Параллелограмм и ромб
В параллелограмме \(ABCD\) на стороне \(BC\) выбрана точка \(N\) так, что \(AB = BN\), \(\angle B = 150^{\circ}\). Найдите \(\angle NAD\). Ответ дайте в градусах.
Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то \(\angle BAN = \angle BNA\).
Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle BAN = \angle BNA = 15^{\circ}\).
Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то \(\angle NAD = \angle BNA = 15^{\circ}\).
Периметр параллелограмма равен \(15\). При этом одна сторона этого параллелограмма на \(5\) больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
У параллелограмма противоположные стороны равны. Пусть \(BC = AB + 5\), тогда периметр параллелограмма \(ABCD\) равен \(AB + BC + CD + AD = AB + AB + 5 + AB + AB + 5 = 4\cdot AB + 10 = 15\), откуда находим \(AB = 1,25\). Тогда меньшая сторона параллелограмма равна \(1,25\).
Из точки \(C\) параллелограмма \(ABCD\) опустили перпендикуляр на продолжение стороны \(AD\) за точку \(D\). Этот перпендикуляр пересёк прямую \(AD\) в точке \(E\), причём \(CE = DE\). Найдите \(\angle B\) параллелограмма \(ABCD\). Ответ дайте в градусах.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle EDC = \angle DCE\). Так как \(\angle DEC = 90^{\circ}\), а сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), то \(\angle EDC = 45^{\circ}\), тогда \(\angle ADC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}\). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle B = \angle ADC = 135^{\circ}\).
В параллелограмме \(ABCD\) сумма длин диагоналей равна 10, а меньшая сторона параллелограмма \(ABCD\) равна 2. Найдите наименьший из периметров треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм \(ABCD\).
В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей – точка \(O\), тогда \(AO + BO = 0,5(AC + BD) = 5 = AO + OD = OD + OC = OC + OB\).
Таким образом, периметр каждого из треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм \(ABCD\), равен полусумме диагоналей параллелограмма \(ABCD\) плюс сторона параллелограмма, которая является стороной этого треугольника.
Тогда наименьшим будет периметр того из этих треугольников, стороной которого является одна из меньших сторон параллелограмма и равен он \(5 + 2 = 7\).
В параллелограмме \(ABCD\) проведены биссектрисы \(AN\) и \(BM\), \(\angle ABM = 58^{\circ}\). Найдите \(\angle BAN\). Ответ дайте в градусах.
Сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ}\).
Так как \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы, то \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 90^{\circ}\).
\(\angle ABM = 58^{\circ}\), тогда \(\angle BAN = 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ}\).
В параллелограмме \(ABCD\) проведена биссектриса \(AN\), точка \(N\) лежит на стороне \(BC\), причём \(NC = 3\), \(AB = 5\). Найдите периметр параллелограмма \(ABCD\).
Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то \(\angle BNA = \angle NAD\).
Так как \(AN\) – биссектриса, то \(\angle NAD = \angle BAN\), откуда получаем \(\angle BNA = \angle BAN\).
Таким образом, треугольник \(ABN\) – равнобедренный, \(BN = AB\), тогда \(BC = BN + NC = 5 + 3 = 8\). В итоге, периметр параллелограмма \(ABCD\) равен \(8 + 8 + 5 + 5 = 26\).
Острый угол ромба \(ABCD\) равен \(60^{\circ}\), одна из его сторон равна 10. Найдите меньшую из диагоналей этого ромба.
Пусть \(\angle A = 60^{\circ}\). В ромбе все стороны равны, тогда треугольник \(ABD\) – равнобедренный, у которого один из углов равен \(60^{\circ}\), следовательно, треугольник \(ABD\) – равносторонний и \(BD = 10\).
Треугольник \(ABC\) – тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда \(AC > AB = BD\), значит, \(BD\) – меньшая из диагоналей.
