й степени в обоих этих случаях одно и то же выражение. Давайте изобразим его график и сделаем выводы: сколько значений этого выражения соответствуют каждому х? Какие они могут быть?

Подсказка 8

Распространите выводы, сделанные выше, на саму t. Теперь мы знаем, при каких значениях t существуют соответствующие значения х. Осталось понять – когда квадратное уравнение, полученное выше, имеет ровно одно решение в полученном промежутке. Это удобно сделать графическим методом, предварительно заменив всю левую часть на какую-нибудь одну букву (14а² = b)

Показать ответ и решение

Пусть $14a2 = b$ , тогда уравнение имеет вид

5√---- 10∘-2-------- 5√ ---- 3 x+ 4− x + 7x+ 12 − b⋅ x+3 =0

Так как $x+ 3= 0$ не является решением уравнения, то можно разделить обе части равенства на $5√x+-3$ , получим

5∘ x+-4- -10∘-(x+-4)(x+-3) b= 3 x+ 3 − 5√x+-3

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Заметим, что $10√(x+4)(x+3) ∘ ---- ---5√x+3---⁄= 10 xx++43$ , так как $x+ 3$ может быть как положительным, так и отрицательным.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Сделаем замену $10√-------- t= --(x5√+x4)+(x3+3)$ , тогда $∘ x+-4- t2 = 5 x+-3$ , следовательно, уравнение примет вид

b= 3t2− t

Исследуем замену:

( 10∘---------- ∘ ----- ∘ ------- ||||{ --(x1+0√-4)(x+2-3)= 10x-+4 = 101+ -1--, x> −3 t= ∘(--x+-3)-- x∘-+3-- ∘-x+-3-- ||||( 10(x∘+-4)(x+-3)= − 10 x+4-= − 101 +-1-, x≤ −4 −(10− (x +3))2 x+3 x +3

Если обозначить $p(x)= 1+ x+13-$ — убывающая функция, то

({ 1∘0--- t= p∘(x), x >− 3 (убывает, как композиция возраст. и убы в.) ( − 10p(x), x ≤− 4 (возрастает, как композиция убы в. и убыв.)

Изобразим график функции $y =p(x)$ :

$PIC$

Заметим, что одному значению $x$ (из области значений) соответствует ровно одно значение $p.$

При $x∈ (−3;+ ∞)$ функция $y = p(x)$ принимает значения от $+ ∞$ до $1$ , значит, $y =t(p(x))$ принимает значения от $+ ∞$ до $1$ .

При $x∈ (−∞;− 4]$ функция $y = p(x)$ принимает значения от $1$ до $0$ , значит, $y = t(p(x))$ принимает значения от $− 1$ до $0$ .

Следовательно, график $y = t(x)$ выглядит следующим образом ( $y = −1$ и $y = 1$ — горизонтальные асимптоты):

$PIC$

Значит, область значений $t∈ (− 1;0]∪(1;+ ∞)$ , причем заметим, что одному значению $p$ (из области значений) соответствует ровно одно значение $t$ .

Изобразим график функции $b= b(t)= 3t2− t$ при $t∈ (−1;0]∪(1;+∞)$ в системе координат $tOb$ и найдем такие положения горизонтальной прямой $b =b0$ , при которых она с графиком функции $b= b(t)$ имеет ровно одну точку пересечения: