Поверхности вращения: цилиндр, конус, сфера

$${\Large{\text{Цилиндр}}}$$

Рассмотрим окружность $C$ с центром $O$ радиуса $R$ на плоскости $\alpha$. Через каждую точку окружности $C$ проведем прямую перпендикулярно плоскости $\alpha$. Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью.
Сами прямые называются образующими данной поверхности.

 

Проведем теперь через некоторую точку некоторой образующей плоскость $\beta\parallel \alpha$. Множество точек, по которым образующие пересекут плоскость $\beta$, образует окружность $C'$, равную окружности $C$.
Часть пространства, ограниченная двумя кругами $K$ и $K'$ с границами $C$ и $C'$ соответственно, а также частью цилиндрической поверхности, заключенной между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, называется цилиндром.

Круги $K$ и $K'$ называются основаниями цилиндра; отрезки образующих, заключенных между плоскостями, – образующими цилиндра; часть цилиндрической поверхности, образованная ими, — боковой поверхностью цилиндра. Отрезок, соединяющий центры оснований цилиндра равен образующей цилиндра и равен высоте цилиндра ($l=h$).

 

Теорема

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $$S_{\text{бок.пов-ти цилиндра}}=2\pi R\cdot h$$

где $R$ – радиус основания цилиндра, $h$ – высота (образующая).

 

Теорема

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площадей обоих оснований $$S_{\text{полн.пов-ти цилиндра}}=2\pi R\cdot h+2\pi R^2=2\pi R(R+h)$$

Теорема

Объем цилиндра вычисляется по формуле $$V_{\text{цилиндра}}=\pi R^2\cdot h$$  

$${\Large{\text{Конус}}}$$

Рассмотрим плоскость $\alpha$ и на ней окружность $C$ с центром $O$ и радиусом $R$. Через точку $O$ проведем прямую, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Отметим на этой прямой некоторую точку $P$. Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через точку $P$ и каждую точку окружности $C$, называется конической поверхностью, а эти прямые – образующими конической поверхности. Часть пространства, ограниченная кругом с границей $C$ и отрезками образующих, заключенными между точкой $P$ и точкой на окружности, называется конусом. Отрезки $PA$, где $A\in \text{окр. } C$, называются образующими конуса; точка $P$ – вершина конуса; круг с границей $C$ – основание конуса; отрезок $PO$ – высота конуса.

 

Замечание

Заметим, что у конуса высота и образующая не равны друг другу, как было в случае с цилиндром.

 

Теорема

Площадь боковой поверхности конуса равна $$S_{\text{бок.пов-ти конуса}}=\pi R\cdot l$$

где $R$ – радиус основания конуса, $l$ – образующая.

 

Теорема

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площадей основания $$S_{\text{полн.пов-ти конуса}}=\pi R\cdot l+\pi R^2=\pi R(R+l)$$

Теорема

Объем конуса вычисляется по формуле $$V_{\text{конуса}}=\dfrac13\pi R^2\cdot h$$

Замечание

Заметим, что цилиндр в каком-то смысле является призмой, только в основании находится не многоугольник (как у призмы), а круг.
Формула объема цилиндра такая же, как и формула объема призмы: произведение площади основания на высоту.

 

Аналогично конус в каком-то смысле является пирамидой. Поэтому формула объема конуса такая же, как и у пирамиды: треть площади основания на высоту.  

$${\Large{\text{Сфера и шар}}}$$

Рассмотрим множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки $O$ на расстояние $R$. Это множество называется сферой с центром в точке $O$ радиуса $R$.
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр называется диаметром сферы.

Сфера вместе со своей внутренностью называется шаром.

 

Теорема

Площадь сферы вычисляется по формуле $$S_{\text{сферы}}=4\pi R^2$$

Теорема

Объем шара вычисляется по формуле $$V_{\text{шара}}=\dfrac43 \pi R^3$$

Определение

Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью.
Пусть плоскость пересекла шар по кругу $K$ с центром в точке $Q$. Соединим точки $O$ (центр шара) и $Q$ и продлим этот отрезок до пересечения со сферой – получим радиус $OP$. Тогда отрезок $QP$ называется высотой сегмента.

 

Теорема

Пусть $R$ – радиус шара, $h$ – высота сегмента, то объем шарового сегмента равен $$V_{\text{}}=\pi h^2 (R-\dfrac13h)$$

Определение

Шаровой слой – это часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими этот шар. Круги, по которым плоскости пересекают шар, называются основаниями шарового слоя, отрезок, соединяющий центры оснований – высотой шарового слоя.
Две оставшиеся части шара являются в этом случае шаровыми сегментами.

 

Объем шарового слоя равен разности объема шара и объемов шаровых сегментов с высотами $AP$ и $BT$.