Уравнения и сложные задачи на системы счисления (страница 4)

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество пятерок в шестеричной системе, представим все числа как степени шестерки и переведем 160 в шестеричную, так как это число не является степенью двойки, получим: \(6^{120}+216^3-321=6^{120}+({6^3})^3-(1\cdot6^2+3\cdot6^1+1\cdot6^0)=6^{120}+6^9-131\).

Для начала выполним сложение:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10..0..0000000000\\ 1000000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{109}1000000000 \end{array} \end{array}\]

Вычтем из полученного 131:
\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} _{\cdot\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,5\,6}\\ 10..01000000000\\ 131\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{110}555555425 \end{array} \end{array}\\\]

Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы (она стоит в 6 разряде) мы занимаем шесть в соседний разряд, и затем из полученной “шестерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до разряда, под которым стоит последняя цифра другого числа, отличная от нуля.

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество четверок в пятеричной системе, представим все числа как степени пятерки, получим: \(5^{50}+25^3-125=5^{50}+({5^2})^3-5^3=5^{50}+5^6-125\).

Для начала выполним сложение:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..000\\ 1000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{43}1000000 \end{array} \end{array}\]

Вычтем из полученного \(5^3\):
\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} _{\cdot\,4\,4\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\ 10...01000000\\ 1000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_{44}444000 \end{array} \end{array}\\\]

Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы (она стоит в 6 разряде) мы занимаем пять в соседний разряд, и затем из полученной “пятерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до разряда, под которым стоит единица другого числа.

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество единиц в троичной системе, представим все числа как степени тройки, получим: \(3^{2051}+81^6+8=3^{2051}+({3^4})^6+(2\cdot3^1+2\cdot3^0)=3^{2051}+3^{24}+(2\cdot3^1+2\cdot3^0)\). В троичной системе счисления эта запись выглядит так: \(1\overbrace{000...000}^{2051}+1\overbrace{0...000}^{24}+22\).

Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..0000...000\\ 1000...000\\ 22\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...000}_{2024}1\underbrace{0...000}_{24}22 \end{array} \end{array}\]

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество единиц в троичной системе, представим все числа как степени тройки, получим: \(3^{2019}+27^7+3=3^{2019}+({3^3})^7+3^1=3^{2019}+3^{21}+3^1\). В троичной системе счисления эта запись выглядит так: \(1\overbrace{000...000}^{2019}+1\overbrace{0...000}^{21}+10\).

Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..0000...000\\ 1000...000\\ 10\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...000}_{1995}1\underbrace{0...000}_{21}10 \end{array} \end{array}\]

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в \(n\)-ой степени можно записать как единицу и \(n\) нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)

Так как нас просят узнать количество единиц в двоичной системе, представим все числа как степени двойки, получим: \(2^{2019}+8^5+2=2^{1024}+({2^3})^5+2^1=2^{2019}+2^{15}+2^1\). В двоичной системе счисления эта запись выглядит так: \(1\overbrace{000...000}^{2019}+1\overbrace{0...000}^{15}+10\).

Далее выполняем сложение и наглядно получаем ответ:

\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..0000...000\\ 1000...000\\ 10\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...000}_{2001}1\underbrace{0...000}_{15}10 \end{array} \end{array}\]

Если число оканчивается цифрой 0, это значит, что оно делится на основание системы счисления без остатка. Значит, необходимо найти наименьшее число, которое кратко как 4, так и 6 - это число 12.

Для начала стоить отметить, что любое десятичное число A в n-ой степени можно записать как единицу и n нулей в системе счисления с основанием A: \({A^n}_{10}={1\overbrace{00...000}^n}_A\)
Так как нас просят узнать количество четверок в пятеричной системе, представим все числа как степени пятерки, а 117, поскольку оно не является степенью пятерки, перевдем в пятеричную систему счисления, получим:
\(5^{14}+25^3-117=5^{14}+({5^2})^3-(4\cdot5^2+3\cdot5^1+2\cdot5^0)=5^{14}+5^6-432.\)
Для начала выполним сложение:
\[\begin{array}{r} + \begin{array}{r} 10...000..000\\ 1000000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_71000000 \end{array} \end{array}\] Вычтем из полученного 432:
\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} _{\cdot\,4\,4\,4\,4\,4\,5}\\ 10...01000000\\ 432\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 1\underbrace{0...0}_8444013 \end{array} \end{array}\\\] Примечание: при вычитании в недесятичной системе счисления, мы занимаем не “десяток”, а само основание системы счисления. В данном примере из второй единицы(она стоит в 6 разряде) мы занимаем пять в соседний разряд, и затем из полученной “пятерки” занимаем в следующий разряд, таким образом продолжая до последней цифры.