Банковский кредит. Дифференцированный платеж

Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц).
При этом платежи каждый год разные.

 

Таким образом, если кредит взят на $n$ лет, то это значит, что сумму кредита $A$ разделили на $n$ равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на $\dfrac1n A$ по сравнению с долгом на начало года.

 

Пример 1. Клиент взял в банке кредит на $2$ года под $15\%$ годовых. Выплачивать кредит он должен ежегодными платежами так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно. Какую сумму он взял в банке, если оказалось, что в итоге он заплатил банку $490\,000$ рублей?

 

Пусть кредит составил $A$ рублей. Т.к. кредит взят на $2$ года, значит после первой выплаты долг должен составлять $A-\frac12 A=\frac12 A$ рублей, после второй выплаты $\frac12 A-\frac12 A=0$ рублей. Составим таблицу: $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}& \text{Выплата}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&A&A+0,15A&\frac12 A&0,15A+\frac12A\\ \hline 2&\frac12A&\frac12A+0,15\cdot\frac12A&0&0,15\cdot\frac12A+\frac12A\\ \hline \end{array}$$ То, что клиент в итоге заплатил банку, есть не что иное, как сумма всех выплат по кредиту.

 

Т.е. $0,15A+\frac12A+0,15\cdot\frac12A+\frac12A=490\,000 \Rightarrow A=\dfrac{490\,000\cdot 2}{2,45}=400\,000$ рублей.

 

Пример 2. Александр взял в банке кредит на $50\,000$ рублей на $3$ месяца, причем выплачивать кредит он должен ежемесячными выплатами так, чтобы сумма долга каждый месяц уменьшалась на одну и ту же величину. Сколько рублей составит переплата Александра по кредиту, если процентная ставка в банке $10\%$?

 

Т.к. кредит взят на $3$ месяца, то после первой выплаты долг должен составить $A-\frac13A=\frac23 A$, после второй $\frac23A-\frac13A=\frac13A$, а после третьей — $0$ рублей. Составим таблицу, производя все вычисления в тыс. рублей: $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}& \text{Выплата}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&50&50+0,1\cdot 50&\frac23\cdot 50&0,1\cdot 50+\frac13\cdot 50\\ \hline 2&\frac23\cdot 50&\frac23\cdot 50+0,1\cdot\frac23\cdot 50&\frac13\cdot 50&0,1\cdot \frac23\cdot 50+\frac13\cdot50\\ \hline 3&\frac13\cdot 50&\frac13\cdot 50+0,1\cdot \frac13\cdot 50&0&0,1\cdot \frac13\cdot 50+\frac13\cdot 50\\ \hline \end{array}$$

Таким образом, всего Александр заплатил банку $\big(0,1\cdot 50+\dfrac13\cdot 50\big)+\big(0,1\cdot \dfrac23\cdot 50+\dfrac13\cdot50\big)+\big(0,1\cdot \dfrac13\cdot 50+\dfrac13\cdot 50\big)$ тыс.рублей.

 

Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:

 

$0,1\cdot 50 \left(1+\dfrac23+\dfrac13\right)+3\cdot \dfrac13\cdot 50=0,1\cdot 50\cdot 2+50$

 

Для того, чтобы найти переплату по кредиту, необходимо из того, что он в итоге заплатил банку, отнять сумму кредита:

 

$\big(0,1\cdot 50\cdot 2+50\big)-50=10$ тыс. рублей.
Таким образом, его переплата составила $10\,000$ рублей.  

Заметим,

 

I. что каждая выплата состоит из двух частей:
первая часть — это сумма “набежавших” процентов на текущий долг (в первый год это $0,1\cdot 50$, во второй — $0,1\cdot \big(\frac23\cdot 50\big)$ и т.д.)
вторая часть всегда фиксирована — это та часть, на которую должен уменьшаться долг каждый год (в нашем примере это $\frac13\cdot 50$).

 

Действительно, когда клиент выплачивает “набежавшие” проценты, сумма его долга становится равна той, которая была до начисления процентов (например, в первый год становится равна $A$). А далее он еще вносит $\frac 1n$ часть от этого долга. И таким образом сумма долга уменьшается на $\frac 1n$ часть, что и подразумевает дифференцированная система платежей.

 

II. переплата по кредиту всегда равна сумме “набежавших” процентов на долг в первый год, во второй год, в третий год и т.д.

 

В нашем примере переплата как раз равна $0,1\cdot 50+0,1\cdot \frac23\cdot 50+0,1\cdot \frac13\cdot 50$.

 

Пример 3. Банк предлагает клиентам кредит на $1$ млн рублей на следующих условиях:
– каждый год банк начисляет на оставшуюся часть долга $10\%$;
– после начисления процентов клиент обязан внести платеж;
– через $5$ лет кредит должен быть выплачен полностью;
– система выплат дифференцированная.

 

Сколько процентов от первоначального долга составит переплата по такому кредиту?

 

Т.к. кредит выдается на $5$ лет, это значит, что долг должен уменьшаться каждый год на $\frac15\cdot 1$ млн рублей, то есть после первой выплаты долг составит $1-\frac15\cdot 1=\frac45$ млн рублей, после второй $\frac45-\frac15=\frac35$ млн рублей и т.д.

