Тема Физтех - задания по годам

Физтех 2014

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31983

Решите систему уравнений

{ x2− 4xy+ 4y2 = 2x− 4y+3; √3x-− 6y = 2− xy.

Источники: Физтех-2014, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните формулы сокращённого умножения.

Подсказка 2

Сделайте замену t = x - 2y.

Показать ответ и решение

С учётом замены $t=x − 2y$ первое уравнение равносильно $t2 = 2t+3 ⇐⇒ t= −1$ или $t=3$ , однако для неотрицательности подкоренного во втором уравнении $t≥ 0$ , откуда подходит только $t= x− 2y = 3$ . С учётом первого уравнения системы второе уравнение превращается в $2− xy = 3⇐ ⇒ xy = −1$ . Мы преобразовали систему из условия к:

{ x= 2y+3; (2y+ 3)y +1= 0.

Тогда $y = −3±√9−-8,x = −3±1-+3 = 3±1- 4 2 2$ .

Ответ:

$(1;− 1),(2;−1∕2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32950

При каком значении параметра а значение выражения $x2+ x2 1 2$ будет наименьшим, если $x 1$ и $x − 2$ корни уравнения $2 x − 2ax+2a − 5= 0?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, а может ли это уравнение иметь только один корень? Или вообще не иметь корней?

Подсказка 2

Нет, это уравнение имеет два корня, потому что его дискриминант точно больше нуля! А с помощью чего мы можем оценить сумму квадратов корней?

Подсказка 3

Точно, можно воспользоваться теоремой Виета! Но через неё мы сможем найти только сумму и произведение корней... Как найти сумму квадратов?

Подсказка 4

Да, сумму квадратов легко выразить через квадрат суммы! Остается только оценить наше выражение снизу.

Показать ответ и решение

Заметим, что у такого уравнения корни всегда есть, потому что дискриминант квадратного трёхчлена из левой части положителен при любом значении $a$ :

D 2 2 -4 = a − (2a− 5)=(a− 1) +4> 0

Тогда по теореме Виета $x1+ x2 =2a$ и $x1⋅x2 = 2a− 5$ . Заметим, что значение выражения

x21+ x22 =(x1+ x2)2− 2⋅x1⋅x2 =

=4a2− 4a+10= (2a− 1)2+ 9≥ 9

принимает наименьшее значение при $2a− 1 =0$ .

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#34168

Есть семь карточек с цифрами $0;1;2;3;3;4;5$ . Сколько существует различных шестизначных чисел, делящихся на $15$ , которые можно сложить из этих карточек?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чему равносильна делимость на 15?

Подсказка 2

Делимости на 3 и на 5. Вспомните признаки для этих 2 чисел.

Подсказка 3

У нас всего 7 карточек, а нужны шестизначные числа. Какой будет незадействованная карточка?

Показать ответ и решение

Чтобы число делилось на 5, оно должно заканчиваться на 5 или 0. А по признаку делимости на 3 его сумма цифр должна делиться на 3. Так как карточек 7 и их сумма равна $0+1+ 2+ 3+ 3+4 +5= 18$ , то единственная незадействованная карточка делится на 3 (так как 18 кратно 3 и сумма цифр кратна 3).

Если это карточка с цифрой 0, то на последнем месте стоит обязательно 5, на двух других местах стоят две тройки, а остальные 3 цифры различны и стоят как угодно. Тогда таких чисел ровно $2 C5 ⋅3!= 60$ .

Если это карточка с цифрой 3, то на последнем месте может стоять 5 или 0. Если это 0, то оставшиеся 5 цифр различны и стоят как угодно. Всего вариантов $5!=120$ . Если же это 5, то 0 может стоять на любом из 4 мест, а остальные цифры как угодно. Всего вариантов $4⋅4!= 96$ .

Всего: $60 +120+ 96 =276$ чисел.

Ответ: 276

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#38130

Решите уравнение

( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) (3 ) log7x−6 7x +x − 6 ⋅logx+1 x +1 = log7x−6 7x +x− 6 + logx+1 x + 1

Источники: Физтех-2014, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на то как выглядит наше уравнение. Хмм… Мы видим, что , по сути, здесь есть две конструкции. Собственно два этих логарифма. Слева их произведение, справа их сумма. А что можно сделать, если мы знаем что сумма двух чисел равна их произведению?

Подсказка 2

Конечно, можно заменить и разложить. ab=a+b => (a-1)(b-1)=1. А как можно сократить единицу, если мы знаем чему равно а и b(логарифмам)? А что это даст?

Подсказка 3

Видим, что log_(7x-6)(7x^2+x-6)=1+log_(7x-6)(x+1). Аналогично со вторым. На выходе получаем уравнение (log_(7x-6)(x+1))*(log_(x+1)(x^2-x+1))=1. Хмм… х+1 много где встречается… Ах, есть же свойство!

Подсказка 4

Свойство о смене оснований в произведении логарифмов. Тогда наше уравнение преобразуется в вид log_(7x-6)(x^2-x+1)=1. А такое мы точно умеем решать. Остается проверить корни на соответствие ОДЗ и записать ответ.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $7x− 6 >0,x+ 1> 0,7x− 6⁄= 1,x+1 ⁄=1$ . Поскольку

( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) log7x−6 7x + x− 6 =1+ log7x−6(x +1) и logx+1 x + 1 = 1+logx+1 x − x+ 1

то для замены $a= log (x +1),b=log (x2− x+ 1) 7x− 6 x+1$ уравнение примет вид

(a+ 1)(b+ 1)=a +b+ 2 ⇐⇒ ab= 1

То есть

log (x+1)log (x2− x+1)= log (x2− x +1)= 1 7x−6 x+1 7x−6

или $7x− 6 =x2 − x+ 1 ⇐⇒ x2− 8x +7 =0 ⇐ ⇒ x ∈{1;7}.$ После проверки ОДЗ получаем ответ.

