Стереометрия. Краткий справочник - Справочник с основными фактами стереометрии

Факт 1. Про параллельность прямых
∙∙ Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
∙∙ Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.
∙∙ Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
∙∙ Если прямая a параллельна прямой b, а та в свою очередь параллельна прямой c, то a∥c.
∙∙ Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой a, плоскости β и π пересекаются по прямой b, плоскости π и α пересекаются по прямой p. Тогда если a∥b, то p∥a (или p∥b):

Факт 2. Про параллельность прямой и плоскости
∙∙ Существует три вида взаимного расположения прямой и плоскости:
1. прямая имеет с плоскостью две общие точки (то есть лежит в плоскости);
2. прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку (то есть пересекает плоскость);
3. прямая не имеет с плоскостью общих точек (то есть параллельна плоскости).
∙∙ Если прямая a, не лежащая в плоскости π, параллельна некоторой прямой p, лежащей в плоскости π, то она параллельна данной плоскости.



∙∙ Пусть прямая p параллельна плоскости μ. Если плоскость π проходит через прямую p и пересекает плоскость μ, то линия пересечения плоскостей π и μ — прямая m — параллельна прямой p.

Факт 3. Про параллельность плоскостей
∙∙ Если две плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными плоскостями.
∙∙ Если две пересекающиеся прямые из одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.



∙∙ Если две параллельные плоскости α и β пересечены третьей плоскостью γ, то линии пересечения плоскостей также параллельны: α∥β, α∩γ=a, β∩γ=b⟹a∥b


∙∙ Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны: α∥β, a∥b⟹A1B1=A2B2

Факт 4. Про скрещивающиеся прямые
∙∙ Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
∙∙ Признак:
Пусть прямая l лежит в плоскости λ. Если прямая s пересекает плоскость λ в точке S, не лежащей на прямой l, то прямые l и s скрещиваются.



∙∙ алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми a и b:
Шаг 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых a провести плоскость π параллельно другой прямой b. Как это сделать: проведем плоскость β через прямую b так, чтобы она пересекала прямую a в точке P; через точку P проведем прямую p∥b; тогда плоскость, проходящая через a и p, и есть плоскость π.
Шаг 2. В плоскости π найти угол между прямыми a и p (p∥b). Угол между ними будет равен углу между скрещивающимися прямыми a и b.

Факт 5. Про перпендикулярность прямой и плоскости
∙∙ Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
∙∙ Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
∙∙ Признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Факт 6. Про расстояния
∙∙ Для того, чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, нужно из любой точки одной прямой опустить перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямыми.
∙∙ Для того, чтобы найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, нужно из любой точки прямой опустить перпендикуляр на эту плоскость. Длина перпендикуляра и есть расстояние между этими прямой и плоскостью.
∙∙ Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, нужно из любой точки одной плоскости опустить перпендикуляр к другой плоскости. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между параллельными плоскостями.
∙∙ алгоритм нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми a и b:
Шаг 1. Через одну из двух скрещивающихся прямых a провести плоскость π параллельно другой прямой b. Как это сделать: проведем плоскость β через прямую b так, чтобы она пересекала прямую a в точке P; через точку P проведем прямую p∥b; тогда плоскость, проходящая через a и p, и есть плоскость π.
Шаг 2. Найдите расстояние от любой точки прямой b до плоскости π. Это расстояние и есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.  

Факт 7. Про теорему о трех перпендикулярах (ТТП)
∙∙ Пусть AH – перпендикуляр к плоскости β. Пусть AB,BHAB,BH – наклонная и ее проекция на плоскость β. Тогда прямая xx в плоскости β будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции: 1.AH⊥β, AB⊥x⇒BH⊥x2.AH⊥β, BH⊥x⇒AB⊥x1. 

Заметим, что прямая x необязательно должна проходить через точку B. Если она не проходит через точку B, то строится прямая x′, проходящая через точку B и параллельная x. Если, например, x′⊥BH, то и x⊥BH.  

Факт 8. Про угол между прямой и плоскостью, а также угол между плоскостями
∙∙ Угол между наклонной прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Таким образом, данный угол принимает значения из промежутка (0∘;90∘).
Если прямая лежит в плоскости, то угол между ними считается равным 0∘. Если прямая перпендикулярна плоскости, то, исходя из определения, угол между ними равен 90∘.
∙∙ Чтобы найти угол между наклонной прямой и плоскостью, необходимо отметить некоторую точку A на этой прямой и провести перпендикуляр AH к плоскости. Если B – точка пересечения прямой с плоскостью, то ∠ABH и есть искомый угол.



∙∙ Для того, чтобы найти угол между плоскостями α и β, можно действовать по следующему алгоритму:
Отметить произвольную точку A в плоскости α.
Провести AH⊥h, где h — линия пересечения плоскостей.
Провести AB перпендикулярно плоскости β.
Тогда AB – перпендикуляр к плоскости β, AH – наклонная, следовательно, HB – проекция. Тогда по ТТП HB⊥h
Следовательно, ∠AHB — линейный угол двугранного угла между плоскостями. Градусная мера этого угла и есть градусная мера угла между плоскостями.



Заметим, что мы получили прямоугольный треугольник △AHB (∠B=90∘). Как правило, находить ∠AHB удобно из него.  

Факт 9. Про перпендикулярность плоскостей
∙∙ Признак: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. a⊥β, a∈α⇒α⊥β

∙∙ Заметим, что так как через прямую a можно провести бесконечное множество плоскостей, то существует бесконечное множество плоскостей, перпендикулярных β (и проходящих через a).