№18. Задачи с параметром - Квадратичный трехчлен и метод Гвоздей

Теория

В задачах с параметром часто необходимо проанализировать квадратичный трехчлен. При этом далеко не всегда удобно выражать его корни в явном виде. В этом случае можно схематично изобразить параболу, которую задает квадратичный трехчлен, и с ее помощью понять, какие нужно наложить условия на квадратичный трехчлен, чтобы выполнялись необходимые требования. Такой подход мы будем называть методом "гвоздей".

Основная идея в том, что мы накладываем условия на квадратичный трехчлен, при выполнении которых парабола, которую он задает, будет иметь нужный вид. То есть будет иметь:

\(\bullet\) нужное количество общих точек с осью абсцисс (так квадратичный трехчлен будет иметь определенное количество корней);

\(\bullet\) нужное расположение этих точек (так у квадратичного трехчлена будет требуемое расположение корней);

\(\bullet\) нужное положение конкретной точки параболы относительно оси абсцисс (так значение квадратичного трехчлена в точке будет определенного знака).

С помощью метода "гвоздей" можно избежать работы с корнями квадратичного трехчлена в явном виде, что позволит не решать сложные уравнения и неравенства с дробями и квадратными корнями.

Квадратичный трехчлен и квадратичная функция

Пусть дан квадратичный трехчлен \[Ax^2+Bx+C,\quad A\ne 0,\]

который задает квадратичную функцию \[f(x) = Ax^2+Bx+C.\]

Графиком этой функции является парабола.

При этом знак старшего коэффициента \(A\) влияет на направление ветвей параболы:

\(\bullet\) если \(A\geqslant 0,\) то ветви параболы направлены вверх;

\(\bullet\) если \(A\leqslant 0,\) то ветви параболы направлены вниз.

Дискриминант квадратичного трехчлена \(Ax^2 + Bx + C\) равен \[D=B^2-4AC.\]

\(\bullet\) Если \(D\geqslant 0,\) то квадратичный трехчлен имеет два различных корня \(x_1\) и \(x_2.\)

\(\bullet\) Если \(D=0,\) то квадратичный трехчлен имеет один корень \(x_0\) (или же можно сказать, что два совпадающих корня \(x_1 = x_2=x_0\)).

\(\bullet\) Если \(D\leqslant 0,\) то квадратичный трехчлен не имеет корней.

Количество корней квадратичного трехчлена равно количеству точек пересечения параболы, которую он задает, с осью абсцисс.

То есть для параболы с ветвями вверх получаем:

Вершина параболы, которая задается квадратичной функцией \(f(x)=Ax^2+Bx+C,\) находится в точке \(\left(x_0;y_0\right),\) где \[x_0=-\dfrac{B}{2A},\quad y_0=f(x_0).\]

Если дискриминант квадратичного трехчлена \(Ax^2+Bx+C\) равен 0, то единственный корень трехчлена равен абсциссе вершины параболы, задаваемой функцией \(f(x) = Ax^2 + Bx + C:\) \[x=x_0=-\dfrac{B}{2A}.\]

Теорема Виета

Если квадратное уравнение \(Ax^2+Bx+C=0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2,\) то верна система: \[\begin{cases} x_1+x_2=-\dfrac{B}{A},\\ x_1\cdot x_2=\dfrac CA. \end{cases}\]

Теорему Виета нередко удобно использовать тогда, когда требуется поработать с суммой или с произведением корней квадратичного трехчлена.

Также с помощью теоремы Виета удобно задавать некоторые условия на корни.