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#39086

Решите уравнение

√3 cosx sinx sinx+-cosx-= tg2x+ sin-x− cosx.

Источники: Физтех-2014, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, напишем ОДЗ. Во вторых, видно, что по структуре, наиболее схожи эти две дроби. Значит, стоит попытаться привести их к общему знаменателю :)

Подсказка 2

Хмм, в знаменателе косинус двойного угол, а слева тангенс двойного угла. Стоит сократить и посмотреть что получается. Хмм… Мы видим произведение синуса и косинуса и их квадраты с некими коэффициентами. На что это похоже? Что мы привыкли делать в подобных ситуациях?

Подсказка 3

Да, это очень похоже на однородное уравнение. Обычно, мы решали его делением на квадрат одного из аргументов. Ничего не может остановить нас и сейчас сделать также. Главное - не забыть об ОДЗ:)

Показать ответ и решение

ОДЗ $sinx⁄= ±cosx$ , $cos2x =cos2x− sin2x⁄= 0$

Приведём дроби к общему знаменателю

√3cosx sinx − √3cos2x +√3-sincosx − sin2x − sinx cosx sin-x+cosx − sin-x− cosx =----------sin2x−-cos2x----------- =

= tg 2x = sin2x-=--2− sin-2x-2 cos2x sin x− cos x

−√3cos2x +√3-sincosx − sin2x − sin xcosx =− 2sinxcosx

Если $cosx =0$ , то $sinx= 0$ , что невозможно. Значит, $cos2x⁄= 0$ и на него можно разделить.

−√3-+(√3 +1)tgx− tg2x= 0

Это квадратное уравнение от $tgx$ . Его корни $1$ и $√- 3$ . По ОДЗ $sin x⁄= cosx$ , поэтому $tgx⁄= 1$ . Значит $√- tgx = 3$ и $x = π3 + πn, n∈ ℤ$ , что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$π + πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#39644

Сколько существует способов составить комиссию из семи человек, выбирая её членов из восьми супружеских пар, но так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если нам нужно, чтобы люди из одной семьи не входили в комиссию, то что нужно выбрать сначала? Если вы еще не поняли, что нужно выбрать сначала, то подумайте как бы изменилась задача, если бы семей было 7?

Подсказка 2

Если бы семей было 7, то нам просто нужно было бы выбрать по одному человеку из каждой семьи. Но у нас 8 семей. Значит сначала нужно выбрать семьи, «представители» которых будут в комиссии. А это, по формуле сочетаний можно сделать C^7_8 способами. Выбрали семьи. Теперь по представителю из каждой надо выбрать. Сколькими способами это можно сделать?

Подсказка 3

У каждой семьи есть два претендента на роль «представителя», поэтому для каждой семьи будет два способа. Семей 7. Осталось посчитать ответ.

Показать ответ и решение

В комиссии будут участвовать ровно $7$ семей, которых можно выбрать $C7= 8 8$ способами. Далее из каждой надо выбрать одного члена $7 2$ способами, перемножая, получаем ответ.

Ответ:

$1024$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#46083

Решите уравнение

√- (---sinx--- ) --cosx--- 3 sinx− cosx + tg2x = sinx+ cosx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Распишите tg(2x) через sin(x) и cos(x). tg(a) = sin(a)/cos(a), начните с этого.

Подсказка 2

Учтите ОДЗ и домножьте левую и правую часть на sin(x)+cos(x). Все получится!

Показать ответ и решение

На ОДЗ (!) данное уравнение равносильно каждому из следующих:

√-( sin x 2 sinxcosx ) cosx 3 sinx−-cosx-− (sin-x− cosx)(sinx-+cosx) = sinx+-cosx, √3-(sinx(sin x+cosx)− 2sinxcosx)= cosx(sinx − cosx), √- 3sin x(sinx − cosx)=cosx(sinx− cosx).

На ОД3 $sin x− cosx⁄= 0$ , так что получаем уравнение

√- 3sin x= cosx

√3- 1 2 sinx− 2cosx= 0

π sin(x− 6)= 0

x= π +πk,k∈ ℤ 6

При этом заметим, что эти корни удовлетворяют условиям из ОДЗ, так что их можно писать в ответ.

Ответ:

$π + πk,k∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#70306

Сколько существует 23-значных чисел, сумма цифр которых равна восьми?

Источники: Физтех - 2014, 10 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Частая ошибка в такой задаче — забыть, что первая цифра не может равняться нулю! Давайте это не забудем и сразу поставим на первое место цифру, которая не равна нулю. Тогда на оставшихся 22 местах надо расположить 7 единичек, как это можно сделать?

Подсказка 2

Да, простым числом сочетаний из 22 по 7 сделать не получится, так как мы используем не только единички. Вспомните метод, который часто помогает в таких задачах!

Подсказка 3

Верно, это метод шаров и перегородок! То есть, расположим в ряд 22 места и 7 единичек, то есть, всего есть 29 мест, куда можно поставить единичку! А нам нужно выбрать 7 мест.

Показать ответ и решение

Распределим между $23$ разрядами $7$ “единичек”, так как на первом разряде точно стоит хотя бы одна “единичка”. Ставим $22$ перегородки между $7$ шарами. Так как порядок выбора мест не важен, число способов: $29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23- 7!$

Ответ:

$29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23 7!$