Смежные и вертикальные углы. Треугольник. Равнобедренный треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия

Факт 1.
$\bullet$ Смежные углы - два угла, имеющие общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями одна другой.



Смежные углы: $\angle AOB$ и $\angle BOC$.
Теорема: Сумма смежных углов равна $180^\circ$: $\angle AOB+\angle BOC=180^\circ$.

Факт 2.
$\bullet$ Вертикальные углы - два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого (образуются, например, при пересечении двух прямых).



Вертикальные углы: $\angle 1$ и $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$.
Теорема: Вертикальные углы равны: $\angle 1=\angle 2$ и $\angle 3=\angle 4$.

Факт 3.
$\bullet$ Сумма углов $\angle A, \angle B, \angle C$ треугольника $ABC$ равна $180^\circ$.
$\bullet$ Внешний угол $\angle BCD$ треугольника $ABC$ равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Факт 4.
$\bullet$ Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
$\bullet$ Биссектрисы односторонних углов при параллельных прямых взаимно перпендикулярны.

Факт 5.
$\bullet$ Прямая теорема: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла.
$\bullet$ Обратная теорема: если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Факт 6.
$\bullet$ Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны. Третья сторона треугольника называется основанием.
Первое свойство равнобедренного треугольника:



Второе свойство равнобедренного треугольника: углы при основании равны.



Первый признак равнобедренного треугольника: если у треугольника два угла равны, то он равнобедренный.
Второй признак равнобедренного треугольника: если у треугольника совпадают высота и медиана (высота и биссектриса или медиана и биссектриса), проведенные к одной и той же стороне, то этот треугольник является равнобедренным.

Факт 7.
$\bullet$ Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Факт 8.
$\bullet$ Медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении $2:1$, считая от вершины.

Факт 9.
$\bullet$ Медиана треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Факт 10.
$\bullet$ Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, делит его на два треугольника, подобных исходному.
$\bullet$ Квадрат этой высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.

Факт 11.
$\bullet$ Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
$\bullet$ 1. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне.
$\bullet$ 2. Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.
$\bullet$ 3. Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему треугольник.