\(\bullet\) Если квадратичный трехчлен \(Ax^2+Bx+C\) должен иметь два различных корня и они должны быть противоположны по знаку, то достаточно следующих условий: \[\begin{cases} D \geqslant 0 \text{ (для задания существования двух корней)},\\ x_1 \cdot x_2 = \dfrac{C}{A} \leqslant 0 \text{ (для задания противоположности знаков корней)}. \end{cases}\]

\(\bullet\) Если квадратичный трехчлен \(Ax^2+Bx+C\) должен иметь два различных корня и они должны быть положительны, то достаточно следующих условий: \[\begin{cases} D \geqslant 0 \text{ (для задания существования двух корней)},\\ x_1 \cdot x_2 = \dfrac{C}{A} \geqslant 0 \text{ (для задания одного знака корней)},\\ x_1 + x_2 = -\dfrac{B}{A} \geqslant 0 \text{ (для задания положительности обоих корней)}. \end{cases}\]

\(\bullet\) Если квадратичный трехчлен \(Ax^2+Bx+C\) должен иметь два различных корня и они должны быть отрицательны, то достаточно следующих условий: \[\begin{cases} D \geqslant 0 \text{ (для задания существования двух корней)},\\ x_1 \cdot x_2 = \dfrac{C}{A} \geqslant 0 \text{ (для задания одного знака корней)},\\ x_1 + x_2 = -\dfrac{B}{A} \leqslant 0 \text{ (для задания отрицательности обоих корней)}. \end{cases}\]

Важно понимать, что если мы выразили корни квадратичного трехчлена в явном виде (то есть получили запись вида \(x_1 = \ldots, \ x_2 = \ldots,\) где справа от знака равно стоит выражение без \(x\)) с помощью теоремы Виета, то дискриминант этого квадратичного трехчлена будет всегда неотрицателен, то есть это уравнение всегда будет иметь как минимум один корень.

Если же мы не выражали корни в явном виде, то при использовании теоремы Виета нужно не забыть добавить условие на дискриминант.

Метод "гвоздей"

"Гвоздь" — это условие, которое фиксирует какую-то важную особенность параболы.

Рассмотрим основные "гвозди", с помощью которых можно влиять на вид параболы, задаваемой квадратичной функцией \(f(x).\)

1. Знак старшего коэффициента \(A \geqslant 0,\) \( A\leqslant 0.\)

2. Значение дискриминанта: \(D\geqslant 0,\) \(D=0,\) \(D\leqslant 0.\)

   

3. Положение абсциссы \(x_0 = -\dfrac{B}{2A}\) вершины параболы относительно некоторого числа или чисел.

4. Значение функции \(f(x)\) в некоторой точке \(x_3,\) то есть \( f(x_3).\) Чаще всего накладывается условие \(f(x_3) \geqslant 0\) или условие \(f(x_3) \leqslant 0.\)

   Частным случаем значения функции \(f(x)\) в некоторой точке является значение в точке на "шапочке" параболы. Под "шапочкой" подразумевается часть параболы, находящаяся между нулями \(f(x)\) (более жирная часть параболы на рисунках ниже).

   Рассмотрим по отдельности случаи \(A\geqslant 0\) и \(A \leqslant 0.\)

   

   Ординаты всех точек на "шапочке" (и только на ней) отрицательны. То есть если \(x_1 \leqslant x_3 \leqslant x_2,\) то \(f\left(x_3\right) \leqslant 0.\) И наоборот, если \(f\left(x_3\right) \leqslant 0,\) то \(x_1 \leqslant x_3 \leqslant x_2.\)

   

   Ординаты всех точек на "шапочке" (и только на ней) положительны. То есть если \(x_1 \leqslant x_3 \leqslant x_2,\) то \(f\left(x_3\right) \geqslant 0.\) И наоборот, если \(f\left(x_3\right) \geqslant 0,\) то \(x_1 \leqslant x_3 \leqslant x_2.\)

   Заметим, что точку на "шапочке" правильней было бы подписать как \((x_3;f(x_3)).\) Но для краткости и удобства мы будем использовать подпись \(f(x_3).\)

Некоторые случаи расположения корней относительно какого-либо числа

Пусть дана парабола, задаваемая квадратичной функцией \(f(x)=Ax^2+Bx+C,\) причем \(A\geqslant 0\) и \(D\geqslant 0.\) Тогда ветви параболы направлены вверх и она пересекает ось абсцисс в двух точках.

