Задачи по теме «Пирамида»

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то \(AO=12\), \(BO=3\).
Заметим, что так как \(SO\) – высота пирамиды, то \(\triangle ASO\) и \(\triangle BSO\) – прямоугольные. Так как у них есть равные острые углы, то они подобны. Пусть \(SO=h\), тогда из подобия имеем: \[\dfrac{BO}{h}=\dfrac{h}{AO} \quad\Rightarrow\quad h=6.\] Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то объем пирамиды равен \[V=\dfrac13\cdot h\cdot \dfrac12\cdot 24\cdot 6=144.\]

Пусть \(BK\) – высота в \(\triangle ABC\), а значит и медиана. Тогда из прямоугольного \(\triangle BKC\): \[BK=\sqrt{BC^2-KC^2}=\sqrt{10^2-9^2}=\sqrt{19}.\] Тогда площадь основания равна \[S_{ABC}=\dfrac12\cdot AC\cdot BK=9\sqrt{19}.\] Так как \(O\) – точка пересечения медиан, то \(O\) лежит на \(BK\). Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины, то \[BO=\dfrac23BK=\dfrac23\sqrt{19}.\] Заметим, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, \(\angle SBO=45^\circ\) и есть угол между \(SB\) и основанием (так как \(BO\) – проекция \(SB\) на плоскость \(ABC\)). Так как к тому же \(\triangle SBO\) прямоугольный, то он равнобедренный, следовательно, \[SO=BO=\dfrac23\sqrt{19}.\] Тогда объем пирамиды равен \[V=\dfrac13\cdot SO\cdot S_{ABC}=38.\]

Так как \(H\) – середина \(AB\) и треугольник правильный, то \(CH\) – высота. Следовательно, \[CH=\dfrac{\sqrt3}2AB=3\sqrt3.\] Так как \(SH\) – высота пирамиды, то \(\triangle SHC\) – прямоугольный, следовательно, \[SH=\sqrt{SC^2-CH^2}=\sqrt{30-27}=\sqrt3.\] Следовательно, объем равен \[V=\dfrac13\cdot SH\cdot S_{ABC}= \dfrac13\cdot SH\cdot \dfrac12\cdot CH\cdot AB=9.\]

Пусть \(SH\) – высота пирамиды. Проведем \(HK\perp AD\). Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах \(SK\) (наклонная) также перпендикулярна \(AD\) (так как \(HK\) – ее проекция на плоскость \(ABC\)). Следовательно, \(SK\) и есть апофема грани \(ASD\). Также отсюда следует, что \(\angle SKH=45^\circ\) (так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость). Следовательно, \(\triangle SHK\) прямоугольный и равнобедренный, значит, \[SH=HK=SK\div \sqrt2=\dfrac{10}{\sqrt2}\] По определению получается, что \(HK\) также высота трапеции. Так как площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, а полусумма оснований в свою очередь равна средней линии, то \[S_{ABCD}=9\cdot \dfrac{10}{\sqrt2}\] А значит объем пирамиды равен \[V=\dfrac13\cdot\dfrac{10}{\sqrt2}\cdot9\cdot \dfrac{10}{\sqrt2}=150.\]

\(\triangle AHD\) и \(\triangle BHC\) – равнобедренные треугольники, т.к. трапеция \(ABCD\) равнобедренная \(\Rightarrow\) \(AH = HD\), \(BH = HC\) \(\Rightarrow\) \(AC = BD = 2 + 3 = 5\) \(\Rightarrow\)

\[S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH + \frac{1}{2}\cdot AC\cdot HD = \frac{1}{2}\cdot AC\cdot(BH + HD) = \frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD.\]

В \(\triangle SAH\): \(SH = AH\cdot \mathrm{tg}\, \angle SAC = 6\), т.к. \(\triangle SAH\) – прямоугольный. Тогда объем пирамиды можно найти следующим образом: \[V_{\text{пир.}} = \frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SH = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot5\cdot5\cdot6 = 25\].

Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на гипотенузе и делит ее пополам \(\Rightarrow\) \(BH = AH = CH\) – радиусы описанной окружности. В прямоугольном треугольнике \(\triangle BAC\) по теореме Пифагора: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 100\) \(\Rightarrow\) \(BC = 10\) \(\Rightarrow\) \(AH = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5\). Треугольник \(\triangle AHS\) – прямоугольный, т.к. \(SH \perp ABC\) (\(SH\) – высота), тогда по теореме Пифагора можно найти \(SH\): \(SH^2 = AS^2 - AH^2 = (5\sqrt5)^2 - 5^2 = 100\) \(\Rightarrow\) \(SH = 10\). Теперь найдем объем пирамиды: \[V_{\text{пир.}} = \frac{1}{3}\cdot SH\cdot S_{\triangle BAC} = \frac{1}{3}\cdot SH\cdot\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC = \frac{1}{3}\cdot10\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot8 = 80.\]

Докажем, что \(l'\) содержит биссектрису угла \(ABC\). Выберем на \(AB\) точку \(A'\), а на \(BC\) точку \(C'\) так, чтобы \(A'B = BC'\). Построим прямую, проходящую через точку \(B\) и точку \(H\) – середину \(A'C'\).

Отметим на \(l\) точку \(M\). Треугольник \(A'BC'\) – равнобедренный, тогда \(BH\) – высота.

Рассмотрим треугольники \(A'BM\) и \(C'BM\): они равны по двум сторонам и углу между ними, тогда \(MA' = MC'\) и треугольник \(A'MC'\) – равнобедренный, тогда \(MH\) – его высота.

В итоге \(A'C'\perp BH\) и \(A'C'\perp MH\), следовательно, \(A'C'\perp (MBH)\). Если предположить, что \(M'\) – проекция точки \(M\) на \((A'BC')\), не попадает на прямую, содержащую \(BH\), то получим, что \(A'C'\perp M'M\) и \(A'C'\perp MH\), откуда следует, что \(A'C'\perp (MM'H)\). Но тогда плоскости \((MM'H)\) и \((MBH)\) перпендикулярны к одной прямой, пересекаются, но не совпадают, чего быть не может.

Таким образом, \(M'\) лежит на прямой, содержащей \(BH\), но тогда \(l'\) совпадает с прямой, содержащей \(BH\). В итоге, \(\angle(l'; AB) = 0,5\angle ABC = 40^\circ\).