Первообразная

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $I$, если для любого числа $x_0$ из этого промежутка верно равенство $F'(x_0) = f(x_0)$.

Пример

Пусть $y = x^3 + 4$ – исходная функция, тогда $y = 0,25x^4 + 4x$ – её первообразная на всей числовой оси.

Кроме того, её первообразными являются и функции, которые получаются следующим образом: возьмём любое число (обозначим его $C$) и прибавим его к уже известной первообразной: $y = 0,25x^4 + 4x + C$ – тоже первообразная функции $y = x^3 + 4$ на всей числовой оси.

Теорема

Если $y = F(x)$ – первообразная функции $y = f(x)$ на промежутке $I$, то у функции $y = f(x)$ на промежутке $I$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y = F(x) + C$, где $C$ – произвольное число.