Пусть \(x_0\) — абсцисса вершины параболы. Рассмотрим основные варианты расположения корней квадратичного трехчлена \(Ax^2+Bx+C\) относительно некоторого числа \(t.\)

Оба корня меньше числа \(t\)

Изобразив параболу, удовлетворяющую условию, мы понимаем следующее: чтобы оба корня были меньше числа \(t,\) необходимо, чтобы вся "шапочка" параболы была расположена по одну сторону от вертикальной прямой \(x = t,\) причем, так как корни должны быть меньше числа \(t,\) "шапочка" должна быть именно слева от прямой \(x = t.\)

Для того чтобы вся "шапочка" параболы находилась по одну сторону от прямой \(x = t,\) нужно потребовать, чтобы значение функции \(f(x)\) в точке \(t\) было больше 0. Получаем условие \(f(t)\geqslant 0.\)

Для того чтобы вся "шапочка" была именно левее прямой \(x = t,\) необходимо, чтобы вершина параболы лежала левее этой прямой. Это выполняется тогда и только тогда, когда абсцисса \(x_0\) вершины параболы меньше числа \(t.\) Получаем условие \(x_0<t.\)

Таким образом, имеем следующую систему "гвоздей":

\[ \begin{cases} f(t)>0,\\ x_0<t. \end{cases} \]

Оба корня больше числа \(t\)

Аналогично предыдущем случаю: чтобы оба корня были больше числа \(t,\) необходимо, чтобы ###вся "шапочка" была расположена по одну сторону от вертикальной прямой \(x = t,\) причем, так как корни должны быть больше числа \(t,\) "шапочка" должна быть именно справа от прямой \(x = t.\)

Для того чтобы вся "шапочка" параболы находилась по одну сторону от прямой \(x = t,\) нужно потребовать, чтобы значение функции \(f(x)\) в точке \(t\) было больше 0. Получаем условие \(f(t)\geqslant 0.\)

При этом, чтобы вся "шапочка" была именно правее прямой \(x = t,\) необходимо, чтобы абсцисса \(x_0\) вершины параболы была больше числа \(t.\) Получаем условие \(x_0\geqslant t.\)

Таким образом, имеем следующую систему "гвоздей":

\[ \begin{cases} f(t)\geqslant 0,\\ x_0\geqslant t. \end{cases} \]

Корни находятся по разные стороны от числа \(t\)

Если корни расположены по разные стороны от числа \(t,\) то точка с абсциссой, равной \(t,\) находится на "шапочке".

Как говорилось ранее, это будет достигаться тогда и только тогда, когда значение функции \(f(x)\) в точке \(t\) меньше нуля. Получаем следующий "гвоздь": \[ f(t)\leqslant 0. \]

Аналогичным образом можно работать и с параболой с ветвями вниз. Отличие лишь в том, что в этом случае знаки условий с \(f(t)\) меняются на противоположные.

Алгоритм работы с квадратичным трехчленом с параметром

Пусть дан трехчлен \[Ax^2+Bx+C,\] где \(A,\ B,\ C\) могут зависеть от параметра.

Он задает функцию \[f(x) = Ax^2+Bx+C.\]

1. Проверяем, может ли старший коэффициент \(A\) обращаться в 0.

Если может, то рассматриваем этот случай отдельно, так как тогда функция \(f(x)\) будет не квадратичной, а линейной.

2. Проверяем, может ли дискриминант \(D\) обращаться в 0.

Если может, то рассматриваем этот случай отдельно, так как при \(D=0\) корень только один, и он совпадает с \(x_0.\)

3. Случаи \(A\geqslant 0\) и \(A\leqslant 0\) рассматриваем по отдельности.

При \(A\geqslant 0\) и \(A\leqslant 0\) ветви параболы направлены в разные стороны, из-за чего знаки условий на значения функции в некоторых точках будут отличаться.

