Пирамида

Определение

Пирамида – это многогранник, составленный из многоугольника $A_1A_2...A_n$ и $n$ треугольников с общей вершиной $P$ (не лежащей в плоскости многоугольника) и противолежащими ей сторонами, совпадающими со сторонами многоугольника.
Обозначение: $PA_1A_2...A_n$.
Пример: пятиугольная пирамида $PA_1A_2A_3A_4A_5$.

 

Треугольники $PA_1A_2, \ PA_2A_3$ и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки $PA_1, PA_2$ и т.д. – боковыми ребрами, многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5$ – основанием, точка $P$ – вершиной.

 

Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

 

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром.

 

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий:

 

$(a)$ боковые ребра пирамиды равны;

 

$(b)$ высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;

 

$(c)$ боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

 

$(d)$ боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

 

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.

 

Теорема

Условия $(a), (b), (c), (d)$ эквивалентны.

 

Доказательство

Проведем высоту пирамиды $PH$. Пусть $\alpha$ – плоскость основания пирамиды.

 

1) Докажем, что из $(a)$ следует $(b)$. Пусть $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$.

 

Т.к. $PH\perp \alpha$, то $PH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, треугольники $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ – прямоугольные. Значит, эти треугольники равны по общему катету $PH$ и гипотенузам $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$. Значит, $A_1H=A_2H=...=A_nH$. Значит, точки $A_1, A_2, ..., A_n$ находятся на одинаковом расстоянии от точки $H$, следовательно, лежат на одной окружности с радиусом $A_1H$. Эта окружность по определению и есть описанная около многоугольника $A_1A_2...A_n$.

 

2) Докажем, что из $(b)$ следует $(c)$.

 

Аналогично первому пункту треугольники $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ прямоугольные и равны по двум катетам. Значит, равны и их углы, следовательно, $\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH$.

 

3) Докажем, что из $(c)$ следует $(a)$.

 

Аналогично первому пункту треугольники $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ прямоугольные и по катету и острому углу. Значит, равны и их гипотенузы, то есть $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$.

 

4) Докажем, что из $(b)$ следует $(d)$.

 

Т.к. в правильном многоугольнике совпадают центры описанной и вписанной окружности (вообще говоря, эта точка называется центром правильного многоугольника), то $H$ – центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из точки $H$ на стороны основания: $HK_1, HK_2$ и т.д. Это – радиусы вписанной окружности (по определению). Тогда по ТТП ($PH$ – перпендикуляр на плоскость, $HK_1, HK_2$ и т.д. – проекции, перпендикулярные сторонам) наклонные $PK_1, PK_2$ и т.д. перпендикулярны сторонам $A_1A_2, A_2A_3$ и т.д. соответственно. Значит, по определению $\angle PK_1H, \angle PK_2H$ равны углам между боковыми гранями и основанием. Т.к. треугольники $PK_1H, PK_2H, ...$ равны (как прямоугольные по двум катетам), то и углы $\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...$ равны.

 

5) Докажем, что из $(d)$ следует $(b)$.

 

Аналогично четвертому пункту треугольники $PK_1H, PK_2H, ...$ равны (как прямоугольные по катету и острому углу), значит, равны отрезки $HK_1=HK_2=...=HK_n$. Значит, по определению, $H$ – центр вписанной в основание окружности. Но т.к. у правильных многоугольников центры вписанной и описанной окружности совпадают, то $H$ – центр описанной окружности. Чтд.

 

Следствие

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

 

Определение

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.

 

Важные замечания

1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).

 

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).

 

3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).

 

4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.  

Определение

Пирамида называется прямоугольной, если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

 

Важные замечания

1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть $SR$ – высота.

 

2. Т.к. $SR$ перпендикулярно любой прямой из основания, то $\triangle SRM, \triangle SRP$ – прямоугольные треугольники.

 

3. Треугольники $\triangle SRN, \triangle SRK$ – тоже прямоугольные.
То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным.  

$${\Large{\text{Объем и площадь поверхности пирамиды}}}$$

Теорема

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: $$V_{\text{пирамиды}}=\dfrac13 S_{\text{осн}}\cdot h$$

Следствия

Пусть $a$ – сторона основания, $h$ – высота пирамиды.

 

1. Объем правильной треугольной пирамиды равен $V_{\text{прав.треуг.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^2h$,

 

2. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен $V_{\text{прав.четыр.пир.}}=\dfrac13a^2h$.

 

3. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен $V_{\text{прав.шест.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2h$.

 

4. Объем правильного тетраэдра равен $V_{\text{прав.тетр.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^3$.

 

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.  

$${\Large{\text{Усеченная пирамида}}}$$

Определение

Рассмотрим произвольную пирамиду $PA_1A_2A_3...A_n$. Проведем через некоторую точку, лежащую на боковом ребре пирамиды, плоскость параллельно основанию пирамиды. Данная плоскость разобьет пирамиду на два многогранника, один из которых – пирамида ($PB_1B_2...B_n$), а другой называется усеченная пирамида ($A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$).

 

Усеченная пирамида имеет два основания – многоугольники $A_1A_2...A_n$ и $B_1B_2...B_n$, которые подобны друг другу.

 

Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания.

 

Важные замечания

1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

 

2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой.