Тема 7. Преобразование числовых и буквенных выражений

7.06 Числовые иррациональные выражения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела преобразование числовых и буквенных выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#18608

Найдите значение выражения $√ -2----2- 89 − 39 .$

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой разности квадратов и выполним преобразования:

∘ -------- ∘ ---------------- √------ √ ------ √-- √ --- 892 − 392 = (89− 39)⋅(89+ 39)= 50⋅128= 25⋅256 = 25⋅ 256 = 5⋅16= 80.

Ответ: 80

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#30629

Найдите значение выражения $√ ---- √ ---- 1225 − 2116.$

Показать ответ и решение

$√ ---- √ ---- √----- √ ----- 1225 − 2116= 25⋅49− 4⋅529= 5⋅7− 2⋅23= 35− 46= − 11.$

Ответ: -11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#30630

Найдите значение выражения $------------ √ 169 ⋅6,25⋅1,96.$

Показать ответ и решение

$√169-⋅6,25⋅1,96 = √169-⋅√6,-25⋅√1,96 = 13⋅2,5⋅1,4 = 13 ⋅3,5 = 45,5.$

Ответ: 45,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#30631

Найдите значение выражения $√ -- √-- √ -- 13⋅ 26⋅ 32.$

Показать ответ и решение

√13⋅√26-⋅√32= √13-⋅√13⋅√2-⋅√32 = 13 ⋅√64= 13⋅8 =104.

Ответ: 104

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#180

Найдите значение выражения $√-- ( ) 3 64− 323.$

Показать ответ и решение

По определению квадратного корня и по свойствам степени имеем:

√64 (2)3 8 2⋅3 3 8− 36 =23 −6 3 6= = 3 − 3 = 3 ⋅3 − 3 = = (9− 1)⋅36 = 8⋅729= 5832.

Ответ: 5832

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#149

Найдите значение выражения $( ) -2-−-12- 2 √2-+ 1√- . 2$

Показать ответ и решение

( 2− 1 )2 ( 1,5 )2 ( 1,5 )2 ( 1)2 √2-+-2√1 = √2(1+-1) = √2-⋅1,5 = √2- = 0,5. 2 2

Ответ: 0,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#162

Найдите значение выражения $√-- (3-13)2. 26$

Показать ответ и решение

Квадрат произведения равен произведению квадратов, из чего получаем:

(3√13)2 32(√13)2 9 ⋅13 9 ---26---= ---26---= -26- = 2 =4,5.

Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#163

Найдите значение выражения $( ∘ --2- ∘ --2) ∘-11- 397 − 349 : 63-$ .

Показать ответ и решение

(∘ ---- ∘ ---) ∘--- (∘ ---- ∘ ---) ∘ --- 392− 342 : 11= 275 − 308 ⋅ 63= 7 9 63 7 9 11 ∘-275- ∘-63 ∘ 308-∘ 63- ∘ 275⋅63- ∘ 308⋅63- ∘-25-⋅11⋅7⋅9 ∘ 11⋅4⋅7-⋅7-⋅9 = 7--⋅ 11 − -9-⋅ 11 = -7⋅11- − -9⋅11- = --7⋅11---− ---9-⋅11----= √---- √ ------ √ -- √- √ - √-2 = 25⋅9− 4⋅7⋅7= 25 ⋅ 9− 4⋅ 7 = 5⋅3 − 2 ⋅7= 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#164

Найдите значение выражения $( 3113 ⋅31370)2 --15√---- 31$ .

Показать ответ и решение

Исходное выражение можно преобразовать следующим образом:

( 1 7 )2 31-3+-30- = (311370− 115)2 = (310,5)2 = 310,5⋅2 = 31 31 115-

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#165

Найдите значение выражения $(√41 +√3-)2 -22+-√123-.$

Показать ответ и решение

Исходное выражение можно преобразовать следующим образом:

√-- 2 √-- √ - √ -2 √ --- √--- (-41)-+-2⋅-4√1⋅--3+-(-3)-= 44+-2⋅√--123-= 2⋅(22+√-123)= 2 22 + 123 22+ 123 22+ 123

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#181

Найдите значение выражения $√8 -5√--⋅ 0, 62√2 3 464$ .

Показать ответ и решение

√- √ - ( ) √- ( ) √ - 5 8 2√2 5 8 √8 5 8 √8 3 − 8 √8 −√8+ √8 0 --4√64 ⋅ 0,6 = -√8-⋅ 0, 6 = -- ⋅ 0,6 = -- ⋅ 0,6 = 0,6 = 0,6 = 1. 3 3 3 5

Ответ: 1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#182

Найдите значение выражения $∘4-√3+-2√3+1+-1− 2√3.$

Показать ответ и решение

∘ -√----√------ √- 4 3+ 2 3+1+ 1− 2 3 = ∘(-√-)2-----√------ √- = 2 3 + 2⋅2 3⋅1+ 1− 2 3 = ∘ (-√----)2- √- || √- || √- = 2 3+ 1 − 2 3 =|2 3+ 1|− 2 3

Так как $√3 2 + 1> 0,$ то

| - | - ||2√3+ 1||= 2√3+ 1

Тогда

||√3 || √3 √3 √3 |2 + 1|− 2 = 2 + 1− 2 = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#595

Найдите значение выражения $√997-⋅999-⋅1001⋅1003+-16.$

Показать ответ и решение

Пусть $1000 = x$ . Тогда $997= x − 3, 999 = x− 1, 1001= x+ 1, 1003= x +3$ и выражение примет вид:

