Банковский кредит. Аннуитетный платеж

Аннуитетный платеж – это такая система выплат, при которой кредит выплачивается ежегодно (ежемесячно) равными платежами.
При этом каждый год (месяц) до внесения платежа банк начисляет на оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга увеличивается на это количество процентов.

Пример 1. Клиент взял в банке $500\,000$ рублей под $5\%$ годовых. Сколько рублей он будет должен банку в конце первого года?

Т.к. процентная ставка составляет $5\%$, то в конце первого года клиент будет должен банку $105\%$ от первоначальной суммы, т.е. от $500\,000$ рублей:

$\dfrac{105}{100}\cdot 500\,000=1,05\cdot 500\,000=525\,000$ рублей.

Пример 2. Клиент взял $2,1$ млн рублей в банке под $10\%$ годовых и должен погасить кредит через $2$ года равными ежегодными платежами. Сколько рублей должен составлять его ежегодный платеж?

Обозначим ежегодный платеж за $x$ млн рублей. Составим таблицу: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после платежа}\\ \hline 1&2,1&2,1\cdot 0,01(100+10)=1,1\cdot 2,1&1,1\cdot 2,1-x\\ \hline 2&1,1\cdot2,1-x&(1,1\cdot2,1-x)\cdot0,01(100+10)&1,1(1,1\cdot2,1-x)-x\\ \hline \end{array}$$ Т.к. в конце второго года кредит должен быть выплачен полностью, то это значит, что долг банку на конец второго года равен нулю. То есть $1,1(1,1\cdot2,1-x)-x=0\Leftrightarrow 1,1^2\cdot2,1-x(1,1+1)=0$.

Отсюда находим ежегодный платеж $x=1,21$ млн рублей.

Пример 3. Клиент хочет взять в банке кредит на $2$ месяца под $12,5\%$. Выплачивать кредит он должен равными ежемесячными платежами. Какую сумму он может взять в банке, если каждый месяц он будет вносить $81\,000$ рублей?

Будем производить все вычисления в тысячах рублей (чтобы вычисления были проще). Обозначим сумму, которую клиент возьмет в банке, за $A$ тыс. рублей. Если раз в месяц на оставшуюся часть долга начисляется $12,5\%$, то это значит, что эта часть долга увеличивается в $\dfrac{100+12,5}{100}=1,125$ раз. Составим таблицу: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после платежа}\\ \hline 1&A&1,125\cdot A&1,125\cdot A-81\\ \hline 2&1,125\cdot A-81&1,125\cdot (1,125\cdot A-81)&1,125(1,125\cdot A-81)-81\\ \hline \end{array}$$ Т.к. в конце второго месяца кредит должен быть выплачен полностью, то: $$1,125(1,125\cdot A-81)-81=0 \Rightarrow 1,125^2A-81\cdot (1,125+1)=0 \Rightarrow A=\dfrac{81\cdot(1,125+1)}{1,125^2}$$ Чтобы вычисления были проще, переведем дробь $1,125$ в рациональную: $1,125=\dfrac 98$.

Тогда $A=\dfrac{17\cdot 81\cdot 8^2}{8\cdot 9^2}$, откуда с легкостью находим, что $A=136$ тыс.руб.

Не забываем перевести сумму из тыс.руб. в рубли.
Таким образом, клиент может взять в банке $136\,000$ рублей.

Пример 4. Михаил взял в банке $488\,000$ рублей на $3$ года. В банке ему сказали, что выплачивать кредит он должен, внося каждый год платеж в размере $250\,000$ рублей, но забыли сообщить о процентной ставке банка. Помогите Михаилу определить, какой процент начисляет банк раз в год на сумму долга?

Будем производить все вычисления в тысячах рублей. Обозначим процентную ставку банка за $r\%$. Тогда каждый год банк увеличивает оставшуюся сумму долга на $r\%$, т.е. сумма долга после начисления процентов будет равна $(100+r) \%$ от суммы долга до начисления процентов. Или, что то же самое, будет в $\dfrac{100+r}{100}$ раз больше, чем сумма долга до начисления процентов. Обозначим величину $\dfrac{100+r}{100}$ за $t$ и составим таблицу: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после платежа}\\ \hline 1&488&t\cdot 488&t\cdot 488-250\\ \hline 2&t\cdot 488-250&t\cdot (t\cdot 488-250)&t(t\cdot 488-250)-250\\ \hline 3&t(t\cdot 488-250)-250&t(t(t\cdot 488-250)-250)&t(t(t\cdot 488-250)-250)-250\\ \hline \end{array}$$ Т.к. в конце третьего года кредит должен быть выплачен полностью, то $$t(t(t\cdot 488-250)-250)-250=0 \Rightarrow 488t^3-250(t^2+t+1)=0 \Rightarrow 244t^3-125t^2-125t-125=0$$ Получили кубическое уравнение. Попробуем угадать его корень. Если кубическое уравнение имеет рациональный корень $\dfrac pq$, то $125$ делится на $p$, а $244$ делится на $q$. Заметим также, что скорее всего $0\leqslant r\leqslant 100$ и $r$ — целое число (по логике задачи), значит скорее всего $1\leqslant t\leqslant 2$ и $t$ — рациональное. В таком случае нам подходят лишь комбинации $\dfrac 54, \ \dfrac {125}{122}$. Проверкой убеждаемся, что $t=\dfrac 54$ является корнем нашего уравнения.

Значит, уравнение принимает вид $(4t-5)(61t^2+45t+25)=0$
Уравнение $61t^2+45t+25=0$ не имеет корней.

Значит, наше кубическое уравнение имеет всего один корень $t=\dfrac 54$, откуда $r=25\%$.  

Выведем общую формулу для аннуитетных платежей. Уже по уравнениям из предыдущих примеров должно стать понятно, как она выглядит. Но все же приведем ее вывод.

Вывод формулы:

Пусть клиент взял в банке $A$ руб. в кредит на $n$ лет. Годовая процентная ставка в банке $r\%$. Выплачивать кредит необходимо равными ежегодными платежами.

Обозначим $\dfrac{100+r}{100}$ за $t$: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после платежа}\\ \hline 1&A&tA&tA-x\\ \hline 2&tA-x&t(tA-x)&t(tA-x)-x=t^2A-tx-x\\ \hline 3&t^2A-tx-x&t(t^2A-tx-x)&t(t^2A-tx-x)-x=\\ &&&=t^3A-t^2x-tx-x\\ \hline \dots &\dots&\dots&\dots\\ \hline n&t^{n-1}A-t^{n-2}x-\dots-x&t(t^{n-1}A-t^{n-2}x-\dots-x)&t(t^{n-1}A-t^{n-2}x-\dots-x)-x\\ \hline \end{array}$$

Таким образом, $t(t^{n-1}A-t^{n-2}x-\dots-x)-x=0 \Rightarrow t^nA-x(t^{n-1}+t^{n-2}+\dots+1)=0$

Значит, в случае с аннуитетным платежом имеет место следующая формула: $${\large{\left(\frac{100+r}{100}\right)^n\cdot A-x\left(\left(\frac{100+r}{100}\right)^{n-1}+\left(\frac{100+r}{100}\right)^{n-2}+\dots+1\right)=0}}$$ где $A$ – сумма, взятая в кредит, $r\%$ – процентная ставка в банке, $x$ – сумма платежа, $n$ – количество лет (месяцев), на которое взят кредит.