Окружность: описанная около многоугольника

Определение

Окружность $S$ описана около многоугольника $P$, если все вершины многоугольника $P$ лежат на окружности $S$.

В этом случае многоугольник $P$ называется вписанным в окружность.

 

Определение

Серединный перпендикуляр к отрезку – это прямая, проходящая через середину данного отрезка перпендикулярно ему.

 

Теорема

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

 

Доказательство

Рассмотрим отрезок $AB$ и серединный перпендикуляр $a$ к нему. Докажем, что для любой точки $X\in a$ выполнено: $AX=BX$.

 

Рассмотрим $\triangle AXB$: отрезок $XO$ является медианой и высотой, следовательно, $\triangle AXB$ – равнобедренный, следовательно, $AX=BX$.

 

Теорема

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

 

Доказательство

Рассмотрим $\triangle ABC$. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$. Они пересекутся в точке $O$.

 

По предыдущей теореме для серединного перпендикуляра $C_1O$ выполнено: $AO=BO$, а для $B_1O$ — $AO=CO$. Следовательно, $BO=CO$. Значит, $\triangle BOC$ – равнобедренный, следовательно, высота $OA_1$, проведенная к основанию $BC$, будет также и медианой. Значит, $OA_1$ – серединный перпендикуляр к отрезку $BC$.

 

Таким образом, все три серединных перпендикуляра пересеклись в одной точке $O$.

 

Следствие

Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на его серединном перпендикуляре.

 

Теорема

Около любого треугольника можно описать единственную окружность, причём центр описанной окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

 

Доказательство

Из доказанной выше теоремы следует, что $AO=BO=CO$. Значит, все вершины треугольника равноудалены от точки $O$, следовательно, они лежат на одной окружности.

 

Такая окружность единственна. Допустим, что около $\triangle ABC$ можно описать еще одну окружность. Тогда ее центр должен совпасть с точкой $O$ (т.к. это единственная точка, равноудаленная от вершин треугольника), а радиус должен быть равен расстоянию от центра до какой-то из вершин, т.е. $OA$. Т.к. у этих окружностей совпадают и центр, и радиус, то и эти окружности совпадают.

 

Теорема о площади вписанного треугольника

Если $a, b, c$ – стороны треугольника, а $R$ – радиус описанной около него окружности, то площадь треугольника $$S_{\triangle}=\dfrac{abc}{4R}$$

Доказательство*
С доказательством данной теоремы рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Теорема синусов”.

 

Обозначим угол между сторонами $a$ и $c$ за $\alpha$. Тогда $S_{\triangle}=\frac12 ac\cdot \sin \alpha$.

 

По теореме синусов $\dfrac b{\sin\alpha}=2R$, откуда $\sin \alpha=\dfrac b{2R}$. Следовательно, $S_{\triangle}=\dfrac{abc}{4R}$.

 

Теорема

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны $180^\circ$.

Доказательство

Необходимость.

 

Если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность, то $\buildrel\smile\over{ABC} + \buildrel\smile\over{ADC} = 360^\circ$, откуда $\angle ABC + \angle ADC = \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{ABC} + \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{ADC} = \frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{ABC} + \buildrel\smile\over{ADC}) = 180^\circ$. Для углов $BCD$ и $BAD$ аналогично.

 

Достаточность.

 

Опишем окружность около треугольника $ABC$. Пусть центр этой окружности – точка $O$. На прямой, проходящей через точки $O$ и $D$ отметим точку $D'$ пересечения этой прямой и окружности. Предположим, что точки $D$ и $D'$ не совпали, тогда рассмотрим четырёхугольник $CD'AD$.

 

Углы $CD'A$ и $CDA$ дополняют угол $ABC$ до $180^\circ$ ($\angle CDA$ дополняет по условию, а $\angle CD'A$ по доказанному выше), следовательно, они равны, но тогда сумма углов четырёхугольника $AD'CD$ больше $360^\circ$, чего быть не может (сумма углов это четырёхугольника есть сумма углов двух треугольников), следовательно, точки $D$ и $D'$ совпадают.

 

Замечание. На рисунке точка $D$ лежит вне круга, ограниченного окружностью, описанной около $\triangle ABC$, однако, в случае, когда $D$ лежит внутри, доказательство также остаётся верным.

 

Теорема

Около выпуклого четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда $\angle ABD=\angle ACD$.

 

Доказательство

Необходимость. Если около $ABCD$ описана окружность, то углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ – вписанные и опираются на одну дугу $\buildrel\smile\over{AD}$, следовательно, они равны.

 

Достаточность. Пусть $\angle ABD=\angle ACD=\alpha$. Докажем, что около $ABCD$ можно описать окружность.

 

Опишем окружность около $\triangle ABD$. Пусть прямая $CD$ пересекла эту окружность в точке $C'$. Тогда $\angle ABD=\angle AC'D \Rightarrow \angle AC'D=\angle ACD$.

 

Следовательно, $\angle CAD=\angle C'AD=180^\circ-\angle ADC-\angle AC'D$, то есть $\triangle AC'D=\triangle ACD$ по общей стороне $AD$ и двум прилежащим углам ($\angle C'AD=\angle CAD$, $\angle ADC'=\angle ADC$ – общий). Значит, $DC'=DC$, то есть точки $C'$ и $C$ совпадают.

 

Теоремы

1. Если около параллелограмма описана окружность, то он – прямоугольник (рис. 1).

 

2. Если около ромба описана окружность, то он – квадрат (рис. 2).

 

3. Если около трапеции описана окружность, то она равнобедренная (рис. 3).

 

Верны и обратные утверждения: около прямоугольника, ромба и равнобедренной трапеции можно описать окружность, и притом только одну.

 

Доказательство

1) Пусть около параллелограмма $ABCD$ описана окружность. Тогда суммы его противоположных углов равны $180^\circ: \quad \angle A+\angle C=180^\circ$. Но в параллелограмме противоположные углы равны, т.к. $\angle A=\angle C$. Следовательно, $\angle A=\angle C=90^\circ$. Значит, по определению $ABCD$ – прямоугольник.

 

Обратное утверждение очевидно.

 

2) Пусть около ромба $MNKP$ описана окружность. Аналогично предыдущему пункту (т.к. ромб является параллелограммом) доказывается, что $MNKP$ – прямоугольник. Но все стороны этого прямоугольника равны (т.к. он ромб), значит $MNKP$ – квадрат.

 

Обратное утверждение очевидно.

 

3) Пусть около трапеции $QWER$ описана окружность. Тогда $\angle Q+\angle E=180^\circ$. Но из определения трапеции следует, что $\angle Q+\angle W=180^\circ$. Следовательно, $\angle W=\angle E$. Т.к. углы при основании $WE$ трапеции равны, то она равнобедренная.

 

Обратное утверждение очевидно.