∘-------------------------- ∘ ----------------- ∘ ------------ ∘ ------- (x − 3)(x− 1)(x+ 1)(x + 3)+ 16= (x2− 9)(x2− 1)+ 16= x4− 10x2+ 25= (x2− 5)2

По свойству корня $√a2 = |a|$ , следовательно, выражение примет вид

2 2 2 |x − 5|= |1000 − 5|= 1000 − 5 =999995

Ответ: 999995

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#611

Найдите значение выражения $|1− √2| -1−-√2-.$

Показать ответ и решение

Так как $√2-> 1$ , то $|1− √2|= − (1 − √2-)$ . Тогда:

√ - √- |1−-√-2|= −(1−√-2)-= −1. 1− 2 1− 2

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#614

Найдите значение выражения $∘4-+-√15-− ∘4-− √15 --------√6---------.$

Показать ответ и решение

Отдельно рассмотрим числитель исходного выражения и возведем его в квадрат:

(∘ ------- ∘ ------)2 (∘ ------)2 ∘ ------- ∘------- (∘ ------)2 4+ √15− 4− √15 = 4+ √15 − 2⋅ 4+ √ 15 ⋅ 4 − √ 15+ 4− √15 = ∘ ---------------- ∘ ---------- = 4+ √15− 2⋅ (4+ √15)(4 − √15-)+4 − √15-= 8− 2⋅ 42− (√15-)2 = √ ------ √- = 8− 2⋅ 16 − 15 = 8− 2⋅ 1 = 8− 2= 6

$⇒$ числитель исходного выражения равен $√6$ , тогда в итоге имеем:

√ - √-6= 1 6

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#615

Найдите значение выражения $∘ ---------------------------------- 40,1298 ⋅ 1,298 ⋅ 12,98 ⋅ 129,8 ⋅ 0,16$ .

Показать ответ и решение

∘ ---------------------------------- 4 0,1298 ⋅ 1,298 ⋅ 12, 98 ⋅ 129, 8 ⋅ 0,16 = ∘4 ------------------------------------------------------------ ∘ ----------=----1298-⋅ 0,0001-⋅ 1298-⋅ 0,001 ⋅ 1298 ⋅√ 0,-01 ⋅ 1298 ⋅ 0,1 ⋅ 16 ⋅ 0,01 = = 412984 ⋅ 24 ⋅ 10− 4 ⋅ 10− 3 ⋅ (10− 2)2 ⋅ 10−1 = 1298 ⋅ 2 4 10−12 = 2596 ⋅ 10− 124-= 2596 ⋅ 10 −3 = 2,596

Ответ: 2,596

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#616

Найдите значение выражения $1 1 3 10 √ -- ----√---− √------ + ----√---− √--+ 5 2 + 5 7 + 3 1 − 7 5$ .

Показать ответ и решение

√ -- ---1√---− √--1--- + ---3√---− 1√0-+ 5 = 2 + 5 7 + 3 1 − 7 5 √-- √ -- √ -- √-- √ -- = -----√2 −--5--√---− -√-----7-−√3------+ ---3(√1-+---7)√----− 10√--5- + 5 = (2 + 5)(2 − 5) ( 7 + 3)( 7 − 3) (1 − 7)(1 + 7) ( 5)2 √-- √ -- √-- √ -- √ -- = --2 −-√5---− -√-7-−-3---+ -3(1 +-√-7-) − 10-5-+ 5 = 22 − ( 5 )2 ( 7 )2 − 32 12 − ( 7)2 5 2 − √5-- √7--− 3 3(1 + √7-) √ -- √ -- 2 − √5-- √7--− 3 3(1 + √7-) √ -- = ------- − ------- + ---------- − 2 5 + 5 = ------- − ------- + ----------− 5 = 4 − 5 7 − 9 √ --1 − 7 √ -- − 1 √ -- − 2 √ −-6 √ -- 7 3 3 3 7 √ -- 7 3 1 7 = − 2 + 5 + ----− --− -− -----− 5 = − 2 + ----− --− -− ----= − 4 2 2 6 6 2 2 2 2

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1503

Найдите значение выражения $√ -------- 612 − 602.$

Показать ответ и решение

Выражение под корнем можно преобразовать по формуле для разности квадратов:

612− 602 = (61− 60)⋅(61 +60)= 1 ⋅121 =121 =112.

В итоге исходное выражение равносильно $√--- 112 = 11$ .

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1504

Найдите значение выражения $∘ ----------- (−17)2 − 152.$

Показать ответ и решение

∘ -----2---2- ∘ --2----2 (−17) − 15 = 17 − 15.

Выражение под корнем можно преобразовать по формуле для разности квадратов:

2 2 2 17 − 15 = (17 − 15)⋅(17+ 15)= 2⋅32= 64= 8 .

В итоге исходное выражение равносильно $√-- 82 = 8.$

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1506

Найдите значение выражения $√ - √--- (∘-5⋅-729)2 (−729)2$ .

Показать ответ и решение

(√5 ⋅√729)2 (√5⋅√729)2 (√5-⋅√729)2 -∘------2- = --|−-729|-- = ---729----. (−729)

Квадрат произведения равен произведению квадратов, из чего получаем:

(√5 ⋅√729-)2 (√5)2⋅(√729)2 5⋅729 ----729--- = -----729------= -729-= 5.

Ответ: 5