 

Составим таблицу, причем все вычисления будем производить в млн рублей: $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}& \text{Выплата}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после выплаты}&\\ \hline 1&1&1+0,1&\frac45&0,1+\frac15\\ \hline 2&\frac45&\frac45+0,1\cdot\frac45&\frac35&0,1\cdot \frac45+\frac15\\ \hline 3&\frac35&\frac35+0,1\cdot\frac35&\frac25&0,1\cdot \frac35+\frac15\\ \hline 4&\frac25&\frac25+0,1\cdot\frac25&\frac15&0,1\cdot \frac25+\frac15\\ \hline 5&\frac15&\frac15+0,1\cdot\frac15&0&0,1\cdot \frac15+\frac15\\ \hline \end{array}$$

Таким образом, переплата по кредиту составила:

$\big(0,1+\frac15\big)+\big(0,1\cdot \frac45+\frac15\big)+\big(0,1\cdot \frac35+\frac15\big)+\big(0,1\cdot \frac25+\frac15\big)+\big(0,1\cdot \frac15+\frac15\big)-1=\dfrac3{10}$ млн рублей.

 

Для того, чтобы посчитать, сколько процентов составила переплата относительно кредита, необходимо переплату разделить на сумму кредита и умножить на $100\%$:

 

$\dfrac{\frac3{10}}{1}\cdot 100\%=30\%$  

Выведем несколько формул:

 

Вывод формулы для выплаты по кредиту:

 

Пусть взят кредит на $A$ рублей, на $n$ лет, годовая ставка $r\%$.

 

Значит, каждый год долг должен уменьшаться на $\frac1n A$ рублей. К тому же, например, в первый год после начисления процентов долг составит $A+\frac r{100}A$, поэтому обозначим для удобства $\frac r{100}=y$ и составим таблицу: $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}&\text{Сумма долга}& \text{Выплата}\\ &\text{до начисления}\ \%&\text{после начисления }\%&\text{после выплаты}&\\[1ex] \hline 1&A&A+yA&\frac {n-1}n A& yA+\frac 1n A\\[1ex] \hline 2&\frac{n-1}n A&\frac{n-1}n A+y\cdot \frac{n-1}n A& \frac{n-2}n A&y\cdot \frac{n-1}n A+\frac 1n A\\[1ex] \hline 3&\frac{n-2}n A&\frac{n-2}n A+y\cdot \frac{n-2}n A&\frac{n-3}n A&y\cdot \frac{n-2}n A+\frac 1nA\\[1ex] \hline 4&\frac{n-3}n A&\frac{n-3}n A+y\cdot \frac{n-3}n A&\frac{n-4}n A&y\cdot \frac{n-3}n A+\frac 1nA\\[1ex] \hline \dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\[1ex] \hline n-1& \frac 2nA&\frac 2nA+y\cdot \frac 2nA&\frac 1nA&y\cdot \frac 2nA+\frac 1nA\\[1ex] \hline n&\frac 1nA&\frac 1nA+y\cdot \frac 1nA&0&y\cdot \frac 1nA+\frac 1nA\\[1ex] \hline \end{array}$$

Таким образом, если $i$ — номер года, то выплата в $i$-ый год будет равна:
$x_i=y\cdot \frac{n-(i-1)}nA+\dfrac 1nA$, или: $${\large{x_i=\dfrac{r}{100}\cdot \dfrac{n-i+1}{n}A+\dfrac1n A}}$$

 

Вывод формулы для переплаты по кредиту:

 

Для того, чтобы посчитать переплату, необходимо просто сложить все данные из последнего столбца и отнять $A$:

$\big(yA+\frac 1n A\big)+\big(y\cdot \frac{n-1}n A+\frac 1n A\big)+\big(y\cdot \frac{n-2}n A+\frac 1nA\big)+\big(y\cdot \frac{n-3}n A+\frac 1nA\big)+\dots+\big(y\cdot \frac 2nA+\frac 1nA\big)+$

$+\big(y\cdot \frac 1nA+\frac 1nA\big)-A=\big(yA+y\cdot \frac{n-1}nA+y\cdot \frac{n-2}nA+y\cdot \frac{n-3}nA+\dots+y\cdot \frac 2nA+y\cdot \frac 1nA\big)+$

$+\big(\frac 1nA+\frac1nA+\frac1nA+\frac1nA+\dots+\frac1nA+\frac1nA\big)-A=yA \big(1+\frac{n-1}n+\frac{n-2}n+\frac{n-3}n+\dots+\frac 2n+\frac 1n\big)+$

$+n\cdot \frac 1n A-A=yA\big(1+\frac{n-1}n+\frac{n-2}n+\frac{n-3}n+\dots+\frac 2n+\frac 1n\big)$

 

В скобках находится арифметическая прогрессия, первый член которой $a_1=1$, последний $a_n=\dfrac 1n$, разность $d=-\dfrac 1n$, а количество членов равно $n$. Сумма такой прогрессии равна:

 

$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{1+\frac1n}{2}\cdot n=\dfrac{n+1}2$

 

Значит, вся переплата равна $yA\cdot \dfrac{n+1}2$,  или $${\large{P=\dfrac r{100}\cdot \dfrac{n+1}2A}}$$