4.Если нам подходит случай, в котором корень квадратичного трехчлена совпадает с некоторым числом \(x_3,\) то рассматриваем этот случай отдельно.

Для этого решаем уравнение \(f(x_3)=0,\) находим значения параметра и проверяем их.

5. Если нужно задать расположение корней квадратичного трехчлена относительно некоторого числа, то используем следующие "гвозди": знак старшего коэффициента, дискриминант, положение абсциссы \(x_0\) вершины параболы и значение функции \(f(x)\) в нужной точке.

Заметим, что в задаче может потребоваться записать несколько систем из "гвоздей", чтобы покрыть все подходящие случаи и отсечь все неподходящие.

Важно сначала найти значения параметра, при которых трехчлен перестает быть квадратичным или при которых появляются особые положения. И лишь потом приступать к сути метода "гвоздей": изображению нужного вида параболы, записи системы из условий-гвоздей и решению этой системы.

Рассмотрим задачу, решающуюся с помощью метода "гвоздей".

Условие

При каких значениях параметра \(a\) один из корней уравнения \[(a^2 + a + 1)x^2 + (2a - 3)x + a - 5 = 0\]

больше 1, а другой меньше 1?

Решение

Пусть \[y(x) = (a^2 + a + 1)x^2 + (2a - 3)x + a - 5 .\]

Рассмотрим множитель, стоящий перед \(x^2.\) Если он отрицательный, то ветви параболы, задаваемой \(y(x),\) направлены вниз; если он положительный, то ветви параболы, задаваемой \(y(x),\) направлены вверх; если он равен нулю, то \(y(x)\) — линейная функция.

Пусть \(h(a) = a^2 + a + 1.\) Заметим, что \(h(a) \geqslant 0\) при любом \(a\in\R,\) так как у квадратичного трехчлена \(a^2 + a + 1\) дискриминант \(D_h = -3 \leqslant 0,\) а старший коэффициент \(1 \geqslant 0.\)

Следовательно, \(y(x)\) задает параболу, ветви которой направлены вверх.

Тогда корни уравнения \(y(x) = 0\) будут располагаться по разные стороны от числа 1 в том и только в том случае, когда парабола, задаваемая \(y(x),\) выглядит следующим образом:

Начинаем составлять систему из "гвоздей".

Во-первых, корней должно быть обязательно два. Получаем первый "гвоздь": \(D\geqslant 0.\)

Во-вторых, чтобы корни располагались по разные стороны от числа 1, число 1 должно находиться между корнями. Значит, точка с абсциссой, равной 1, должна лежать обязательно на "шапочке" параболы. Так как ветви параболы направлены вверх, то это значит, что значение функции \(y(x)\) в точке 1 должно быть отрицательным. Получаем второй "гвоздь": \(y(1)\leqslant 0.\)

По итогу имеем систему из условий-гвоздей: \[\begin{cases} D \geqslant 0, \\ y(1) \leqslant 0. \end{cases}\]

Заметим, что условие на дискриминант в данном случае необязательно, так как если есть хотя бы одна точка, в которой значение квадратичной функции с положительным старшим коэффициентом меньше нуля, то у квадратичного трехчлена два корня будут автоматически.

Поэтому достаточно решить второе неравенство: \[\begin{gathered} y(1) \leqslant 0\\ (a^2+a+1)\cdot1^2 + (2a-3)\cdot1 + a - 5 \leqslant 0 \end{gathered}\]

\[\begin{gathered} a^2+4a-7\leqslant 0\\ a_{1,2} = \dfrac{-4\pm \sqrt{16 + 28}}{2\cdot 1}= \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -2 \pm \sqrt{11}\\ \end{gathered}\]

Воспользуемся методом интервалов:

Отсюда получаем: \[a \in \left(-2 - \sqrt{11}; -2 + \sqrt{11}\right).\]