№18. Задачи с параметром - Введение в параметры
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Теоретическая справка
#1011
Теория
В задачах с параметром нам обычно дано уравнение, неравенство или система относительно какого-либо количества переменных (чаще всего относительно одной переменной \(x\)), в которых также присутствует некоторая неизвестная \(a.\) Эта неизвестная \(a\) называется параметром и по сути является некоторым числом.
Обычно задачу с параметром можно отнести к одному из двух типов. В первом необходимо найти все значения параметра \(a,\) при каждом из которых будет выполняться условие задачи. А во втором необходимо решить уравнение/неравенство/систему при всех значения параметра \(a.\)
То есть в первом случае от нас в качестве ответа ждут "набор" значений параметра \(a,\) при подстановке которых в уравнение/неравенство/систему будет выполняться требуемое.
Во втором же случае в ответ необходимо написать, какие решения имеет уравнение/неравенство/система при каждом значении параметра \(a.\)
Стоит заметить, что может встретиться задача и с иной формулировкой. Однако идейно ее все равно можно будет свести к задаче первого или второго типа.
Рассмотрим простую задачу с параметром, чтобы на примере понять, что такое параметр \(a.\)
\(\enclose{roundedbox}[ color=#137A32 , mathbackground=#EBF7EE, border: 2px solid 137A32 , padding: 8px ]{\textcolor{black}{\text{При всех значениях параметра \(a\) решите уравнение \(2a - ax = 0\).}}}\)
Решение
Перед нами уравнение, зависящее от \\(x,\\) с параметром \\(a.\\)
Вместо $a$ мы можем подставить любое число. Например, можно подставить $a=2$ в исходное уравнение. Тогда получим:
$$2 \cdot 2 - 2 \cdot x = 0.$$
Отсюда после упрощения находим решение этого уравнения:
$$x = 2$$
Однако это лишь решение уравнения при одном конкретном значении параметра $a.$
Нам же надо решить это уравнение при всех значениях параметра $a.$
То есть по сути параметр создает целую "мультивселенную" уравнений, в которой нужно разобраться.
Заметим, что в нашем уравнении переменная \(x\) присутствует лишь в первой степени. Следовательно, это уравнение линейного типа. Преобразуем его: \[ax = 2a.\]
Мы хотим поделить обе части уравнения на \(a,\) чтобы выразить \(x.\) Однако мы знаем, что на \(0\) делить нельзя. И так как \(a\) может оказаться в том числе и равным нулю, то дальнейшее решение разбивается на два случая:
\(\bullet\) \(a=0;\)
\(\bullet\) \(a \neq 0.\)
Заметим, что рассмотрение случаев в задаче возникает только в тот момент, когда мы можем сделать определенное действие не во всех случаях. Тогда мы по сути разбиваем задачу на две: в одной работаем со случаями, в которых можем сделать это действие, а в другой — разбираемся другими способами со случаями, в которых это действие сделать нельзя.
Например, при решении уравнения
$$-(a - 1)x + 2a = 0$$
рассмотрение случая $a = 0$ особой пользы не принесет. А вот случай $a = 1$ необходимо рассмотреть отдельно, так как при этом значении параметра $a$ коэффициент при $x$ будет равен нулю и поделить на него мы не сможем.
Отметим, что если некоторый случай возникает только при конкретном значении параметра, то часто удобнее всего просто подставить это значение параметра в уравнение, неравенство или систему и решить уже привычную задачу, в которой параметра нет.
Получаем ответ:
\(\bullet\) если \(a=0,\) то \(x\in \mathbb{R};\)
\(\bullet\) если \(a\ne 0,\) то \(x=2.\)
Неравенства с параметром
Как уже говорилось ранее, параметр может также появиться и в неравенствах. В этом случае важно не забыть о том, что при делении неравенства на некоторое ненулевое число необходимо знать его знак:
- если мы делим на положительное число, то знак неравенства не меняется;
- если мы делим на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный.
Рассмотрим задачу, в которой присутствует неравенство с параметром.
Решите неравенство
$$ax-3\geqslant a^2-2x$$
при всех значениях параметра $a.$
Решение
Видим, что в данное неравенство переменная \(x\) входит только в первой степени, следовательно, это неравенство линейного типа. Перенесем слагаемые с \(x\) в левую часть, а остальные — в правую. Затем вынесем \(x\) как общий множитель за скобки: \[\begin{gathered} ax+2x\geqslant a^2+3 \\ (a+2)\cdot x\geqslant a^2+3 \end{gathered}\]
Далее нам хочется оставить с одной стороны неравенства только \(x.\) Это можно сделать с помощью деления обеих частей неравенства на коэффициент при \(x,\) то есть на скобку \((a+2).\) Однако она может равняться нулю, и тогда делить нельзя; может быть положительной, и тогда при делении знак неравенства не изменится; может быть отрицательной, и тогда при делении знак неравенства изменится на противоположный. Получается, в данной задаче три случая. Рассмотрим каждый по отдельности.
\(\bullet\) Пусть \(a+2=0 \quad \Leftrightarrow \quad a=-2.\) Тогда неравенство имеет вид \(0 \cdot x \geqslant 7,\) что неверно ни при каком \(x.\) Следовательно, решение неравенства в этом случае \(x\in\varnothing.\)
\(\bullet\) Пусть \(a+2\geqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad a\geqslant -2.\) Тогда разделим обе части неравенства на \((a+2),\) знак неравенства при этом не изменится: \[x\geqslant \dfrac{a^2+3}{a+2}.\] Решением неравенства в этом случае будут \[x\in\left(\dfrac{a^2+3}{a+2};+\infty\right).\]
\(\bullet\) Пусть \(a+2\leqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad a\leqslant -2.\) Тогда разделим обе части неравенства на \((a+2),\) знак неравенства при этом изменится на противоположный: \[x\leqslant \dfrac{a^2+3}{a+2}.\] Решением неравенства в этом случае будут \[x\in\left(-\infty;\dfrac{a^2+3}{a+2}\right).\]
В итоге получаем ответ:
\(\bullet \ a\in (-\infty;-2) \quad \Rightarrow \quad x\in\left(-\infty;\dfrac{a^2+3}{a+2}\right)\);
\(\bullet \ a = -2 \quad \Rightarrow \quad x\in\varnothing;\)
\(\bullet \ a\in (-2;+\infty) \quad \Rightarrow \quad x\in\left(\dfrac{a^2+3}{a+2};+\infty\right)\).
